Бесекерский (950612), страница 65
Текст из файла (страница 65)
11.21, и. 2. Типовой входной си>.иал следящей системы.Вкачестве типового сигнала лая следяп>сй системы часто принима>от график изменения угловой скорости иа входе в соответствии с рис. 11.22 Скорость сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени (гп Гв гз,, ) Переход от олпого значения к друтому соверц>ается мгновенно. Иц гервалы времени полчиия>отея закону распределения Пуассона (11Л). В соответствии со сказанным выше будем считать, что математическое ожидание Й = О, а средний квадрат скорости равен дисперсии, т. с. ьз~ = Д» я О График такого вида получается, например, в нервом приближении при слежении радиолокатором за движущейся цел ьк>, Постоянное значение скорости соответствует двнжепик> цели по прямой, Перемена знака или величины скорости соответствует маневру цели. Обозначил> р., среднее число перемен скорости за одну секунлу.
Тогда Т = 1~'1> будет средним значением интервала времени, в течение которого угловая скорость сохраняет постоянное значение. Применительно к радиолокатору это значение будет средним временем движения цели ио прямой, Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения Л(т) = 12(г) ьз(г е т), При нахожлении этого произведения могут быть два случая, 1. Моменты времени г и г + т относятся к одному интервалу Тогда среднее значение произведения ужи>вых скоростей булет равно срс,ии>му квадрату угловой скорости или дисперсии: Я>(т)=11(Г)й(Г+т)=11" =0>>. 2.
Моменты времени > и г -' т относятся к разным интервалам. Тогда срсднеезначсние произволения скоростей будет равно пул>о: ((,(т) = ьз(г) 12(г ет) = О, так как произведения с положительным и отрицательным знакамп булут равновсроятпыми. Корреляционная функция будет равна А (т) = Р,Я> (т) + Р,Кз (т) - Р,К> (т), тле Р, — вероятность пахожления моментов времени г и ге т в одном интервале, а Р,-1 — Р,— вероятность нахождения их в разных интервалах. 326 Непрерывные линейные системы автоматического управления 1 Р Устремив Ьт -э 0 и переходя к прелслу, получим 1 ( Ьт')Б Р= 1пп ~1 — — ~ =е к ь~-~0( Т ) и окончательно Ц 1т~ Л(т)=0пе ' =кете '. (11.80) Знак модуля при т поставлен вследствие того, что выражение (11.80) должно соответствовать четной функции.
Выражение для корреляционной функции совпадает с (11.79). Поэтому спектральная плотность рассматриваемого процесса должна совпадать с (11.78): 2ТТ)п 2цбп за(ш) = 1+еРТ~ рз+ оР (11.81) Заметим, что в отличие от (11.78) формула спектральной плотности (11.81) ааписана лля угловой скорости процесса (рис.
11.22). Если перейти от угловой скорости к углу, то получится нестационарный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Однако в большинстве случаев следящая система, на входе которой действует атот процесс, обладает астатизмом первого и более высоких порядков. Поатому первый коаффициспт ошибки св у следящей системы равен нулю и ее ошибка будет определяться только входной скоростью и производными более высоких порядков, относительно которых процесс стациопарсп. Это даст возможность использовать спектральную плотность (11.81) нри расчете динамической ошибки слсдя|цей системы. 3, Н е р е г у л я р и а я к а ч к а.
Некоторые объекты, например корабли, самолеты и другие, находясь нод действием нерегулярных возмункщий (нерегулярное волнение, атмосферные возмущения и т. п.), движутся по случайному закону. Так как сами объекты имеют определенную им свойственную, частоту колебаний, то они обл алак>т свойством подчеркивать тс частоты возмущений, которые близки к их Вероятность появления перемены скорости на малом промежутке времени дт пропорциональна атому промежутку и равна рдт или Ьт/Т.
Вероятность отсугствия перемены скорости для этого же промежутка будет 1 — бтУТ. Лля интервала времени т вероятность отсутствия перемены скорости, т. е. вероятность нахождения моментов времени г и г+ т в одном интервале постоянной скорости, будет равна произведению вероятностей отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке Лт, так как эти события независимые. В результате для конечного промежутка Ьт получаем Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 327 собственной частоте колебаний.! 1олучающееся при эж>м случайное движение объекта называл>т нерегулярной качкой в отличие от регулярной качки, прслставляющей собой периоличес>н>с лвижение.
Типичный график нерегулярной качки изображен на рис. 11.23, Из рассмотрения этого графика видно, что, несмотря на случайный характер, это движение довольно близко к периодическому В практике корреляционну>о функцию нерегулярной качки часто аппрокснмируют выражением !г(т)=Ре "' >сов!)т, (11.82) где !) — резонансная частота, и — параметр затухания, Р— дисперсия.
Значения Р, р и !3 находятся обычно путем обработки экспериментальных данных (натурных испытаний). Корреляционной функции (11.82) соответствует спектра>ьная плотность (см, табл, 11.3) в 1 1 2а(1+ Б<о')Р р'~(!3-<л)' р'~(!3»1 )1„,,8( ~»)' Неудобством аппроксимации (11.82) является то, что этой формулой можно описать поведение какой-либо одной величины нерегулярной качки (угла, угловой скорости или углового ускорения). В атом случае величина Р будет соответствовать дисперсии угла, скорости или ускорения. Если, например, записать формулу (11.82) лля угла, то этому процессу будет соответствовать нерегулярная качка с лисиерсией для угловых скоростей, стремяпгейся к бесконечности, т. е.
это будет физически нереальный процесс. Более удобная формула лля аппроксимации угла качки (11.81) Соответствующая спектральная плотность р ~ 2!3 — <о 2!)+<о ~ 2аРо ) О > т г' (11 85) Р ~ р' + (!3 - <о)' )<' + (!3+ <л)' ~ )1,. а)„+ б( то)т)' Здесь Ро — дисперсия лля угла,а-2!<(!<~+ !3~) ', !> = (р~+ !3~) '. !!ри такой аппроксимации дисперсия ><ля угловой скорости получается конеч- нои: Рц — (Н " р ) Ро.
Однако и эта аппроксимация с<>ответствует физически нереальному процессу, так как дисперсия углового ускорения получается стремящейся к бесконечности. 328 Нвпрврывныв линейные системы автоматического управления Для получения конечной Лиспсрсии углового ускорспия требуются сщсболсссложцысформулы аппроксимапии, которые здесь нс приводятся. Типичпыс кривые для корреляционной функции и спектральнойй плотности нсрсгулярпой качки привсдспы на рис.
11.24. 9 11.6. Канонические разложения случайных функций -(г) - р (т), (11,88) где гр (Г) — некоторая извсстная неслучайная функция врсмспи (синусоида, акспонента, стсцсппая функция и т. н.), х — случайная величина. Если матсматичсскос ожидание всличипы х равно нулго, то и матсматичсское ожидание случайной фушгции М (х(г)1 О. Корреляционная функция в этом случае 1т(г,г, ) = М (кгрЯхгр(т1 )1 = Вгр(г ) гр(г, ), (11.87) глс диспсрсия В = М(хз~. Рассмотрим случайную функцию х (г), которая может быть представлсна в виде суммы математического ожидания х (Г) и элементарных случайных функций; х(г) = х(г) + х ~)г„х, (т).
(11.88) Здссь $', — случайные взаимно нскоррелнрованныс коэффицисцты с нулевым матсматичсским ожиданисм. Прсдставлсцис случайной функции в ниде суммы ес матсматичсского ожидания и взаимно нскоррслировацных злсмсцтарных случайных функций цазывастся каноггичесхиж рв ыоженивм. Случайные коэффициенты носят название козффициснтов канонического разложения, а функции т„(Г) коорлипатпых функций. При использовании капоничсского разложсция зпачитсльпо упрощастся выполненно различных опсраггглй над случайными функциями (диффсрснцировапие, ицтсгри рован ис, решение лп цейных дифференциальных уравпспий и т. п.). Так, например, производная от (11.88) будст Н т ( г ) И т ( т ) х ~ ~ з ( г ) ганг ггг " ~1~ (11.89) Элсхгсптарггг>й случайной гт>ункцнсй называется функция, которая может быть прслставлсца в вцде Глава 11.
Случайные процессы в системах автоматического упраапения 329 Аналогичным образом интегрирование (11.88) даст )х(г)тут = )х(г)туг+ ч ~тг„~х„(г)Й. (11.90) Для нахождения канонического разложения случайных функций суп1сствуют различные методы 180). Из (11.88) может быть найдена корреляционная функция И(г,г,)=М(х(г)х(г,)1=[х(г)) +,'т О„х„(г)х„ц), (11,91) 3лесь О„= М~)г„) — лиспсрсни коэффициентов канонического разложения. 2 Таким образом, корреляционная функция может быть ныражсна через тс жс координатные функции. Для стационарной случайной функции, заданной в интервале -Т < т < Т, разность т = т, — г изменяется в интервале -2Т < т < 2Т и разложение корреляционной функции может быть задано в виде ряда Фурье: К(т)= ') О„е'"н'=(х) +~ ~2О„совет,т, ю„= —, 2Т (11,92) гле ч — полые числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
