Бесекерский (950612), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Слеиовательпо, вероятность х перемен знака па интервале времени Т будет определяться выражением 296 Непрерывные линейные системы автоматичесяого управления 2. Срелпес значение произвелсния случайных величин, независимых лруг от лруга, равно произвелепию срелних значений этих величин: хгтг...=х у 2...
назь!вастся мох!ситом и-го порялка случайной величины х. В частности, момент ну- левого порядка выражает свойство (11.2), и он всегда равен единице: Момент первого порядка есть среднее значение (математическое ожидание) случайной величины (11.5). Момент второго порядка ха = ахар ость срслпий квадрат случайной величины. Часто используется так называемое среднекоадралтичиое значение случайной величины, представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины: х,„= тГх'.
Иногла рассматривается центлрированное значение случайной величины хо — — х — х, где х — срслпее значенис. Тот!!а аналогичноформуле (11 6) можно ввести понятие цепглрш~ьного момента и!-го порядка М((х-х)'"]= ~ (х;-х) 1;.. !=1 (11.7) Из формулы (11.7) следует, что центральный момент первого порядка всею!а ра всн нулго. Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины. Если х — случайная величина, а х — среднее значение этой величины, то нели'!пна х — х есть отклонение случайной величинь! от се срелпего значения.
Это отклонение является случайной величиной, как и сама величинах. Последняя формула нс распространяется на общий случай любых случайных величин В вилс обобщения понятия среднего значения (11.5) отметим, что выражснис Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 297 Средним оглклонением Ь называется среднее значение (матсматическос ожидание) абсолютной величины отклонснгия, т. е. (11.6) Заметим, что без знака абсолютного значения было бы х — х=х — х=О.
Для рассмотренного выше примера бросания игральной кости Ь = ~( х; - х ! Р, = — ( ~ 6 - 3 5 ( + ! 5 - 35 ~ ч- ( 4 — 35! + ( 3 — 3 5 ( + ~ 2 - 35 ( + ) 1- 3 511 = 6 = -(25+ 1,5+ 05+ 05+1,5+ 2,5) = 1,5. 6 П=Щ(х-х)2) =(х — х)2 =;Г(х; -х)2Р;. 1=1 (11.9) Дисперсия может быть легко вычислена на ос| швак ни свойства среднего значения: .О=( -х)2=(х'-2 -.+(х)2)= '-Ы+(х)'= '-2(х')+(х) = '-(х)', т.
е. она ранна разности среднего квадрата и квадрата среднего значения случайной величины. Так как всегда выполняется неравенство тк >(т)-", то дисперсия может быть только положитслыгым числом: 0 1 О. Корспь квадратный из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением случайной величины от среднего значения; о = чгб = с~х" — (х ) . Для рассмотренного вьннс примера бросания игральной кости О=ч ~(х,-х)Р =-((6-35)а+(5-35)з+(1-35)'+ 6 +(3- 3,5) + (2- 3,5) + (1 — 3,5) 1= — ' = 2 —. 35 12 12 Среднее отклонение случайной величины является уже нс случайной величиной, а обычным числом.
Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения. Она совладает с центральным моментом второго порядка: 298 Непрерывные линейные системы автоматического управления Среднеквадратичное отклонение Укажем простейшие свойства среднеквадратичных отклонений. 1. При сложении независимых случайных величин и=хеуез+...
дисперсии складываются: П» = П» -~- П„-~- П, Поэтому среднеквадратичное отклонение суммы независимых случайных величин и,= и,+и +и,+... в з в Эта формула часто применяется в измерительной технике и в автоматике для вычисления среднеквадратичных ошибок. 2. Пусть имеется п случайных величин хп хв, хз, х„, ..., х„ с одинаковьгми средними значениями х и с одинаковыми законами распределения. Тогда их среднее арифметическое х! +х2+" +з» Д= тоже будет случайной величиной с тем жс самым средним значением у = х, по среднеквадратичное отклонение его будет в гп раз меньше, чем для каждой из составляюШих (в случае независимых случайных величии); и» и„= —. Например, если производится п измерений одной и той же физической величины, то их среднее арифметическое хотя тоже является случайной величиной, но всегда надежнее (имеет меньшее среднеквшгратичное отклонение), чем каждое измерение в отдельности.
Здесь случайные ошибки измерения в известной мере компснсируготся. Но надо помнить, что систематические ошибки приборов при этом остаются в полной мере в составе срсднего арифметического и никакой массовостью измерений скомпенсированы быть не могут. 3. Для п случайных величин, независимых н имеющих одно и то же среднее значение х, среднее арифметическое будет при достаточно болыном п как угодно мало отличаться от среднего значения х (с вероятностью, как угодно близкой к единипе). Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 299 Замечание в скобках означает, что это нракгически лос гоне рпо, по не абсолкгтно, потому что среднее арифметическое есть все же случайная величина.
Таким образом, при большом и и укаэанных условиях хг+хг+д, ьх„ "-+х прн и — г и Этот закон болг гиих чисел, доказанный П. Л. Чебышевым, имеет пери>степенное значение лля обработки экспериментальных данных и Лля учстнон статно гики.
Введем теперь понятие ингиегральноггг закона распределения. Интегральным законом распределения или функцией распределения называется вероятность того, что случайная величина примет значение, мсныпее некоторого зцачсния х. Математически эта формулировка записывается в виде Е (х) Р (9 < х), где à — текущее значение случайной величины х. Например, если график закона распределения дискретной случайной величины х имеет вид, показанный па рнс.
11.5, а, то график функции распределения Е(х) для нее булет иметь вид, показанный на рис. 11 5, б. Он показывает что вероятность того, что величина х получит значение поныне единицы, равна нулго; меньше трех — равна 0,2; меньше четырех — равна 0,6 и т. д. Функция распределения Р(х) всегда возрастает с увеличением х, причем Е(х) = 1 при наибольшем возможном значении х „и остается равной единице при всех значениях х > хч„„. Например, для закона Пуассона (11,3), когда дискретная случайная величина может принимать значения х - О, 1, 2, 3,..., функция распределения Р( ) = ~ Р(х) о (11Л0) будет иметь вид бесконечной лестницы (рис. 11.6), но незаходящей выше единицы,т.е.
Р(х)-э 1 эрих — г Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин. Пспрсрывная случайная величина может принимать вес значения в каком-либо запанпом ограниченном интервале (а 1 х ~ Ь) или все значения от — до + . Следовательно, функция распределения (интегральный закон распределения) лля непрерывной случайной величины булет изображаться непрсрывной кривой. На рис, 11.7 показаны оба упомянутых выше варианта. Вероятность 300 Непрерывные линейные системы автоматического управления того, что непрерывная случайная величина примет аирелелсппос числовое значение х, бесконечно мала (например, вероятность попадания центра тяжести снаряда в апрслсленнуга тачку пели). Вероятное ~ ь жс того, что непрерывная случайная велнпгпа окажстся в некотором нромсжутке х, < х < хь будет иметь конечное значение, а именно.
Р(х~ < ь < хз) = Г(хз) — Р(х~). Всроят~и>сть того, чта непрерывная случайная величина солсржптся в промежутке мсжлу х н з+~Ь,б)дгг Р(х < 'г, < х е ггх) = ггпу( х) = г!Г(х) гйс Ветгпгипа др(х) Их (1! .11) Р(х < г, < х+ дх) = и: (х) г)х. Всраяз ность того, что случайная величина содержится межлу значениями х, и хр апрелслястся формулой ~называется плотностью вероятности. Закон распределения для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной заластгя нс в випс значений вероятности, а в виде плотности вероятности гн (х), называемой также дифференциальным законом рипгределения. На рис. ! !8 показаны дг!фферг пгнпып>г!ые законы раси реяслспия Лля двух вариантов фуп кнни распределения Р(х), показанных на рис. 11.7.
Еслибы здесь использовалось то жс понятие закона распределения, что и для дискретной случайной величины, то получились бы оесгогпсчно малые ордипаты Р (х). Вгяражспис ьз (х) ггх означает вероятность того, что случайная величина содержится мсждухи хе г(т: Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 30! что геометрически выражается запжрихованной плснцалыо на рнс. 1 !.8.
Кроме того, имест место зависимость (11.13) Вся площадь под кривой те (х) равна единипе: ) ж(х)Их=1, (11.14) так как г"( ) = 1, Формула (! 1.14) соответствует моменту нулевого порядка. Срсднее значение (математическое ожидание) соответствует моменту первого порядка: (11.15) что вытекает из формулы (11.5) как предел суммы. Моменты высших порядков по аналогии с (11.6) будут х = ) х те(х)ох. (11.16) Таким же образом можно вычислить центральный моне!ж и-го порядка ЛХ!(х — х)"')= ) (х — х) ж(х)~Й. (11.17) Как и в случае дискретных случайных величин, центральный момент первого порядка всегда равен нулю. Рассеяние непрерывной случагшой величины моякпо оценивать одним из следующих значений, словесные формулировки которых остакггся прежними. Срсднсс отклонение (мало удобная для вычислсний величина) Л= ) !х-х!ге(х)Их.
(11.18) Дисперсия (наиболее удобная для вычислений величина) (11 19) 0= ) (х-х) м(х) гух=х -(.т) 302 Непрерывные линейные системы автоматического управления Среднеквадратичное отклонение =Я=з~хз — (х)з. (11.20) Среднсвероятным отклонением ьте называется такая величина, при которой отклонения ~ х — х ~< Л, и ~ х — х ~> Л, нмсгот одинаковую вероятность. Рассмотрим простейшие типовые законы распределения непрерывных случайных величин. 1. Раеноьчерное распределение случайной величины на определенном участке характеризуется плотностью вероятности ве (х) и функцией распре деления Г(х), показанными па рнс. 11.9.
При отом па основании свойства (11,14) имеем 1 с —. =Ь вЂ Подсчитаем характерныс значения. Среднее значение (математическое ожидание) х= ) хго(х)их=)хсих= —. Ь+а 2 Среднее значение квадрата случайной величины (момент второго порядка) г з и +иЬеЬ ь г 2 х =ихой:= Дисперсия О=х" -(х)з (Ь-и) 12 Среднеквадратичное отклонение Средневероятпое отклонение 1 Л = — (Ь-а) <и. Н=4 Максимально возможное отклонен ис случайной величины от среднего значения в данном случае будет Ь вЂ” а о 2 Глава 11, Случайные процессы в системах автоматического управления 303 2. Нормальный зикон распределения непрерывных случайных величин (закон Гаусса).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
