Бесекерский (950612), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Это всегда легко сделать выбором параметров К и С. Тогда 'й'(р) = К р(!с(Т„+ Т„+ й,Т„) р с Т„Т„р~1 (10,6Д) характеристическое уравнение Т Т„р +(Т, + Т„сй,Т„)р + р+ К= О, (10.65) условие устойчивости 1 1 л, Кс †+ †+ †'. (10.66) Из этого неравенства видно, что введение обратной связи позволяет повысить добротность системы К по сравнению л, = О. Вместо включения гибкой отрицательной обратной связи аналогичный эффект может быть достигнут введением в прямую цепь эквивалентного пассивного ннтегро-дифференцирующего звена (рис.
10.22, 6). Глава 11 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ в 11.1. Вводные замечания До сих пор поведение систем автоматического управления исследовалось при определенных, заданных во времени задаюгцнх и возмущающих воздействиях (ступенчатая фупкиия, импульсная функция, гармоническое воздействие и т. д.) Однако во многих случаях характер воздействия бывает таким, что его нельзя считать опрелеленной функцией времени. Оно может принимать с течением времени 292 Непрерывные линейные системы автоматического упри<ленин !цп — = Р, т н-~- д< (11.1) пазь<ваемому вероятностью данпога события, В рассмотренном случае очевидно, что обе вероятности выпадения герба и цифры одинаковы и равны 0,5.
Вероятность каждого события лежит в интервале 0 ~ Р < 1. Если событие является невозможным, вероятность его равна пулю; сели <.абытие является достоверным, ега вероятность равна единице. самые разнообразны с случайные значения. В таких случаях мы можем о не нить тол ько вероятность появления той или иной формы воздействия в тот илн иной чомент времени. Это происходит цс потому, что оно неизвестно зарансс, а потому, что сача природа рсальнога задаюн!его или воэмущакпцего воздействия такова, что величина его в каждый момент времени и процесс сга изменения с течением времени зависят ат множества разнообразных всличин, которые случайным образом могут комбинироваться друг спрутам, появляться одновременно илие л<обым сдвигом во времени и т.
д, Возьмем, например, систему автоматической стабилизации напряжения электрического < ецератора, Возмущающее воздействие здесь является результатом изменения нагрузки в сети, зависящей от включения, выключения и изменения режима работы множества потребителей электрической энергии. Другой пример — автопилот. На пего действуют обычно возмущающие воздействияя случайного характера: порывы ветра и изменения других атмосферных факторов, изменение тяги, изменения папряжс~ия шы ания усилителей и рулевых машинок и т. д. Третий пример — следящие системы, на вход которых попадают вместе с полезным сигналом помехи, 11анримср, в радиолокационной системе сопровождения отраже<шый от цели сигнал содержит в себе помехи в виде многочисленных флуктуации, происходящих от вибраций и поворотов цели, замирания сигнала и т.
и. Аналагнчн< <с помехи случайной природы имеют место в других автоматических устройствах. В следящих системах не только возмущаю<цие воздействия и помехи являются случайнымн, но и сам полезный сигнал, который должен воспроизводиться (зада<ощсс наздействие), как правило, носит случайный характер. Прежде чем рассматривать поведение автома<ичсских систем при случайных воздействиях, напомним некоторые сведения а случайных величинах, случайных процессах и об их вероятностных характеристиках. К категории сл1<чайнь<х событий можно отнести такие, точное предсказанис протеканияя которых в каждом отдельном случае оказывается невозможным. Так, например, если бросать монету, то выпадение герба или цифрь< будет случайным событием.
Если повторить этот эксперимент <т'раз, то можно зафиксировать определенное число выпадений герба т и число выпадений цифры Д< — т. Относительная величина и/й< называется частотой события выпадения герба, а всличнна ~'-и — — частотой события выпадения цифры. Если устремить число экгперимсц- М тов г<< — э, то частоты событий будут стремиться к некоторому пределу Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 293 В примере с бросанием монеты рассматривалась дискретная случайная величина, которая могла принимать два фиксированных значения — вьи»аление орла или решки.
Сушествуют случайныс величины, которые могут принимать непрерывные значения. Так, например, если рассмотреть стрельбу из орудия (рис. 11,1), то расстояние Е от орудия ло места падения снаряда судет случайной величиной, которая на определенном отрезке может принимать все возможные значения. В э ~ом случае можно говорить о вероятности нахождения случайной величины А в некотором и»ггервале от А» до Ь, Вероятностные характеристики дискретных случайных величин. «1тобь» полностью знать дискрстну»о случайную величину, надо иметь следуюшис данные: а) все возможныс значения, которые она может принимать нри данных услови- ях задачи или опыта; б) вероятность появления каждого иэ этих значений. Так, например, сслн дискретная случайная величина может принимать конечное число значений хо хм ха,,, х„и вероятность каждого значения будет соответственно Р», Рм Рз,, Р„, то можно представить так называемый закон распределения случайной величины в виде таолицы 11.1.
Таблица 11.1 При этом должно выполняться условие 1=» Пусть, например, производится опыт бросания игральной кости. Очевидно, чтс нри каждом бро»:анин число выпавших очков, которое прелставляст собой случайную величину, может принимать одно из следукнцих значении: 1, 2, 3, 1, 5, 6. Волг кость совершенно симметрична, то вероятность выпадения кажЛой из этих цифр яв. ляется одинаковой.
Так как число различных значений, которое может нринимат» случайная величина, равно шести, то из (11.2) имеем 294 Непрерывные линейные системы автоматического управления Графически этот гиков распределения изображен на рис. 11.2. Он представляет собой равновероятпое распределение в некотором интервале (в рассматриваемом случае от 1 до 6). В некоторых случаях закон распределения случайной величины может задаваться в аналитической форме. Примером аналитического задания закона распределения дискретной случайной величины является часто используемый закон Пуассона.
Он применим к дискретным случайным величинам, которые теоретически могут принимать все положительныс значения от О до ° . Примерами таких величин могут служить число пассажиров вагона трамвая, число вызовов па тслсфонпой станции втечение какого-либо определенного отрезка времени и т. и. Этот закон для целых значений числах записывается следующим образом: Р(х) = — е л" х! (11.3) где Р (х) — вероятность появления значения х; Л представляет собой среднее значение данной дискретной величины, полученное по результатам большого числа опытов. Графически этот закон имеет вид, изображенный па рис, 11.3, причем место максимума зависит от величины Л. В качестве одного из примеров рассмотрим функцию у (г), которая может принимать одно из значений еа или -и(рис. 11А), Предположим, что среднее число перемен знака в единицу времени этой функпии равно ц и что вероятность перемены знака па интервале (г, Г+ И) нс зависит от того, что происходит в остальные моменты времени.
Тогда вероятность перемены знака ца интервале цг составит ранг « 1. Вероятность того, что на интервале Ш нс произойдет перемены знака, будет (1 — ргуг). Если взять два интервала времени дй то вероятность отсутствия перемены знака па двух интервалах будет равна произведению вероятностей и составит (1 — рдг) .длятрехинтерваловгтгонасоставит(1 — ргтг)' г 3 и т. д.
Возьмем теперь конечный интервал времени Т, ко- торый можно представить в виде Т- лЬг. Тогда веро- Глава 11. Случайные процессы в системах автоматичеиого управления 295 ятность отсутствия перемены знака на этом интервале можно найти из выражения Р(0) =1пп (1-НЬг)" = 11щ (1-НЛг)в' =е "т ш-~с ь о Т Р(х) (Н ) е лг х! (11А) которое совпадает с формулой (11.3), если положить в ней Х = НТ, где НТ вЂ” среднее число перемен знака на интервале времени Т, которос будет наблюдаться при многократном повторении наблюдения.
Хотя закон распределения полностью определяет случайную величину для практики нужны пекоторыс более простые осредненные характеристики случайной величины, выражающиеся в виде обыкновенных неслучайных чисел. Олной из таких характеристик является среднее значение, или,иатлемаглическое ожидание, случайной величины. Оно определяется из выражения й=и(х) =',Тх,Рь ~=! (11.5) Так, например, для случая бросания игральной кости х= , 'хР; =(1- — +2 — +3 — +4 — +5 — +6 — ) = — (1+2+3+4+5+6)= — =35.
Г 1 1 1 1 1 1) 1 21 6 6 6 6 6 6) 6 6 Вообще для равиовероятпого закона распрелелепия (11,5) превращается в формулу Для случайной величины, распределенной по закону Пуассона, среднее значение, полсчитанпое по формуле (11.5), дает х = Х. Основные свойства среднего значения случайной величины слслующие. 1. Йля любых случайных величин среднее значение их суммы равно сумме срелних значений этих величин: х+у+а+...=хну+2+... Лггалогичпым образом можно показать, что вероятность одной перемены знака на интервале Т булат Р(1) - НТе ", вероятностьдвух перемен знака Р(2) = — е л' -яг (НТ)' 2! и т, д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
