Бесекерский (950612), страница 63
Текст из файла (страница 63)
1!ри г = г, корреляционная функция гт (г., г,) лает средний квадрат случайной величины, а гг (г, г,) — лнснсрсию: о Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 31 3 ! !ривсдем основпыс свойства корреляционной функции стаппонарного процесса применительно к величине й (т) 1. Корреляционная функция является четной функцией, т.
с, )! (--<) - и (т). Это вытекает из самого определения корреляционной функции. 2. При т = 0 корреляционная функция дает средний квадрат <мучай ной величины: Я(0) = х(<)х(г) = х'. 3. При т — т корреляционная функция дает квадрат среднего значения случайной величины.
Докажем зто. Па основании зргодической гипотсзы <<(т) = х(Г)х(Г ч <) = ) ) х<хт<ев(х<,хз,т)о<х<о<ха. При т — т величины х, их„можно считать независимыми. Отсюда, принимая во внимание формулу (11.39) для независимых случайных величии, получим <<( ) = ! Х< ю(х< )Ых< 1 хт?е'(хт )<Уха = (х) = (а ) 4.
Значение корреляционной функции прн т - 0 является сс наибольшим значением, т. е. имеет место неравенство !< (0) Э 1<' (т). Докажех< это. рассмотрим очевидное неравенство (х(г) — х(<+ т))а > О. Сделаем преобразование х~(<) +ха (<+ т) 1 2т(<) х(г ч т). Возьмем теперь среднее по времени от правой и левой частей. В результате получим: хт(<)+ха(г+т) = 2х" = 2я(0), 2х(т)х(<+т) = 2)((т), откуда и вытекает слслуюшсс неравенство; В (0) Э !! (т). 5.
Зпачспне корреляционной функции чаше всего будет тем меньше, чем больше промежутки времени т, так как связь между далеко отстоящими друг от друга зпачениял<ихбуд обычно слабее. 6. Чем мспес ил< рциопсп (более подвижен) объ< кт наблюдения, тем быстрее убывает )1 (т) с увеличением т. Например, у самолета, как < юлвижпой цели, связь межлу последующими и предыдущими положениями < при заланпом т) будет тем меньше, чем он легче и мапеврсппес. Отсюда следует, что чем быстрее убывает корреляционная функция, тем более высокие частоты будут присутствовать в случайном процессе. На рис. 11.
14 в качестве примера приведены две корреляционные функции и две соответствующие им реализации процесса прп <шипаковых среднеквадратичных значениях случай!ей величины. Второй процесс по сравнению с первым имеет более тонкую структуру, т. е. в пем присутствуют более вьюокис частоты.
314 Непрерывные линейные системы автоматического управления Таким образом, при известной корреляционной функции легко опрсЛсляются следуюшне вероятпостпыс характеристики: а) срелпее значение (момент первого порядка) х = х =,/Й( ); б) среднеквадратичное значение (момент второго порядка) в) дисперсия 1) = й(0) — й( ); г) среднсквацратпчное отклонение Корреляционную функцию можно найти па основании экспериментально снятой кривой случайного процесса цри наличии достаточно длительной записи (рис. 11.15), Обработка имегонцейся осциттлограммы производится слслуюптим образом. Весь интервал записи осциллограммы Тлелится па Л'равных частей, длительность которых составляет Лг - там.
Затем для различных значений т = тЛг находятся средние значения произведений ординат: 1 Й(ог) = — ~ ~х„х„, Лг-гл „, По этим значениям строится график корреляционной функции в зависимости от интервала т или времени т - пгЛК Корреля пион ную функ пню можно найти по результатам эксперимента также при помокни специальных приборов — корреляторов, которые автоматически вычисляют среднее про— — т=ььм — — г пзведсннс двух ординат осциллограммы, отстояп,п '=мат цих друг от прута на расстояние т. Если найденная корреляционная функция о Й (т) содержит постоянную составляюптук> х =т~й(), то, выделив сс, можно перейти к корРис. 11,15 реляпионной функции й (г) в соответствии с о (1148), т.
с, Ко(т) - Я(г) — (х)з. Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 315 Можно также ввести в рассмотрение нормированную корреляционную фупкц~пс, от" (т) )с(т)- сс( ) р(т) = Р й(0)- Н(-)' (11.52) 1 ' 1С(т)= 11пс — ) ЛоЛ ст'С=Л,з т--2Т г 2. Для гармонической функции х (с) = Л, гйп (щс —, тр,) +г рз гс(т) = 1пп — ~ Л, гйп(ю С+с1г,),1, гйп(со С+ю,т+твс)ссг = — 'солю, с г--2Т ".
2 Л; Появленис в корреляционной функции члена вида — солю с указывает на пз- 2 личие в случайном процсссс скрытой периодичности, которая может пс обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи реализации случайного процесса.
3. Периодическая кривая, разлагаемая в ряд Фурье: х(с)=лое т ~лье(п(юьс+с1тс), К=! имеет на основании изложенного выше корреляционную функцию вида Лс А(т) = Ло + ', — сов юьт. к,г Типичная корреляционная функция для стационарных случайных процессов при х - О, а следовательно Я (т) - тсо (т), и при отсутствии скрытых периодичностей имеет вил я(т)- Л(0) е "'= Ре "" Иногда встрсчается корреляционная функция вила )с (т) - сс (О) в ~1' ~ соа стт = Р е ~ ~ ' ~ соз () с.
Эти выражения часто используются для аппроксимации корреляционных функций, полученных в результате обработки экспериментальных данных. которая удобна тем, что всегда р (О) = 1, Корреляционная функция )с (т) для неслучайных (регулярных) фупкпий времени тождественно равна нулю. Однако корреляционная функция тс' (т) может вы числяться и для неслучайных функций времени. Рассмотрим несколько примеров 1 Для постоянной величины х (с) - Ло (например, для постоянного тока) корреляционная функция 31Б Непрерывные линейные системы автоматического управления 1 г )! (т)=!нп — ) х(г)у(т+т)к(т. (11.53) Для взаимной корреляционной функции существует слсдуюпгсс соотношспне.
)7~ (т) = тт „( — т). Кроме того, можно показать, что ~ Й,(т) ~~чЯ„(0) Я„(0). Взаимная коррсляцион лая функция характеризует взаимную связь двух случайных процессов между собой в разные моменты времени, отстояшис друг от друга на промежуток времени т. Зиаченис тт' (О) характеризует зту связь в один н тот жс момент времени. 1!римером таких двух взаимосвязанных случайных процессов могут служить две коорлинатьг пространственного положения подвижной цели.
Для не связанных друг с другом случайных процессов для всех т справедливо равенство тт (т) = О. Всвязи с этим говорят, что процессы коррелированы или не коррелиронаны. Это означает наличие или отсутствие межлу ними статистической связи. Лналогично нрсдыдушему можно также вве<ти понятие нормированной взаимной корреляционной функции, а 11.5. Спектральная плотность стационарных процессов Рассмотрим так называсмую энергетическую форму интеграла Фурье. В главе 5 были приведены формулы (7.15) н (7.!б), дакгщтге переход от функции времени к изображению Фурье и обратно. Если рассматривается некоторая случайная функция времени х (т), то для нее зти формулы могут быть записаны в виде г"Ото)= ~х(г)е ' 'Й, (11.54) х(т) = — 1 г"(ую)е'~йо. 1 2п (11.55) Возьмем квадрат модуля изображения Фурье ! Г(тто) !а и проинтегрируем по всем частотам от — до+ с делением результата на 2п: — ~! Р( уго) )~ гтто= — ()У(авто)Г(-7тв)гтш 1 т 1 2к 2п (11.5б) Для стационарных случайных процессов используется также понятие взаимной корреляционной функции, вводимой при рассмотрении каких-либо двух процессов х (т) и у (т): Глава 11.
Случайные процессы в системах автоматическаго управления 317 В последнем выражении квалрат модуля заменен произведением сопряженных комплексов Е()сз) и Е( — ую) . Изображение Фурье Р( ге) заменим выражением (11 54) — Г)(Р(7 ),,:' 7 = —, ~Р(-7тлу7 ~ ~. ()-"'71'. 1 л 1 2н ' 2н В последней формуле изменим порядок интегрирования: 1 г 1 — ~~Е(Тю)(г йо= ~х(г)г(г~ — )гг( — ую)е ~"'йв .
2н ~2н (11.57) Величина, цахолящаяся в квадратных скобках (11.57), как нетрулно видеть, является исходной функцией времени (11.55). Поэтому в результате получается так называемая формула Рслся (теорема Парссваля), которая и соответствует энергетической форме интеграла Фурье: — 1,'Г(Тю)!' г(ы= 11х(г)!гг(Г 1, . г 2н (11.58) Подставляя ю - 2н/; получим ~1Т( 2 у)й„(7. ~( (г))г,уг (11.59) Правая часть (11.58) и (11.39) цредс тавляет собой величину, пропорциональную энергии рассматриваемого процесса.
Так, например, если расслгатрцвается ток, протекающий цо некоторому резистору с сопротивлением )г, то энергия, выделившаяся в этом резисторе за время г, будет ~ййгд, о 1;и, ~!Р(7ю)!г сгю=1цц — ~(х(г)3 сг 1 1, . г 1 г -2Т 2н т'- 2Т -г (11.8О) Из (11.58) и (11.59) вытекает, что для цахожления энергии рассматриваемого процесса за осскоцсчный интервал наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функции времени по всему времени от — Ло + или интегрировать квадрат модуля изображения Фурье по всем частотам от — но + .
Формулы (11.58) и (11.59) и выражают энергетическую форму интеграла Фурье. Олцако эти формулы неудобны тем, что для болыцииства процессов энергия за бесконечный интервал времени стремится также к бесконечности. Поэтому улобцсе иметь дело нс с энергией, а со срслцсй мощностью процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения.'! огла формулу (11.58) можно црслставить в виде 318 Непрерывные линейные системы автоматического управления Правая часть (11.60) представляет собой средний квадрат рассматриваемой величины х (Е). Вводя обозначение 1 !ип — ~! Е( усв) !~ = 5(со), г -2Т (11.61) можно переписать формулу (! !.60) в виде 1 — ~ 5'(со)йо=ха 2к (11.62) или в вилс 1 5(2к/)Ф =хз (!!.6З) )зо(со)сссо = — 1 з(со)ссю = х .
1" ! 2ко 2к (11.64) где 5о (со) - 25 (со) — спектральная плотность для положительных частот. В дальнейшем изложении будет рассматриваться спектральная плотность, соответствующая всему диапазону частот от — до +, так как ири этом формулы получают более симметричный характер. Весьма важным обстоятельством является то, что спектральная плотность и корреляпиопная функция случайных процессов прсдставляк>т собой взаимные преобразования Фурье, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
