Бесекерский (950612), страница 67
Текст из файла (страница 67)
0 0 а! аз ... 0 0 0 0 ... а„ (-1)". (11.116) Интегралы такого вида вычислены до п = 7 и сведсны в таблиць! (см. приложение 1). Заметим, что знаменатель правых частей приведенных в приложении 1 формул представляет собой Ь„.! — определитель Гурвипа. На колебатсльной гранино устойчивости этот определитель обращается в пуль, а диспсрсия выходной величины будет стремиться к бесконечности.
В заключение рассмотрим два важных случая прохоткдепия случайно! о сигнала через линейную систему. Статистическое лиф ференц про ванне.11рипоступлсннислучайного сигнала па идеальное дифферепцирующес устройство с передаточной функцией иг(р) - р спектральная плотность выходной величины (производной от входной величины) может быть получена умножением спектральной плотности входной величины па о!' ~2 (ы) го ~! (то)* (11.117) ) 5!(ш) 2 (11.118) при двойном интегрировании — на го" и т. д. 9 11.8.
Расчет установившихся ошибок в автоматических системах Замкнутая система автоматического управления может находиться под воздействием случайного задающего сигнала я(г) и случайной помех ну (г), приложенной в произвольной точке системы (рис. 11,26), Корреляционные функции и спектральные плотности задающего воздействия и помехи будем считать известными. Конечной целью расчета является нахождение корреляционных функций и спектральных плотностей выходной величины у (г) и при двойном дифференцировании — на ш и т. д.
Статистическое интегрирование. При поступлении случайного сигнала на идеальное интегрирующее звено с передаточной функцией Ц'(7!) 1/р спектральная плотность выхолной величины (интеграла от входной величины) может быть получена делением интегральной плотности входной величины на тв: г, 336 Непрерывные линейные системы автоматического управления 5, (со) = )Ф,(усо)) 5х (са). (11,119) Частотная передаточная функция по опсибкс Ф, (усо) связана с частотными >>срелаточпыми фушсциями разомкнутой й> (уо>) и замкнутой ср (усо) системы соотношением Ф, ( уеа) = = 1 — Ф( усо). 1 1-:- йг(у'а>) Таким образом, для спектральной плотности ошибки получаем 5,(о>)= 5л(а>) 11+ и/(уш) ~2 ' (11,120) Интегрирование этого выражения по всем частотам позволяет определить лисперсию и срсднеквалратнчное значение ошибки; хгх = /У) = — ~ 5, (со)йо.
1 (11.121) Вычисление дисперсии и срсдцеквалра>з! шой о>пибки через корреляционные функции может производиться па основания формулы (11.107). В качестве функции веса в рассматриваемом случае лолжна испо>!Ьзоваться функция веса для ошибки и> (г), связанная с частою>ой передаточной функцией по ошибке преобразованием с1>ур! с Ф (уеа) = ~'к (г)с.-л"',уг о После нахождения корреляционной функции ошибки Л,. (т) лисперсия опрслеляется полстановкой т - О, т.
с, т) - ус (О). Однако нахождение среднеквадратичной ош иб>ки посредством использования спектральных плотностей оказывается обычно боле! простым и поэтому применяется чаще. В лругом простейшем случае, когда задающее воздействие я(г) = О, а помеха нрелставляст собой случайный стационарный процесс со спектральной плотностью 57(со), аналогичным образом можно найти спектральную плотность ошибки: 5; (сэ) = (Фу(уш)~ 5у(ш). (11. 122) ошибки х (г). О бы'и к> ограничиваются более узкой залачсй и оп рслеляют только срсднсквалратичпую он>ибку системы, Это может быль сделано посредством интегрирования по всем частотам спектральной плотности оп>ибкп или через корреляциопнук> фупкци>о ошибки х (г). В простейшем случае, когда залакннсе возлействие уу (г) прслставляст собой случайный стапиопарпый процесс со спектральной плотностью 5а (о>), а помеха отсутствует 7(г) - О, расчет можно свести к рассмотренной выше схеме (рис.
1125). Тогда спектральная плотность ошибки будет Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 337 В атом выражении Фу (утв)представляет собой частотную передаточную функциях Х(р)~ Х( тю) (р) л=лс Фу(ую) = связывающую изображения Фурье ошибки 'х (г) и помехи т' (г). В частном случае, ко1да помеха Г(с) действует па входе системы в месте приложения задающего воздействия, в формуле (11.101) должна использоваться частотная передаточная функция замкнутой системы: ~г 5,(то)=)Ф(вш)~ 5.(со)= ~ ~ 5 (то).
1+ й'( ттц) (11.123) (г)=1Д( -Л) .(Л) сЛ -~У( -Л)ау(Л)УЛ. о О (11.124) Подставим зто выражение для ошибки в формулу корреляционной функции (11.51). В результате получим 1 7' ст (т)= йш — ~ ~с(г)й(г+т-т))ш,(т))сут)~фг-Л)те,(Л)с(Л+ т + ~асс ~/(г+т-т))теу(т))сЬ)~Я -Л)тв,(Л)с(Л+ о о г + ~ суг ~й(г + т — т1)тс,. (т))стт) Г)у (с — Л)те с(Л)с(Л+ -г о о т ° )с~)сВ-т~,о>сс)сп -е ~~есп~. -г о о Рассмотрим теперь общее выражение спектральной плотиосги ошибки для случая, когда задающее воздействие д (г) и помеха Г(г) действуют одновременно (рис.
11.26). Обозначим через те, (с) весовую функцию для ошибки цо задающему воздействию и через тег (г) весовую фупкцтткт для ошиГцти по помехе. Тогда ошибку можно представить в виде 338 Непрерывные линейные системы автоматического управления Отсюда находим Й,.(т)= ) ссУЛ )(се,(Л)Й (т+Л-т))тоэ(т))ч-шс(Л)Й,(т+Л-с))ш (т))+ + ФГ (Л) Йух(т+ Л - Ц)ш, (Ц) + ш,. (Л)Йяу (т+ Л- т))шу (т))) сУт), (11.125) где Й (с) и Йух (г) — взаимныс корреляционные функции. ля нахожлс пня спектральной плотности онсибки левую и правую части (11.125) умножим на с уыт и проинтегрируем по т от — до + . В результате выклалок, аналогичных тем, которые были пролеланы при выводе формулы (11.111), получим 5„(ш)=(Ф,(уш)~ 5„(ш)+)Ф.(уш)~ 5Г(ш)+Фх(уш)5Гя(ш)Ф~(усо)+ (11.126) +Ф, Цш)5 ~(ш)ФГ(~ш).
5,(со) =)Ф„(уш)~ 5,(со)ч-)ФГ(уш)! 5у.(со). (11.127) В частном случае, когда помеха лсйствуст на входе в месте приложения задаюсцсго воздействия и корреляция между ними отсутствует, формула (11.127) может быть представлена в слелующем ниле: 5т(от)=)Ф,.(уа)~ 5к(ш)+~Ф(уш)) 5.(со)= 5„(со)+ 5;(со). 1+ Иг( уш)~ " 11ч- цг(усо) (11.128) так как для этого случая частотная передаточная функция Фу (усе) совпалает с частотной передаточной функцией замкнутой системы Ф (уш). Все приведенные вьсцсс формулы для спектральной плотности оигибки х (г) могут быть легко переписаны для спектральной плотности выхолстой величины у (С), ссли в них залсестить частотную персдаточнусо функцию для ошибки Ф, (уш) на частотнусо передаточную функцисо замкнутой системы Ф (уа) = 1 — Ф, (уш).
в 11.9. Расчеты по минимуму среднеквадратичной ошибки Если на автоматичесссую систелсу действуют одновременно полезный сигнал и помеха, то возникает залача оптимального расчета системы с тем, чтобы получить наименыную результирующую ошибку. С точки зрения наилучспего воспроизвсде- В этом выражении 5, (со) н 5;, (ш) представляют собой взаимные спектральные плотности полезного сипсала и помехи, а Ф„(уа) н ФГ (усо) гастотньге псрелаточные функции для ошибки по залаюсцему воздсйствсию и помехе. Звездочкой обозначен сопряженный комплекс, При отсутствии корреляции между полезным сигналом н помехой формула (11,126) упросцастся: Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления ЗЗЗ ння полезного сигнала система должна иметь вс>змс>жно болыпую полосу пропускания, а с точки зрения наилу нного подавления помехи система, наоборот должна иметь возможно мепьшу>о полосу пропускапия.
Критерием получения оптимального решения здесь будет минимальное значение результируюпсей оспибки системы. опредсляемой полезным сигналом и помехои, ' Для случайных величин паиболсс просто определить срелцсквадратич ну>о ошибку, поэтому се и используют для оценки точности автоматической системы. Рассмотрим расчет системы по крите)>ию мипимума средиехвадрагпичной осииэки при одновременном действии полезного сигнала и помехи. Согласно атому критерию нежелательность ошибки пропорпиопальна квадрату се величины.
Такая постановка является часто логичной, но она нс может, конечно, претендовать на полную универсальность. В некоторых случаях, например прн стрельбе по какой-либо цели, все ошибки, большие некоторого значения, являются одинаково нсжслатсльньсми. Однако средний квадрат ошибкя системы управления 2 . 1 2 х =!цп — ) х (г)сгг т 2Т -г (11.129) практически во всех случаях является наиболсс просто вычисляемой величиной, что н определило использование этого критерия. Возможны' несколько формулировок задачи.
Наиболсс просто задача может быть сформулирована так. Если иместся какая-то система автоматического управления заданной структуры, то необходимо так выбрать параметры этой системы, чтобы получить минимум среднеквадратичной ошибки нри заданных статистических характеристиках полезного сигнала и помехи.
Эта задача решается следующим образом. По спектральной плотности ошибки путем ее интегрирования находится дисперсия. Дисперсия получается зависящей от вероятностных характеристик полезного сигнала, помехи и параметров системы. Затем и>путся условия, которые должны быть наложены на параметры системы, чтобы получить минимум лиспсрсии. При достаточно простом выражении для дисперсии это может быть определено непосредственным дифференцированием и приравниванпсм нулю частных производных.
В более сложных случаях приходится искать минимум дисперсии путем числового задания интересуюших параметров и построения соответствующих графиков, а также расчетом на ЭВМ. Другая постановка задачи при расчете цо критерию минимума среднеквадратичнойй ошибки заключается в том, что ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры и зна >ен>ий параметров автоматической системы, при которых обеспечивается получение теоретического минилсума среднеквадратичной ошибки при заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала и помехи. Эта задача будет решена, ссли найти, например, передаточную функцию замкнутой системы Ф (тса), при которой обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки.
Задача относится к категории вариационных задач. Приведем здесь некоторые результаты ее решения ~ 88 ] для случая, когда полезный сигнал д(г) и помеха т (г) представляют собой цецтрироваццыс стационарныс случайные процессы, при- 340 Непрерывные линейные системы автоматического управления где Н (р) — цреобразуютций оператор '!ак, например, при Н(р) = 1Гр получится задача интегрирования входного сигнала, при Н (р) - р — задача дифференцирования, нри Н (р) =! — задача простого воспроизведения со сгл вживанием помехи (обычная елсдяцтая система при наличии помех), при Н (р) - етл — статистическое упреждение (предсказание) и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
