Бесекерский (950612), страница 64
Текст из файла (страница 64)
е. они связаны интегральными зависимостями типа (11,54) и (11.55). Это свойство приводится без доказательств [88!. Таким образом, могут быть записаны следующие формулы: 5(со)= ! !с(т)е и с!т, (11.65) сс(т) = — ! 5(сл)е'"'йа 2п (11.66) Всличина 5 (со) или 5 (2п)) ссосит название спектральной плотности, Важным свойством спектральной плотности является то, что гистегрированис сс по всем частотам от — до+ лает средний квадрат исхопиой функции времени х(Г). По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от со до со + ассл. В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только для положительных частот, удваивая ее при этом, что можно слелать, так как спектральная плотность является четной функцией частоты.
Тогла, например, формула (11.62) должна быть записана в виле Глана 11. Сл)чайные процессы в системах автоматического ~правления 319 Так как спектральная плотность и корреляционная функция представляк>т собой четные вещественные функции, то иногда формулы (11.65) и (11.66) нредставляют в более нростом виде; Яы) = 2 ~К(т)соз>лтг(т, (11.67) о 1 й(т) = — ) 5(о>)сова>тг(ш (11.68) яо Это вытекает из того, что имеют место равенства: е""' = соз ыт -' 7' ей о о>т, е х»' = соз о>т — 7 з) и е>г, и мнимые части могут быть отброшены после подстановки в (11.65) и (11.66), так как слева стоят вещественные функции.
Связь между спектральной плотностью 5 (а>) и видом функцн0 времени >г (г) заключается в том, что чем уже» график спектральной цлотности (рис. 11.16, а), т. е. чем меньшие частоты представлены в спектральной плотности, тем мсдлспнсс изменяется величина х во времени. Наоборот, чем»щирс» график спектральной плотности (рнс. 11.16, б), т. е. чем большие частоты представлены в спектральной плотности, тем тоньше структура функции х (г) и тем бысгрее происходят изменения к во времени.
Как видно из этого рассмотрения, связь между видом спектральной плотности и видоги функции времени получается обратной но сравнениго со связью между корреляционной функцией и самим процессом (рис. 11.14). Отсюда вытекает, что более еширокому» графику спектральной плотности должен соответствовать более узкий» график корреляционной функции и наоборот. Вычисление спектральной плотности неудобно делать но соотношению (11.61), так как это связано с трудностью предельного перехода. Обычно спектральная ало>- ность вычисляется по известной корреляционной функции при номснцн формул (11.65) или (11.67).
Эти формулы соответствуют так называемому двусп>роннему преобразованию Фурье четной функции времени Н (т). В табл. 11В даны некоторые функции И (т) и их изображения Фурье 5 (е>) в соответствии с (! 1.65) и (11.67) В таблице испол ьзу>отса импульсные функции 6 (т) >' б (а>) Эти функции, в отличие от имцчльсных функций, рассматривавшихся в главе 4, являются четными. Это означает, что функция Ь (т) расположена симметрично относительно начала координат н может быть определена следующим образом: с О 6 (т) = О при т я О и ~Б(т)дт = )г Ь(т)г7г= — для всех е > О, о -Е 2 * 320 Непрерывные линейные системы автоматического управления Таблица ! КЗ, Двустороннее изображение фурье четных функций .( )= 5~(ст) — — ~ 5о(то)ттго 1 о 2я (11.69) Лналогичнос опрсдслспис относится к функции о (го).
Иногда в рассмсоренис вводят нормированную спектральную плотность, являюпгук>ся изображением г(зурье нормированной корреляционной функции (11.52): Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 321 где спектральная плотность 5с (гл) соответствует процессу (х — х )! и, следовательно, — ) 5с(ст)гугл = (х - х)' = О, (11 7()) 2п где Π— дисперсия, Аналогично введенному шшяти~о взаимной корреляционной функции (11.53) могут рассматриваться взаимиыс спектральные плотности 5,ч (го) и 5„. (ст), являющиеся изображениями Фурье Л„, (т) и Й, (т) Взаимиыс спектральные плотности также являются мерой связи между 11вумя случайными величинами.!1ри отсутствии связи взаимиыеспектральные плотности равны нулю. Рассмотрим некоторые примеры.
1. Для постоянной величины х(г) = Ае корреляционная функция равна й(т) = Л„'. Эта функция изображена па рис. 11.17, а. Соответствующее сй изображение Фурье иа основании табл. 11.3 будет 5(вт) = 2пА,',8(сз) или, в другом виде, 5(2пу") = Ле 6(7'). Спектр ~ ~ропесса состоит из единственного пика тина импульсной функции, расположенной в начале координат (рис. 11,17, б).
;-)то означает, что вся моигиость рассматриваемого процесса сосредоточена па пулевой частоте, что и следовало ожидать. 2. 11ля гармонической функции х Л, гйп (ст,г е гу) была получена коррсляциои- А2 цая функция Я(т) = — ~совет,т. Эта функция изображена па рис. 11.18, а. В соотвст- 2 стени с табл. 11.3 спектральная плотность будет А~ 5(ег) = 2л — '18(гв-го, )+ Ь(от+ го, )] 4 или График спектральной плотности будет иметь лва пика типа импульсной функции (рис 11.18, б), расположсиньгг симметрично опьзсительпо начала координат при гл †.
-ггл, и от = . гоь 322 Непрерывные линейные системы автоматического управления Слсловатсльно, моптность гармонического сигнала сосредоточена на лвух частотах: ст, и — от, (или соответствеипоу, и -Г';) Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, то получим, что вся мопьпость гармонического сигнала будет сосредоточена на одной фиксирова|гной частоте +от, или +Л 3 Для периодической функции, разлагаемои в ряп Фурье х(Г) = Ло + чАз гйп(юьг + Чг„), ьы спектральная плотность может бьп.ь нрслставлспа в викс 1з 5(гв)=2п А25(оэ)+~ — з(б(го — оз )+б(от+от„)1 или Этой спектральной плотности соответствует линсйчатый спектр (рпс, 11.19) с импульсными функциями, расноложенцыми на положительных и отрицательных частотах гармоник.
На рис. 11,19 импульсные функции условно нарисованы так, что их высоты показаны пропорциональнвгми козффпцисптам при единичной импульсной функции, т. е. величинам Аьв /4 и А~. Если функция времени х (г) кроме периодической части будет содержать непериодическую составляюпгуго, то спектр отой функции будет содержать, наряду с отдельными линиями типа импульсной функции, также и непрерывную часть (рис.
11,20), Отдельные пики на графикс спектральной плотности указывают на присутствие в исследуемой функции скрытых периодичностей. Если функция времени х (г) нс содержит периоличсской части, то опа будет иметь непрерывный спектр без ярко выраженных пиков. Рассмотрим некоторые стациопарныс случайные процсссы, имсюгцие значение при исслсловапии систем управления. Будем рассматривать только цептрированцые Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 323 процессы, т е. такие процессы, математическое ожидание которых равно нулю; х = О, а дисперсия тх е О.
При этом средний квадрат случайной нсличины булст равен дисперсии; х -7)=о',ай(т) =Ф(т). Это ограничснис не имеет существенного значения, так как в случае х ~ 0 учет постоянного смещения в системе управления является элементарным, 1 . Б е л ы й ш у и. Пол белым ~цумом понимается случайный процесс, имеющий «белый > спектр, т. с. одинаковое зпаченис спектральной плотности при всех частотах от— до+ (рис.
11.21, а): 5(от) = У. (11.71) П ример такого процесса — тепловые шумы резистора, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряжения на атом резисторе глс тт сопротивление, ут 1,37 х 10 тз Вт с/1" — постоянная Больцмана, Т" — абсолютная темпсратура. На основании (11.68) спектральной плотности (11.71) соответствует корреляционная функция (т(т) = — ~ Усозоттйо = Мб( т). 1" 'то (11.72) Таким образом, корреляционная функция представляет импульсную функцию, расположеннуто в начале координат (рис. 11.21).
Этот процесс является чисто слу- чайным процессом, так как из графика корреляционной функции випно, что при лю- бом т ~ 0 отсутствует корреляция между последующими и предылущими значсния- ми случайной величины х Процесс с нодооного рода снекгральтюй плотностью является физически нере- альным, так как ему соответствуют бесконечно болтяпие лисперсия и средний квал- рат случайной величины: Р - х' - й (0) — + °, а следовательно, бесконечно большая мощность. Чтобы получить физически реальный процесс, улоопо ввести понятие белого шума с ограниченной спектральной плотностью (рис.
11.21, б): 5 (от) = М при ~ от ( ~ от„, (11.73) 5" (от) = 0 при ~ от ! < от„, где ЛЮ Ша 2п и (11.74) Корреляционная функция также изображена на рис. 11.21, 6. Для этого процесса ха=0= — ~ Хйо= "= — =МА|. 2п 2к 2л (11.75) Среднеквадратичное значение случайной величины пропорционально кори|о кввд1татному пз полосы частот: (11.76) Часто бывает удобнсс аппроксимировать зависимость (11.73) плавной кривой. Для этой цели можно, например, использовать выражение (11.77) где ц = 1/Т вЂ” коэффициент, опрсделякнций ширину полосы частот. График спектральной плотности, соответствующий этому выражению, построен на рнс. 11.21, е. Для частот -1т с ат с р процесс приближается к белому шуму, так как Аая атих частот Интегрирование (11.77) по всем частотам даст возможность определить дисперсию: Поэтому спектральная плотность (11.77) может быть записана в другом виде: 324 Непрерывные линейные системы автоматического управления — полоса частот для спектралытой плотности.
Этому процессу соответствует корреляционная функция М " Х Я(т) = -/5(от)созытйо = — ) созытйо = — з1пы„т. к пт 2Д1 у(ы) — р 1+ютта Ыэ+ э 1 '1 %Ло 7т' 2п 1 1+<ояТэ 2Т 2Т0 21т0 1+ы Та рэ+ы (11.78) ! Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 325 Корреляционная функция для:>того нрспгссса А(т) = — ~, е>' "г(о> = 7)е 1 ' ° 2р0 2п ~ Н "-е>~ (11.79) Коррсляцио>щая функция также изображена па рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
