Бесекерский (950612), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Этот закон имеет вид ы-х) 1 ге(х) — е 2« и /2к (11.21) где и — среднеквадратичное отклонение, а х — математическое ожидание случайной величины. График для этого закона изображен на рис. 11.10. Оп нмсст типичную «колоколообразную«форму. Лнализ условий возникновения нормального распределения показывает, что опо имеет место во всех тех случаях, когда случайная величина харакгеризует собой суммарный эффект большого числа независимых причин. Поэтому нормальное распределение весьма часто встречается на практике.
Для этого закона средпсвероятное отклонение будет Ь„= ~ — о=0,674о. Гг ~п За максимальное отклонение, которос может иметь место, обычно принимают величину Ь~,„= Зп, так как вероятность того, что отклонение )х — х( будет болыпе Зо, очень мала. а именно; Р()х-х~ > Зп) =0,003. Для удобства расчетов составлены таблицы для единичного нормального закона. Для получения этого закона положим х = 0 и введем повук) относительпук) персх менную У = —. Тогда вероятность того, что текушес значение относитетьной пере- и' мепной находится в интервале от -а до +а или сама переменная находится в интервале от — ип до+на, определится выражением т г :««««л Ф(а)= / е т«г(х= — /е тИу. и /2к, /2к (11,22) Для функции Ф (и) составлены подробныс таблицы.
В качестве иллюстрации приводится краткая табл, 11.2. Рассмотрим пример пользования таблицей. Пусть имеется некоторая случайная величина х, для которой математическое ожидание х 10, а среднеквадратичное отклонение составляет и - 4. Определим, какова вероятность того, что случайная величина лежит в интервале 9,5 < х < 10,5. Это означает, что отклонение от математического ожидания должно лежать в интервале -0 5 < Ь < + 0 5, Для относительных величин это соответствует неравенству — 0,125 < Л/и < +0,125.
304 Непрерывные линейные системы автоматического управления Таблица ) Ь2. Единичный нормальный закон ! а Ф(~а) ' а 1 Ф(а) ( а 0,00 0,000 0,25 0,197 ' 0,70 0,05: 0,040 ' 0,30 ' 0,236: 0,80 Ф(а) и:, Ф(а) — )в 2,00 ! 0,954 250 0,988 0,576 0,632 > 3,00 ' 0,997 010 ~' ОО80 ~ 040 ТОи1 Т 090 0,15 0,119 0,50 0,383 ' 1,00 0,683 3,50 < 0,999 ! ! 0,20 ~ 0,158:, 0,60 ! 0,451 1 1,50, 0,866 ~ 4,00 ( 0,999 1 . 1 Р(-12 < х < 12) — Р(-1 1 < х < 1 1) Р(11<х<12).= 2 или для отклонсций Р(-2 < о < 2) — Р( — 1 < о < 1) Р(11 < х < 12) = 2 Перейдя к относитсльцым величинам, получаем в результате искомую вероят- ность Ф(0,5) — Ф(0.25) 0,383 — 0,197 2 2 Характеристические функции.
Веслом в рассмотрение функцию я ()Л), связанную с плотностью всроятностн зи (х) взаимным преобразованием Фурье; М)е~~'1=8()Л)= ) га(х)е~~йх, м(х)= — ~8(7Л)а 'к'аЛ. (11 23) 2я Эта функция называется харак)неристической, Ес основныс свойства слсдуюн(ис. Если случайная величина у = ах ч- б, то да()Л) = е' я,(УЛ). (11.24) Таким образом, а = 0,125. По табл. 11,2 опредслясм нутом ицтсрцоляции вероятность Ф (а) .=- О,1, Произнслсм болсс сложный расчст.
Пусть для той жс случайной вслнчнны необходимо определить вероятность нахождения сс в интсрналс 11 < х < 12. Так как кривая нормального раси редел синя является симмстрич ной относнтсльпо срслц его зпачсння случайной величины, то искомая вероятность может быть найдена кзк половина разности вероятности нахождсния случайной величины в интервале — 12 < х < 12 и вероятности нахождения в интервале -11 < х < 11, т, с.
Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 305 Если случайная величина г = х+ у, глс х и 1г — независимые всличины, то 8,(77) =8,.ОЛ)ал(7Л). (11.25) Для нормального закона распределения (11.21) характсристичсская функция бу- дет 8(~Х) = ) схР ))сх - , ох = ) схР 7Ххо — — о, гкто = о/2п „~ 2о' ! о/2я ~ 2от~ о"х'1 =схр /Ах — — ~. 2 (11.26) По характеристической функции могут быть найдены момснты случайной величины. Разлагая д(г) ) и М[с' 1 в первой формулс (11.23) вряд Маклорена, имеем и я(1).) = х"-,' яо1(0)),' «-р„, г=о к' (11.27) В 7„! М[е' [=',„', М[хг[~-М[й„].
=о (11.28) Из сравнения (11.27) и (! 1.28) можно получить формулу для момента и-го порядка: М [ "[ =)'8'"о (0). (11.29) Лцалогичным образом можно получить формулу для цснтральпого момента гаго порядка: Г т ч[ чв) -Хьа ( )Д (11.30) М[х~ хз) = ) ~ х~ х2го(хпха)"1х!Нх2 (11.31) Формулы (11.29) и (11.30) могут быть использованы для вычисления моментов.
Вскторные случайные величины. Пусть имеется совокупность случайных величин х; (1 = 1, 2, .... ц). Такая совокупность можст быть представлена в виде матрццы-столбца. Если фпзичсскис размерности всех всличин одинаковы, то матрица-столбсц может быть отождествлсна с вектором. При разных размерностях переход к вектору может быть сделан послс нормирования (введения весовых козффициснгов).
Г1усть, например, имеются лве цспрсрывных случайныс всличины х, и ха Для них можст быть введена двумерная плотность вероятности тч (хп хз). Если величины хг и хз псзависимы то ы (х1 ха) ий (х1) гоз (хз). Вводится понятие смсшанного момента вг-го порядка, гле т = д + з, 306 Непрв ывныв линейные системы автоматического управления н смсп1анного центрального момента М1(Х1-'х,)"(х2 — х2) )= ) ) (х1-х1)"(хв х2)пм(х1,Х2)ох112хг (11,32) Если гу з = 1, то центральный момент второго порядка имеет скобое значение и носит название корреляционного момента: !2 = НХ1 — 1)(Х2 — Х2)1= ~ ) (Х1 -Х1)(Х2 — Х2)М(Х1,Х2)Гпх1Гпх2 (11.33) В случае нсзависимгюти случайных величие х, и ха можно легко показать, что корреляционный момент ггв = (), Иногда употребляется понятие козффипиепта корреляции, представляющего собой относительное значение корреляционного момснта: 112 112 Ри = Ф02 О1О2' (И.З3) где 01 н 02, — лиепе(1сни величин х, н х2.
Для совокупности случайных величин х, (1 = 1, ..., п) в приближснпык расчетах часто ограничиваются заданием матрицы-столбца (вектора) математических ожиданий х =1х11„„1 и матрицы корреляционных момегггов 111 112 113 '" 11л г21 122 гзз - гзп (11.35) гп1 гл2 гло " гпп Состанляющие корреляционной матрипы показывают степень связи между отдельными слУчайными величинами, пРичем гл - 1;-. На диагонали коРРслЯппонной матрицы находятся собствснныс цсптральнгге моменты второго порядка, т, с, дисперсии 0; - гл (1 - 1, 2, „.. п).
е 11.2. Случайные процессы Случайная величина х, изменяющаяся во времени г, называется случайнььн или стохастическим процессом. Случайный процесс не есть определенная кривая х (г), а является множеством возможных кривых х (Г), так же как случайная величина нс имеет определенного значения, а является совокупностью (множеством) возможных значений. Можно ешс сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной. Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 307 причем по свойству (11.14) для каждого из цих ) то(х,г)е(х=1. Для каждого заданного момента времени можно найти характеристики случайных величин, опрсделенныс в в 11.1. В результате будем иметь сред нее по множеству (математическое ожидание) х(Е)= ~ате(х,Е)Их (11.36, и дисперсию 0 , — ( ( х)з (х,Е)г(х г ха(Е) -(х(Е)1' ° (11.37) Среднее значение случайного процесса представляет собой некоторую среднюю кривую (рис.
11.12), около которой группируются все возможные отдельные рсалн- Примерами случайных процессов могут, например, являться: координаты самолета, замсрясмые радиолокационной станцией; угол визирования движушейся цели головкой самонаведения; помехи в системе телеуправления; нагрузка электрической сети и т, и. Итак, в случайном процессе нет определенной зависимости х (е). Каждая кривая множества (рис.
11.11) является лишь отдельной реализацией случайного процесса. Никогда нельзя сказать заранее, по какой кривой пойдет процесс. Однако случайный процесс может быть оценен некоторыми вероятностными характеристиками. В каждый отдельный момент вРемени (Ео Еж Ез, ..., Рис. 11.11) паблюдаЮтсн слУ- чайные величины х, = х (Е,), хе = х (Ев), кажлаЯ из котоРых имеет оной закон РаспРедслсния. Поскольку зто — непрерывная случайная величина, то надо пользоваться понятием плотности вероятности. Обозначим го (х, е) закон распределения для всех этих отдельных случайных величин.
В общем случае он меняется с тсчснислт вре испи. Для каждого данного е н отдельности (Ео Еж Ез,...) будет свой закон распределения: ео (хо е! ), Еег (Х2, ет), ее (хз, ез), ..., 308 Непрерывные линейные системы автоматического управления 1 х =!цн — )гх(е)еуе, т -2Т -7' (11.38) Переход к нрслслу здесь необходим для того, чтобы характеризовать цс какой- нибудь отдельный участок кривой, а всю возможную кривую х(е) в целом. Для того чтобы знать связь межлу возможными значениями случайной функции х (е) н нослслукнцие моменты времени со значениями в предыдущие моменты, вводится понятие двумерной плотности вероятности и> (х>, е>, хг, е,) (н>г > О), смысл которого можно пояснить следующим образом. Вероятность того, что в момент вРсмсни Е, величина х находитгн в интсРнале (хо х, ь е(х>), а в момент вРсмсни ег — в и нтеР вал с (хг, хг ь еЕхг), бУдет гег (хн е,; хг, ег) Ых е)хг.
Это есть веРоЯтность того, что кРиваЯ х (е) пРойлст вблизи двУх заданных точек (хо е,) и (хг, ег). ВводитсЯ также и п-мерная плотность вероятности тл„(х>, е>,'хэ ег, 'л хе е„). Если се умножить на >гх>, еухг, ..., >Ехм тг> это будет вероят'ность того, что кривая пройдет вблизи заданных л точек. Случайный нроцсгг полпостью определяется вялом функций гео вг, гвз,, аа и связьк> между ними. Простейшим типом случайного процесса является чисто случайный процесс. В таком процессе все значения случайной величины в отлельныс моменты времени (х, в момсцтебхг в момснтег ит.д.) нсзависатлРУготдРУга. Тогега поанлениЯ значсций (хо е~), (хг, ег), (хз, ет) и т. д.
бУлУт независимыми слУчайными событиами, ллЯ которых вероятность их совместного настунлсння равна, как известно, цроизведению вероятностей дастунлсния каждого нз цнк н отдельности. Следовательно, для чисто случайного процесса (11.39) шг(х> е> .тг ег) н>(х> е>) ю(хг ег) и вообще и> (х, е>, хг, ег, ...;х, е„) = те(х>, е>) н>(хг, ег); ...' Ее> (х «) (11А0) Это — самые простые соотношения в >сорин случайных цренгсссон, Они могут нримспяться лля характеристики некоторых видов помех (чисто случайные хаотические помехи).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
