Бесекерский (950612), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

зации этого процесса, а дисперсия ег (е) или срслнеквалратичнос <>тклонение'о(г) характеризуют рассеяние отдельных возможных реализации процесса около этой средней кривой. Кроме этих осрслцснных характеристик х (е) и 0 (е), которые лля каждого данного момента времени являются средними но множеству, введем понятие среднего значения случайной величины х для отдельной реализации случайного процесса х (Е), которос определяется нз вь>ражения Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического уп аления 309 Для характеристики полезных входных сигналов систем управления соот~гошсния (1 !.39) и (11.40) практически не могут применяться, так как для этих сгггналов ход процесса в последукццие моменты времени в какой-то степени зависит от того, что было в предыдущие моыспты времени.

Так, например, сели речь идет о слежении за самолетом, то он пс может как угтшно быстро менять свое положение и скорость. Поэтому если оп в момент времени г, занял положение хп то этим самым его возможное положение хз в следующий момент !а ограничено, т. с. события (хж гв) и (хп г,) не будут независимыми. Чем болес ннсрционен изучаемый объект, тем больше зта взаимозавнснмостгь или корреляция. В таких случаях вместо формулы (11.39) пгякбходцмо записать шх (х~ Гб.тв Га) ье (х~ гч) юз ~ (гг Гз) (11.41) где ге~,л (хэ га)й: — условная вероятность того, что случайный процес с пройдет вблизи точки (хш Гт), если он уже прошел через точку (хп Гг).

Следовательно, зная плотности вероятности го (хп Г,) и гоз (хъ Гй хз, гз), можно найти также и условную плотность вероятности гоа(хпг~,'хюгв) гы (х2 'га ) '(...) (11 42) ю(хпг~) = ~гоз(хог~,'хв,гв)Ихю (1 !.Лз) так как ш (хн г,) г сть плотность вероятности случайной величины (хп г,) безотносительно к тоьгу, какое потом будет значение (хи гв), т. с. допускается — < хв < +». Лналогичпь и образом лкзбая плотность вероятности низшего порядка всегда может быть получена из высшей, т.

е. высшие плотности вероятностей содержат наибольшее количество информации о случайном процессе (о взаимосвязях между возможпымн значениями случайной величины х в различныс моменты времени). Написанные соотношения справедливы для случайных процессов лгобых типов. В зависимости жс от того, до какого порядка припиыаготся во внимание плотности вероятности, а также от разных дополнительных гипотез о формах связи между и ъ клэ ..., ш„рассматриваются разные типы случайных процессов в ел лично от чисто случайных, Другая классификация всех случайных процессов состоит в разделении их на стационарные и нсстационарные. Теория стационарных случайных процессов наиболее разработана и чаще всего применяется на практике. 5 11.3.

Стационарные случайные процессы ьтациопарггьгм случайггюм процессом называсття такой процесс, вероятпостныс характеристики которого пе зависят от времени. Все плотности вероятностей гоп иж Крох!с того, имеет место слсдуго!цая связь ме.кду основными плотностями вероятности: 310 Непрерывные линейные системы автоматического управления ., ю„не меняются нри любом сдвиге рассматриваемого участка процесса во времени, т. с.

прн сохранении цостоя>шой разности. Можносказать, чтостапионарный <.чучайцыйнроцесс в какой-то мере аналогичен обыч»ым стационарным или установившимся процессам в автоматических системах. Например, нри рассмотрении обычных установившихся периодических колебаний ничего не изменится, если перенести начало отсчета на какук>- нибудь величину. При этом сохранят свои значения такие харакгеристики, как частота, ам плиту><а, среднеквадратичное значение и т. и, В стационарном случайном процессе закон распределения один и тот же для каждогомоментавременит с плотностьвероятностинсзависитотвремспи ю(х г) = <в(х). Отсю><а нолучаем х сопят и о - сопзг вдоль всего случайного процесса.

Следовательно, в стационарном случайном процессе средняя линия, в отличие от общего случая (см. рис. 11.12), будет прямая х - сопз< (рис. 11.13), подобно постоянному смещению < рсднсй линии обычных периодических колебаний. Рассеяние значений переменной л в стационарном случайном процессе, определяемое <т = сопзц также будет все время одинаковым, подобно постоянному значению среднеквадратичного отклонения обычных установившихся колебаний от средней линии. Аналогичным образом и двумерная плотность вероятности также будет одна и та жс лля одного и того же промежутка времени т - г> — г, между л>обымн г, и гз (рис.

11.13), т. с. шз (хв г,; хэ г>) = к>з (х>, ха, 1), (11 ч4) и также для п-мерной плотности вероятности. Задание всех этих фув распределения цлопюсти определяет случайный процесс. Однако более удооно иметь дело с некоторыми <>срсднсцными н характеристиками процесса. Прежде чем перейти к ним, отметим два важных для практики свойства, 1. Ограничиваясь только стационарными случайными нропессами, можно будет определить только установившиеся (стационарные) динамические ошибки автома гических систем нри случайных воздействиях. Такой прием применялся и ранее при рассмотрении регулярных воздействий, когда опредслялнсь динамические свойства систем по величине динамических оп<ибок в установившемся периодическом режиме.

2. Стационарцыс случайные процессы обладают замечательным свойством, которое известно нод названием зрг<>дической гипотезы. >1ля стационарного случайного процесса с вероятностью, равной елннш<е (т. с. практически достоверно), всякое среднее по множеству равно соответству<оц<сму среднему повремени, в частности к=х, лз =ля ит.д. В самом леле, поскольку всроятностныс характеристики стационарного случайного процесса с течением времени не меняются (например, х = сонат), то длительное цабл>одсние случайно<'о процесса иа одном объекте (среднее по времени) лает в среднем такую жс кар> ину, как и больнк>е число набл>одсш<й, сделанное в одни и тот же момент времени на большом числе одинаковых объектов (среднее цо множествУ).

Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления 3! 1 Для многих случаев суц>сствусг математическое доказательство этого свойства. Тогда оно сводится к эргодичегкой теореме. Итак, среднее значение (матсматичсскос ожнлание) для стационарного процесса будет 1.г х = 1 хте(х)>тх = х =1нп — 1 х(г)Й. 2Т -г (11,45) 9 11.4. Корреляционная функция Начальцглй корреляционный момент двух значений случайной функции х(Г) и х(Г>), взятых в моменты времени Г и г, носит название корреляционной (аетокорреляционной) функции, Она чожст быть найдена аналогично (11.31) из выражения Я(цг>)=м~х(г)х(г>)~= ~ ~х(г)х(6>)ге2(хг;х>д>)гххйх> (11Л6) где вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот жс момент времени из (хн гб х2, гт) -- двумерная плотность вероятности. Иногда пол корреляционной функцией понимают центральный корреляционный момент х(г) их(г,), т. е. )гс(Г,Г,)=М(( -(2)-Х(Г))(х(Г,)-х(Г,))!= ~ )г[ (Г)-х(Г)П- («.)- х(г>)>>е2(х г'х>'г>) х >' (11.47) В этом случае корреляционная функция (11 А 8) может быть представлена в вндс суммы й(г,г,) = х(г)х(г>)+ ко(йг>).

(11 48) Корреляционная функция является весьма универсальной характеристикой для случайного процссса. Она определяет зависимость случайной величины в последуюн>ий момент времени х (г, ) от предшествующего значения х(г) в момент времени ь Это есть мера связи между ними. Аналогичным образом могут быть записаны моменты болсс высоких порядков— дисперсия, среднеквадратичное отклонение и т, и.

Эргодичсская гипотеза позволяет сильно упрощать все расчеты и эксперименты. Она позволяет для определения х, Р а и т, и. пользоваться одной кривой х(г), полученной при испытании одной системы в течение Ллительного времени вместо параллсльного испытания многих однотипных систем в олин и тот же момент времени. Таким образом, важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми Г>есчислениыми возможнымн еп> реализациями. Этим свойством не обладает никакой другой тип случайного процесса.

312 Непрерывные линейные системы авгоматичежого )правления Й(г,г)=М[хе(г))=х (г), К"(г,г)=М[[х(г)-.т(г)[а[=0(г), 3. Можно показать, что прибавление к случайным величинам цроизвольнык несггучашп гх величин не меняет их корреляционных моментов и днсясрсии. По»тому корреляционная функция г(» (г, гг) нс изменится, если к случайной функции добавить нроизвольнуго цеслучайнуго функцию. Это свойство нс относится к функции Л (г, г,), так как добавление неслучайных величин к случайным изменяет начальные моменты. В атом случае корреляционная функция будет равна сумме корреляционньгх функций случайной и неслучайной фуггкгггий. Иногда в рассмотрение вводится норжиропанннн корреляционная функция (11.49) Ананогичпо корреляционной функции можно ввести понятие взаимной корреляционной функции для Лвук случайных величин х (г) и у (г): 7( (г г )=М[х(г)гг(г)[ )(.

(гг)=М[[х(г) г(г))Ь(г~) У(г ))1 (1159) В случае тожлсствснного равенства нулго взаимной корреляционной функции случайные функции х (г) и гг (г) называгот нскоррсли)эовягг ными, Если взаимная корреляционная функция отлична от нуля, то х (г) и у (г) носят название коррелированцых случайных функций. Б случае стацнопарцости процесса корреляционные функции ггг (г, г,) и гг (г, г,) не будут зависеть от текущего значения времени г и будут оцрелсляться только временным сдвигом т = г, — г. С учетом зрг одичпости стационарного процесса корреляционной функцией можно назватьсредцее повремени отпроизведсниях(г) их(г+т) илих(г) — х и х(г+ т) - х 1 т гг(т) = х(г)х(г+ т) = [[га — !' х(г)х(г+ т)ггг, т 2Т -г' Я (т)=[х(г)-х[[х(г+т) — х[=![н1 — )[х(г)-х[[х(г+т)-х[ггг.

о 1 2Т -т (11.51) Дггя стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость, случайной величины х в цослелующий момент времени г + т от предшсствуюнгего значения в момент г. рассмотрим основные свойства корреляниошгых функций. 1. Из определенна корреляционной функции (11А6) н (11.47) слслуст свойство симметрии; гс(г, г,) = )7(ге г) н Л»(г, г,) = )го(го г). 2.

Характеристики

Список файлов книги