Бесекерский (950612), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Этому выражснию соотвстствуст каноническое разложение самой стучайной функции х(т)=х+ ) Уе""ч'=х+ , '(Х,совет,т+Учз1по>,г), .-о (11.93) Ит) = 11п~ ~ — "ел"ч''Ьот= — Я5(от)етьитуох ав-~о лот 2л (11.94) Здесь введена спектральная плотность стационарного процесса (см. % 115) 5'(от) = !'пп " = 11т 4ТО„. 2лО„ ье -~о Дот ?ч-~ являюгдаяся изображением Фурьс корреляционной функции Я (т). гдеХ„и У„взаимно некоррелированпыс случайные вели ~ипы с нулевыми математическими ожиданиями и с одинаковыми дисперсиями 0,8Р„.
В разложении (11.92) лолжпы отсутствовать нечетные гармоники. Тогда ряд (11 93) будет содержать только четцыс гармоники, что соответствует периоду 2Т(интервалу — Т< г < Т). и Если разность между двумя сотелнимн гармониками Ьст=ст„~ -от„= — устремить к пулю, что соответствует Т вЂ” +, то формулу (11.92) можно представить в виде 330 Непрерывные линейные системы автоматического управления 9 11.7. Прохождение случайного сигнала через линейную систему Рассмотрим линейную систему (рис.
11.25) с передаточной функцией И'(р) и функцией веса те(г). Пусть па входе действует случайный сигнал х, (Г) с корреляционной функцией К,(г, г,). Выходной сигнал хг (г) на основании формулы свертки (7А4) хг(г) = ~гг(т)х, (г - т)г(т = ~гс(г - т)х1 (т)Я. а о Рассматривая в этой формуле математические ожидания, имеем М!хт(г)) = ха(г) = )гге(г — т)х1(тМт. о (11,95) хо(г) = 1 (т))х,'(г -т))дт), о и хто(т,) = ~ж(Л)х1 (й -Л)г)Л о ) (11.96) После перемножения получим гп хт (г)хг (г1 ) = Цго(тт) те(Л)хг (г~ — т))х1 (г1 -Л)ггт)гтЛ. (11.97) оо Далее, переходя к математическому ожиданию, можно найти корреляционную функцию с К~~(йг, ) = ~пг(т))г)т) )те(Л)К~~(г, -т), гг -Л)г(Л. о о (11.98) Для определения дисперсии па выходе От (г) в формуле (11.98) следует положить г = гп Тогда () (г) = ((о(г г) = ~м(П)г(т) ~ге(Л)Д~(' тт г Л)г(Л (11'99) о о Для получения корреляционной функции па выходе запишем исходную формулудляцснтрированпыхзпачгний х, (г)=х,(с) — хг(г) и х,(г)=хо(г) — хг(г) длядвух моментов времени: Глава 11.
Случайные процессы в системах автоматического упраапения 331 В случае использования канонического разложения случайной функции Х1(Е) =Х1(Е)+Х(Е Х,(Е) ч (11.100) выходная величина может быть прслставлсна в виде х2(Е)=х2(Е)+ , 'Ъ'„у„(Е), и (11.101) где х2(Е) определяется формулой (11.95), а координатные функции у„(Е) = (те(Е- с)х„(т)еет. ! (11.102) Корреляционная функция выхолного сигнала )72(Е Е1) ~~ Кум(Е)ум(21) (11.103) а лисперсия 0,(Е) =ХО„(у (ЕН2.
ч (11.1021) 7(~(ее1)=$ (ПМ3ы())ц'( -П+Ьа, (11. 105) ! ! а лисперсия — из (11.99): 2)2(Е) рте(т))ит) 1в()")Я!(Х Ч) )"' ! ! (11.106) Если рассматриваемая система устойчива, то Л2(Е, Е,) и Р2 (Е) стремятся к нс ! которым пределам, которые опрелеля1от стационарный процесс на выходе. Онн могут быть найдены из (11.105) и (11.106), если положить е — > и е, — ~ Для нахождения математического ожидания х2(е) н координатных функпий у„(Е) в соответствии с выражениями (11.95) и (11.102) мо1ут использоваться различпыс методы построения переходных процессов (см. главу 7). В случае, котла на входе (рис. 11.25) действует случайный стационарный пропссс, корреляционная функция ее1 (е, е, ) = Я~~(т) зависит только от сдвига т = е, — е.
! Однако на выхоле линейной системы процесс некоторое время после включения будет устанавливаться и не будет стационарным. Корреляционная фупкпия на выхолс может быть получена из обои!го выражения (11.98): 332 Непрерывные линейные системы автоматического управления Тогда при >, — г= т Кг (т) = ~тк(т))к(т) )и>(Л)Я>" (т — т)+Л)т5, о а (11Д02) Ог = Яг(0) - 3ю(Ч) (цвак.(хЯ'(Л-ц)т(Л.
о >1 (11.108) Пусть, например, на входе интсгрнру>ошего звена с передаточной функцией В'(р) - й,'р и функцией веса ш (т) = я действует ослый шум с корреляционной функцией Я>(т) = Л»~(т) = Хб(т) . Тогда в соответствии с (11.106) дисперсия па выходе будет Т),(г) = )Ы>) - )>тМБ(Л->))>(Л вЂ” )Ыт! /гав - яг№ о -о 5>(ш) = !пп — (У>( ус>)(, 1 .. г т'- -2Т Это же соотношение имеет место н для выходного сигнала: 1 .
г .Уг( )= !>и —,,~ТгОео)) . т- -2Т В линейной системе изображения Фурье Е> (до) и (тг (гтп) связаны между собой посредством частотной передаточной функции: Тг Ош) ' и' (!то) ~> Ош) Отс>ода можно найти 5г(с>) = !!ш —,)Т>(йш)! )1Ъ (уш)! 2Т или зг(ш) =! "Чуш)! 5>(ш) (11.109) Таким образом, спектральная плотность выходной величины может быть получена умножением спектралык>й плотности входной величины па квадрат модуля ча- т.
е. дисперсия растет пропорционально врсмспн. 1!струдно видстгч что Й ( ) — > так как звено пе является устойчивым, а оно находится па границ(' устойчивости (нейтрально-устойчиво). Для расчета установившегося стацпонарнои> процесса па выходе системы (рис. 11,25) более удобно исходить из известной спектральной плотности па входе 5> (то). Тогда можно легко найти спектральну>о плотность 5г (о>) выходного сигнала.
Действительно, »о определенна> спектральная плоыюсть па входе связана с изображением Фурье Г, (уто) случайной величины л', (>) соотношением (11.6!); Глава 11. Случайные процессы в системах автоматического управления ЗЗЗ К (т) = )Г ге(т1)гут1 ~те(Л)Я> (т+Л-т1)гуЛ. (11.110) Найдем теперь спектральную плотность для выходного сигнала. Она связана с корреляционной функцией соотношением (11.65): 52(от)= ) 7т2(т)е У тут. Подставляя в последнюю формулу значение корреляционной функции из (11.110), получаем 5т(оз)= ) с!т ') гО. ~ е жяге(т1)те(Л)Я~(т"ьЛ-т1)гут1= = ~Ит ~гуЛ ~е тат'"~ ч1ежде хачй~(т-~ Л вЂ” т()о~(Л)в(т1)г(т1 = (11.111) = ~ гв(т1)е ' пгй~ ~те(Л)е' ~гтЛ ~Я,(т+Л-т()е ' '"~ "~гтт= = К(уго) йг(-7го) ~ 11, (т)е ' с(т =~1йГ(7го)~ 5, (ш).
Послслнсс выражение совпадает с (11.109), что и требовалось доказать. Пля нахождения дисперсии, или среднего квадрата выходной величины необходимо проинтегрировать по всем частотам спектральную плотпостгл 2 1 х~з = 0 = — ~ 5в (ю) йо = ~ 5 (2л/') г77'. 2я (11,112) Отметим, что закон распределения для случайной величины может, вообще говоря, меняться при прохождении се через линсипую систему. Однако в случае, если стотной передаточной функции линейной системы. Отметим, что приведенное выпи доказательство, вообще говоря, не является строгим, так как существование стационарного случайного процесса на выходе пс доказано.
При известной спектральной плотности 5т (ау) выходной величины может быть найдена коррстяпиоппая функция Лз (т) по преобразованию Фурье (11.66) или (11.68). Получим выражение (11.109) более строго. Для зтого используем формулу (11.107). Так как в реальных системах весовая функция тождественно-равпа нулю при г < О, то пижнис прелслы интегрирования можно положить равными — . 1)олагая, что на входе действует центрированный процесс (х = О) н Я,(т) = й, (т), имеем о 334 Непрерывные линейные системы автоматического управления на вхояс линейной системы имеется >юрмальнос распрсяеление случайной величины х, (г), то на выхоле лля случайной вслнчнпы хз (г) также булст иметь место порлтальное распрснслепне.
При вычислении интеграла (11.112) обычно приходится иметь дело с польштегральным выражением вияа (В(уто)( !А(уа>)1 где А (уо>) и В (Уо>) представляют сооой пекоторыс нолиномы от комплексной переменной уо>. Наивысшую степень знаменателя обозначим 2л. Наивысшая степень числителя в реальной системс может быть на выше 2п — 2. Для улобства интегрирования написанное выше выражение обычно прслставляк>т в вилс !В(уо>)~ С(уа>) ~А(уо>)~ '1(ую)А( — утв) где А (яо) =- ао (уо>)" + а, (Утв)" ' +.„+ а„, С( ) у ( )2а-з,б („)зл-4+ 1 ( С(уо>)йо 1 ( С(уш)г(о> 2п у А(уко)А(-уто) 2 у ) А(уто) )' (11.113) В обшем случае при любом и для устой >ивой системы интеграл У„может быть представлен в виде ( 29 1: 1 М„ у И 2ао Л„ (11.114) тле а, аз ав .
О ао а, а, ... О О а, аз ... О О О О ... а„ (11.115) Полипом С(уто) содержит только чегные степспиуо>. Полипом А (утп) лля устойчивой системы может иметь корни только в верхней полуплоскости. Область устойчивостити оказалась в верхней полуплоскост и вследствие того, что была использована подстановка р =ую, а множитель у означает поворот комплексного числа на угол я/2. Таким образом, выч ислени с лис персии (11.112) можно свести к нахождению ин- теграла ф! Глава ! !. Случайные процессы в системах автоматического управления 335 совпадает с точностью до знака со старшим определителем Гурвица, а числитель оп- ределяется выражением ~0 ~! ~2 " бп-! ао аз а„...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
