Бесекерский (950612), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Для уменьшения погрешностей проектируемой системы важно, чтобы коэффициент Вт н основном множителе имел возможно большук> величину. Однако чрезмерное увеличение Вз приводит к колебательному характеру переходного процесса. Оптимальнос соотношение между коэффициентами В, и Вт определяется из условия получения затухания за один псриод г, = 98%, которому соответствует выражение (см, в 8.5) 2п — =1и =1п =4, а 1 1 () 1- г, 002 (12.3) где а и )3 — вещественная и мнимая части комплексного корня, характеризующего основной процесс.
Учитывая соотношсиия: из (12.3) можно получить 2 Вг = В,з =л Е5' 16 (12А) М»ожитсль /т», опрсделяюпп>й соотношение между коэффициеитами основного множителя характеристического уравнения, является критерием псреходпого Режима, зависящим от выбранной степени затухания. Формула (12А) показы васт желев. мое соотношение между коэффициентами характеристического уравнения, к кото. 1тому иапо стРемиться цри проектировании системы. Это должно осуществляться введением различных корректирующих сродств. Глава 12.
Методы синтеза систем автоматического управления 347 р= — = — = 1,57. 6 и а 2 (12.5) В рялс случаев лля описания основного переходного процесса оказывается более целесообразным воспользоваться уравнением третьей степени рве В,угг-л,,р .В,=6. (12.6) Это уравнение лсожно представить в виде (р+ С„) (рг+В„р -В„) =6. (12.7) Между коэффициентами уравнений (12.6) и (12.7) имегот место соотногнепня: В, = Сн + В,н Вг = ф„+ Вгн в =с„вс Положим, что во втором множителе (12.7) по-прежнему я +~вг 16 (12.8) Поэтому корни характеристического уравнения (12.6) н (12.7) равны: р, -Сго (12.9) в„ ,в„ я раз = 2 2 2 (12.10) Так как вегцсственная часть корней должна быть возможно болыней, то целесообразно задать /~и с„=— 2 (12.11) и, следовательно, 2 в,=-в,, 3 (12.12) 1 с„= — в,, 3 (12.13) г +7 Вг! = —.В1.
36 (12.14) Из (12.3) можно также получить требуемое соотношение гисжду мнимой и вегцсственной частями корня (колебательность): !1одставив полученные значения н формулы разложения, находим зависимость между коэффициентами основного уравнения. Если В, задано, то я+12 з 2 38 ! (1238) из+4 в = — в. 108 (12.18) Эти соотношения должны реализоваться при проектировании системы управления. Корни оспонного уравнения 1 р,= — вп 3 (12,17) 1 .я Раз = — В~—+ .l' — 4 3 6 (12.18) Выбор уравнения для описания оспонной составлявшей переходного процесса зависит от структурной схемы проектируемой системы.
Рассмотрим теперь связь между основной и дополнительной составлягощп лги переходного процесса для заданного затухания г", (8.40). 11ля атой цели полезно представить характеристическое уравнение (12.1) в таком виде: Р А1 *ОР +А2ЙОР +,+ЙО =О, (12.19) где 42о — произвольно выбранный срсдпегеометрпческпй корень, Ап ..., А„, — безразмерные коэффициенты. Записанное в такой форме уравнение третьей степени принимает внд Р +А1(2ор" +АФвр+~с =0. (12.20) Разлагая его на множители, находим (р+С,)(рз+В,р+В,) =0.
Соотношения для коэффициентов: (12.23) Введем коэффициент а и положим (12.24) В, = аАгйо. 348 Непрерывные линейные системы автоматического управления А~й~г= С, + Вн Агззс = Вз+С,Вп г ззс — - С, Вз. з (12.21) (12.22) Глава 12. Методы синтеза систем автоматического управления 349 Тогда С, = (1 — а) А,йс, Вг = а„В, = йаа А, й„ г г г (12. 25) (12.26) Агйс =11-а(1-)га )1 аА! йсг й!! =)а(1-а) азАзй~, откуда т 1 А! =з гг„(1 — а)сгг (12, 27) Аг =11-а (1 — )га )1аА,г (12. 28) Таким образом, безразмерные коэффициенты А, и Аг являются фуггкциями кри- терия переходного процесса гг,г зависящего от желаемой степени затухания и коэф- фициента разложения а, определяющего соотношение постояшцях времени затуха- ния отдельных составляющих.
2 С 1 — а 1, В! При а = — имеем — '= = —, т. с, С! = —, и отношение постоянных времени 3 В, а 2 2 В! ., Тс В! Тс = —, и Ти = — оуглет — = — =1. С, 2 Т„2С, Следовательно, обе составляющие переходного процесса затухагот с одинаковой скоростью. Лналоплчным образом можно получить выражения для коэффициентов харак- теристического уравнения четвертой, пятой и более высоких степеней 185].
Синтез системы управления начинается с того, что для выбранной структурной схемы и введенных корректиругощих средств находится характеристическое уран- нснис, Затем варьируются параметры основного канала и корректирующих средств таким образом, чтобы получить требуемые значения коэффициентов характеристи- ческого уравнения (12.1) и:ш (12.20). Этот метод оказывается достаточно эффективным в с.,гучас сравнительно невы- сол<ой степени характеристического уравнения (и =- 2+ 4).
В более сложных случаях обеспечить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения ока- зывается затруднительно, так как некоторые параметры системы и коррсктиругоплих средств могут влиять сразу на несколько коэффициентов характеристи гсскоГо урав- нения, Недостатком этого метода является также то, что необходимо задаваться видом корректируюнцлх средств. Поэтому получаемое решение будет во многом зависеть о г опытности проектанта. Подставив полученные значения !сов!1>фициентов в формулы (12,22) и (12.23).
можем записать; 350 Непрерывные линейные системы автоматического управления В (р) у (г) = В (р) ц (г), где П(р) = и р" + и,р" ' + ... е и„, В(р) =б,р--.б,р"' '+...+Ь.. Это уравнение записано здесь для случая равенства нулю возмущающих воздействий. Оно может быть записано также для любого возмуща|ощсго воздействия. Это не изменит его формы и не отразится на дальнсюпих рассуждениях. Передаточная функция замкнутой системы 4»р э-13р -~--.+Ь,. Ф(р) = иер" +а,р" '+...+и„ (12.29) Пол|осы передаточной функции, т. е, корпи знаменателя, обозначим через рнрп р„, а ес нули (корци числителя) — через р,, рт, „,, р„,.
Коэффициенты числителя и знаменателя (12.29) определенным образом выражены через параметры объекта, управляющего устройства и корректи)эукэщих уст ройств. Если нужно выбрать величину какого-либо параметра р (ностоянная време ни, коэффициент усиления и т, п.), входян»его как угодно в коэффициенты (12.29) то необходимо принята некоторые погтояпнью значения лля всех остальных па1>а метров, а лля искомого параметра 13 задавать различные числовые значения ~3н )т»- ~3» внутри реально возможных пределов изменения этого параметра в данной снеге мс. Для каждого из этих вариа1пон необходимо затем вычислить корпи числителя и знаменателя (12.29).
Результаты вычислений можно свссги в таблицу, на основании которой легко строятся все траектории корней, 5 12.3. Метод корневых годографов Качество системы управления с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы,т.е. расположением нулей и полюсов перелаточной функции (в 85).
Зная эти корни, можно изобразить их расположение па комплексной плоскости корней. При расчете системы целесообразно проследить, как меняется общая картина расположения корней при изменении отдельных параметров, например коэффициента передачи разомкнутой системы, постоянных времени корректирующих цепей и т. п., с целью установления оптимальных значений этих параметров. При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут псремегцаться па плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которую будем называть корнева»и годогрифгьи или траекторией корней. Построив траектории всех корней, можно выбрать такое значение варьируемого параметра, которое соответствует наилучшему расположен»цо корней. Первый способ построения ~ раскторий корней заключается в следующем.
Пусть имеется дифференциалыюе уравнение замкнутой системы (5.3), записанное лля управляемой величины прн наличии задающего воздействия: Глава 12. Методы синтеза систем автоматического управления 351 Если нужно выбрать два или несколько параметров системы, то такого рода вычисления нужно проделать несколько раз, меняя каждый раз один пз параметров при заданных значениях всех остальных. Вычисление корней при этом можно производить при помощи стандартных программ для цифровых машин с выводом траектории корней на экран дисплея. Другой способ построения траекторий корней рассмотрен в 1911 9 12.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
