Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Обозначим это значение 1 через 1« и положим «р(1,)=х,. То~да 1„ ха являются пачальнымн значениями для непродолжаемого решения «2(1) н для решения «р(1). В силу доказанного выше, решение «у(1) есть продолв«ение решения «р(1). Если решение «р(1) иепродолм<асмо, то, в силу тех же соображений, оно является продолжением решения «,,(1), и нотоь«у решения «р(1) и «р(1) полностью совпадают. Итак, предложение А) доказано. Ь) Пусть Š— замкнутое ограниченное множество пространства Я, содержа«цееся в открытом множестве Г, и х= «р(1) — некоторое ненродолжаемое решение (см.
А)) уравнения (1), онределенное на интервале л««(1(«ня. Тогда существуют такие числа г, и г„и«(г«( (г«(льн что ~очка (1, «р(1)) пространства Я находится вне множества Е.', когда ! не принадлежит отрезку г, (1~г~. !«'.««докажем .нннь существование такого числа г,(а««я что нрн г«< 1(гнэ «о «ка (1, «р(1)) не принадлежит множеству Е. Существо«:я.ие ясла г, доказывается аналогично.
Если л««=оэ, то существоьюпс числа г, очеп«идно, так кгн«нрн 1, возраста«о«нех«до бесконсч«,оси«, точка (1, «р(1)), первая координата которой равна 1, обязательно д«лж«га покинуть ограниченное множество Е. Будем считать поэтому, по тт(оо, и докажем существование числа г«Прн этом мы используем опенку числа г, данную в предло>««с«««п 1') ч 21. В нгос.рана«:е К введем евклчдову метрику. Так как множес«ьо Е зпп«««уто и ограничено, а дополнение к откры«ому множеству Г замкнуто, то расстояние р между множеством Е и лонол««с««иеъ«к мно::сеству Г (см. Ч 32, пример 3) положительно.
Пусть Е" — миожест«:и всех «очек пространства Ц, расстояние которых до 1 мпожсс«ва Е не превосходит числа -,ур. Тогда Е"' — замкнутое ограничейное множссп,о, содержан«есся в Г, так что правые части системы (1) н их прои:иоашяе оо х', 1=1,, л, определены на множестве Е"' и ограничены на нем. Таким образом, для любой точки (1, х) из 176 1г.. » 'теОРемы сущестиовип1я Е"' иыполпены неравенства ~Х(, )~ М,!' — '„",,— '~ К -,7=,2,...,, (2) где Л и К вЂ” некоторые положительные числа. Выберем лва таких поло»хи»единых числа а и а, что д'+а'«" г— Если (1„, х,) — некоторая точка множества Е и П вЂ” множество всех точек (1, х), уловлетворягощях неравенствам )1 — ~,(~~у, ~х — х» (~а, то, очевидно, множество П содержится в Е"', и потому для всех точек (1, х) мно'- жества П выполнены неравенства (2).
Таким образом, если число г улоилетворяег неравенствам (16), (19у, (22) $ 21, то существует решение Х=гр(1) уравнения (1) с начальными значениями ~„ Х„, определе|шое на интервале 31 — 1,/«~г. Здесь важно лишь то, по найденное число г является одним и тем же для всех точек (~„Х») множества Е. Покажем, чго за г» можно принять число т,— г. Лопустим противное, т. е. что нри некотором 1,) т, — г точка (1», »р(1»)) лежит в хнвжестве Е Тогда мы можем принять величины 1я н гр(1„) за начальные значения решения х=<р(1) и, в силу сказанного выше, интервал (1 — 1„~~(г лолжен содержаться в интервале т,«1< т» Но это противоречит неравенству 1„)т» — г. Таким образом, предло кение Б) доказано.
Для автономной системы имеет место предложение В), аналогичное нредложепнго Ь) и непосредственно из пего вытекающее, Пусть Х =У(Х) (6) — векторная зшшсь автономной системы уравнений, правые шсги которых непрерывны вместе с их частными производными но х', ..., х" в некотором открытом множестве Ь пространства 8 переменных ч х, ..., х . В) Пусть г — замкнутое ограниченное множество просгранс»ва Ь; меликом расположенное в Ь, и х= гр(1) — неко~орое н.продолжаемое решение уравнения (3) с интервалом определения и, ' 1 ~ т» Если т, «.
оо, то существует такое число ги т, «,. г» «" ть чго при 1, принадлежащем интервалу г,< 1(т„точка гр(1) находится ине множества Е. Точно так же, если т,) — оо, то. существует гакое число гь т,(г, «, т», что при 1, принадлежащем интервалу т, «. 1«, <' гь то 1ка гр(1) находится вне множества г". Прн доказательстве предложения В) булем рассматривать лишь случай' т» =,' со и установим сущес»новинке числа г,. В пространстве К всех точек (1, х), где х — точка нз 3, определим открытое множество Г, состоящее из всех точек (1, х), где 1 в произвольное число, а Х вЂ” точка множества Ь.
Лалее, пусть т — некоторое шсло, удовлгтиоря~ощее условии т,«. т«т,. Обозначим через Е множество, нвнРолОлжАпмые Рвшзния состоящее из всех точек (1, Х), где «а~~--«г„, а х — точка множества Е Очевидно, множество Е замкнуто, ограничено и содержится в Г, В силу предложения Б), существует такое число г, что при 1, принадлежащем интервалу гз(г(сиь точка (1, гр(Е)) не принадлежит множеству Е. Очевидно, мы можем выбрать число г, так, чтобы это условие выполнялось и чтобы, кроме того, было «г(г,. Тогда при г, (г(гаэ выполнены неравенства «г 1 «га и, следовательно, точка (Г, гр(1)), у которой г,(1(«гь может пе принадле'кать мпожеству Е лишь блщодзря тому, что точка гр(1) не принадлежит множеству Е. Таким образом, предложение В) доказано.
Примеры 1, Для иллюстрапии результатов этого параграфа рассмотрим автономное уравнение первого порядка: ! У(. )' где Г(х) — многочлен. все корни которого действительные и простые. Пусть аь а„..., а„— их запись в возрастающем порядке. Фазовым пространством уравнения (4) является прямая Р, а открытым множеством Ь для него служиг созокушюость всех точек прямой Р, за исключением а„а„..., а„, так как в пих пряная часть уравнения (4) обращается в бесконечность. Положим: к Е (х) = ~ У(ч) Й. о Тогда совокупность всех решений уравнения (4) описывается соопюшением Е (х) = (+ с. Так как в автономном уравнении сдвиг времени на константу не меняет траектории, то совокупность всех граекгорпй уравнения (4) вмесге с описанием движения по пим точки х(1) дается соотношением Е(х) =(.
Рассмотрим движение точки х(г) по интервалу а,(х(а,. Так 'как у(х) сохраняет знак иа интервале а,(х(а„то Е(а,) 7- 'Е(аД; )хля определенности будем считать, ч|о «г, = Е(а1)(гл,=Р(а,). Легко видеть, что в то время, когда Е пробегает интервал «г,(М (т„ точка х(г) пробегает интервал а,(х(а, Отсюда видно, что х(1) есть пепродолжаемое решение с интервалом определения ~п,(1(«г,. Здесь оба конца этого интервала конечны; это объясняется тем, что 17Гт 1гн 4 теоасмы сти(сствован!!я п1!!! подходе к кои!тат! интервала вреа!сии лг!(1С юг, точка х(1) подходит к грйиичиым точкам области Ь. 2, Предложение Ь) в некотором смысле отвечает иа вопрос, почему интервал определс!игя и продолжаемого рсшеиия может оказаться о! расгл!с!!:!ь!а! сплава или слс'!!.
Последим за поведением иепродон!- жаемого реш„!:!я х=:, (1), ограиичиваясь для простоты случзем, когда хяюжестио Г оп !си!ч.!о!. Грй!!и!(у миожествй Г обозиа!!!т! через (!. Пусгь лг!~1(!!!а — !!!!:;р!!йт! оирсдслеичя испродолжаемого рею;!и!н Х=.-г1.(1). Тйк !;йк ииот;ест!!о Г ограиичеио, то оба числа л!! и лг! о!г!!!чи!! от -1-о.. По!:!!я:е!!, !то при 1 — ~в!, расстояние точки (1, <р(1)) от .,!иожества 0 стрехи!тся к нулю. Пусть а — произвольиое положите.!ююе число и Е, — совокупность всех то !ек миожест!!а Г, расс!Ояи."!е котор!!х до ьиюж 'ства 0 большс или равио Б.
Легко доказьигастся, что а!!к!гкес!!!о 1-; зймкиу!о в Й и ограиичеио. В силу предложения Ь) су!г!ес!вуе! такое число гт(т;, !то при г,С 1<. тт точка (1, тр (1)) из г!ршы.;лежит миоя'сству Е, и, следовательно, ее расстояние до миожсства 0 меньше е. Таким образом, при 1-!-лг„ расстояние точки (1, тр(1)) до мио.кества 0 стремится к пулю, Приближеиие точки (1, <р(1)) при 1 — !.вгя к границе 0 лиюжсствй Г и является ирич:июй того, что рсшсиие х=гр(1) ие может быть продолжено зй правый конем !д, !иысрвйлй сто определения. ф 23. Ны!рерывиая зависимость решения от начальных зиачеии!! и параметров Учитывая зависимость речиеиия заданной системы уравиеиий ог ийчальиых значений этого решения, мы приходим к решен!по как функции от независимого леремеииого и иачальиых зиачеиий.
Разли:- иые свойства этой фуикиии многих персмеииых имск>т ван!вос зиачсиис..'Здесь будет доказана иепрсрывиость ьт! й фуикции ио совоку!шости пере!!сии!нх. Локй.!йтсльс!во непрерывной зависимости решения от иачалы!ых з!!й !е!!!!!! б!уде! сведено к теореме о непрерывно!! завися!!ости реигьиия ири <~яксироваииых начальных значениям от иарат!строя, непрерывно входяших в правые час! и системы.,уга теорема будст докасй!!а в первую очередь. Не!!ре р !!в па я зависимость решения от параметров Мь! б)дсм 1тассматршгать нормальную систему уравнений: .ъг =) (1, х!, ..., хл, !..., !), 1= 1... 7г, (1) правые части к:л,:рых зависят от !!араме!ров р,', ..., р' и опрсделеиы в искоторо:! оп;рылом множестве Г простраиства Я иерсмеииых нэппэиывнля зависимость от нлгглльных знлчгипн .179 1, х', ..., х", !гг, ..., р.'. Будет пре иголагатьсгг, что правые части системы (1) и их частные производные дУ' — 1,г=!,...,п, дл (2) по переменным х', ..., х" являются в 1' непрерывными функциями со- вокупности всех переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
