Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 33
Текст из файла (страница 33)
!!олагая х =(х', ..., х"); мы эапшием систему (!) в векторной форме. (3) А) Точку . пространства Я будем обозначать через (1, х, !г). Зафиксируем начальные значения !я, х, и обозначим через гг1 совокупность всех таких !ь, что точка (1,, хь, !г) прииадлежипг множеству Г Очевидно, что Л является от к р ы т и и;шожеством в пространстве переменных р'... „!г'. Каждой точке ьг киожеспга Л! соответствует иепродолжаемое решение гр(1, !г) с начальными значениями !я,х„ уравнения (3), определенное на интерггале т,!11) ~! с, ига(1г) (см.
ч 22, А)), который, очевидно, может зависеть ог и, 1то и яьгргпкеио в обозначениях. Множество Т всех иар 1, !г, для которых фуикиия г((1, !г) определена, описывается, очевидно, услошгями: точка !л принадлежит множеству М, а число ! удовлетворяет при этом неравенствам пгг (!г) ( (! (гп,г(р,). Теорема 13. Л!ноагсесгггво Т всех пар 1, !г, на ксниорьгх определена функция гр(1, !г), явлтгюгцияся при каждолг фиксированно.и гг неггродолагсаелгылг решеггггем уравнения (3) с начальными значения,ми 1„, Хь, представляегп садок о гп и р ы пг о е лгьгоакесгггво пространства переменных 1, р', ..., р.'.
Далее оказываеигсн, что функция гр(1, !г) есть непрерывная функция пары переменных 1, !г на мноогсестве Т. Следует обратить внимание иа иетривиальиссгь и важиос|ь того факта, что множество Т является о т к р ы т ы и. До к аз а тел ь с т в о. Пусть !ь, !гв — произвольная точка чиои сства У: Докажем, что точка 1, !г, достаточно близкая к точке !', !г:", принадлежит множеству Т и что разность гр(1, !г) — гр(!ь, р,*) мала. Этим теорема будет доказана. Сначала мы будем считать„что гь~1ь.
Так как решение гр(1, !ь*) определено при 1=гь, то 1*<. пг,(!а*), и потому сушествует такое число г,, что 1 (г,<'т,((ь*), так что решение гр(1, !ья) определено и частности на всем отрезке 1ь ~ 1 -= гя. Когда число Й пробегает стРезок 1ь : ! ~ г,, точка (1, гР(1, )а"), (ь~) описывает в пРостРанстве 180 ,твоивмы существования 1гл. 4 Я некоторую кривую Я.
Пусть а и Ь вЂ” два положительных числа. Обозначим через П совокупность г.сех точек (1, х, )л) пространства Й, удовлетворяющих условиям: га (1. гм ! Х лр(г, )л") ! -= а, ) Гл — лл'л ~ «.-.= Гл. (4) Из того, что Я представляет собой замкнутое ограниченное множество, содержзшееся в открытом множестве Г, следует существование таких положительных чисел а и (л, что множество П также содержится в' 1'. В дальнейшем мы будем считать, что числа а и Гл удовлетворяют этому условию.
Так как производные (2) непрерывны и потому ограничены по модулю некоторым числом К на множестве П, то, и силу нсравеиства (6) ф 21, для точек (л, х„ лл), (г, хл, р,) множества Й выполнено соотиоше!пе 'Гу (г, х, )л) — Г'(г, хн лл) / -. паК1ха — х, ~. (5) Палее, из равномерной исирерывности (см. ч 32, И)) функции у(1, х, )а) лга мнолсестве Й следует существование такой монотонной положит сльиой функции ра(в) положительного переменного в, стремящейся к иул!о вмесзе с а, что для точек (г, х, Гл'"), (г, х, Гл) множества П ллынолнено соо!ношение 1У(т х )л) У(т х )лв), ( Рл(~ 1л )ла ~ ) (6) Пусть тсперь х=лр(1, )л), ) 1л- — лл') =-,.Гл — решение уравнения (3) с начальнь!ми зна'!сниямн (1ч, х„).
В силу предложения Б) й 22 точка (г, (р(л, Гл), )л) т!ил!!хна нокинуть замкнутое множест!ю П ирн 1 — ~ «1л(1л). '1с-рез Га ллы обозначим то значение 1, при котором точка (г, гр(г, )л), )л) в;!ервые достигает границы множества П. Очевидно, что 1,(Тя .-,г, Ладим оценку разности 1гр(л, Гл) — гр((, )ль)~ на о!резке г,=:1=-.1,. Для этого заик!нем уравнение (3) в интеграл!,иои форме (см. Ч 21, А)) для зиа!еннй параметра )л и лл-" и вы ие» второе интегральное соотношение из первого; мы полу шм; Оценим разнгсть, стоящую справа иод знаком интеграла. Мы имеем; !У(т М Гл) Гл) — У(~ гр(ч* Гл*) Глв)!~!У( гр(1 Й Гл)— — Г(т, лс(Ф, ллл), )л)1+1т-(л, ср(с, )лл), )л) — т'(т, (р(т, )ла), )л"') ~, Первое из слагаемых, стоящих в оравой части, оценивается в силу неравенства (б), Второе — в силу неравенства (6); об ьедиияя в ! и 5?31 непРСРывнАЯ зАвисимость От нАчАльных знАчений -1Я' оиенки, получаем: !Ч(1 р) — тр(1, 1А')1 $(л'К!тр("- 1А) — ЧФ 1А'Н+Р 61А — 1А*!)1с7.
Полагая и(1) =! ср(1, р) — тр(1, )А ) !, мы, в силу предложения й) ф 21, получаем при 6,~Сетя: л'-'К Пусть ря — положительное число, удовлетворяющее неравенствам.' ря(К (11) с.,~,„(ря)< а. (9) В дальнейшем будем считать, что )А удовлетворяет неравенству 11А 1А 1(Рм (10) н покажем, что 1,=г,, так что решение ~р(1, 1А) определено на всем о~резке 1я~1~гя Так как точка (1а, «Р(1„, 1А), ф, по пРедположению, лежит на гРаниие множества П, то для этой точки одно нз неравенств (4) должно переходить в точное равенство.
В силу неравенств (8), (1О), имеем ! 1А.— )А"' ! <" Ь. 7(злее, в силу неравенств (1) О), (9) и (7), имеем (~р(Р,. ф — тр(сд, )яв)/(а. Так как, накоиеи, 1,)1я, то нз всех иеравсисав (4) в равенство может переходить лишь неравенство 1„ = г„ и поточу мы имеем 1я = г,. '1'аким образом, доказано„что при Т4'~ 1„существуют такое число г,)1: и такое положительное число р, что ири 1„:= 1-, г, и ~р — 1АЬ~<. ря точка (1, р) принадлежит мио;кепву Т и выполнено неравенство (7).
Аналогично доказывается, что при 1* = 1 существуют такое число г, (1я и такое положительное число р,, чао при г, = 1 ~ 1„ и )ьь — р"( ( р, точка (1, 1А) принадлежит множеству Т и выполнено неравенство ~ ~' (т 1А) — ~' (1 )ь"), < с 'г ( ' )А — 1т " 1 ) аналогичное неравенству (7). Из сказанного следует, что если точка (Р, )ья) принадлежит множеству Т, то, каково бы ни было расположение точки Р относительно т„, всегда существуют такие положительные числа г и р, что при ~1 — 1'! < !) — 1*~<р (12) точна (1, )А) принадлежит множеству Т и имеет место неравенство ~ р(1, 1)- р(1, н )~(ср((1 — ) ~).
(1З) 1гл. л ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ Так как совокупность всех точек (г, р,), удовлетворяющих условию (12), составляет окрестность точки (г", )ь"), то Т есть открытое хгножестгго. Докажем теперь, что функция гр(г, 1ь) непрерывна в точке (т", р, ). Для этого оценим разность гр(1, )А) — гр(гь, )А*), Мы имеем: 1гр(г> )ь) гр(1ч Ра)1~!4Р(т Р) гр(г М )1+ +1ф(1 р"') — Ч (1* ра)! Первое из слагаемых, стоящих в правой части, мало, когда мало число ~1ь — )А" ~ (см. (13)). Второе из слагаемых мало, когда малым является число (1 — Р (, в силу непрерывности функции гр(1, )ь*) переменного т. Таким образом, гр(1, )ь) есть непрерывная функция пары переменных 1, 1ь. Итак, теорема 13 доказана.
Непрерывная зависимость решения от начальных значений Теперь мы будем рассматривать нормальную систему уравнений: хг=гг(г, х', ..., х"), 1=1, ..., и, (14) правые части которых определены и непрерывны вместе со сяопин частными производными (1 5) на пекогором открытом множестве Г пространства гс переменных т, х', ..., х". Пусть х=у"(1, х) (16) — векторная запись системы (14). Ь) Каждой точке (;, й) множества Г соотвегствует непродолжаемсе решение гр(1, т, Е) уравнения (16) с начальными значениями 1ь=ч, х, = й, определенное на интервале глг (;, й) (1 (гп, (ч, й) (см.
ф 22, Л)), который зависит ог начальпьгх значений ч, й. Множество о всех точек (1, -., Е) пространства переменных 1, г, Р, ..., Г, для которых функция гр(1, -., й) определена, описывается, очевидно, условиями: точка -., Е принадлежит множеству Г, а число Р удовлетворяет при эгон неравенствам пг,(-., Ц)(1(ггг„(-., ~). Теорелга 14, г14ноггсесгггво 8 всех точек (1, г, Е), на г;оторых определена функция гр(1, ч, Е), являгогцаясгг неггродолжаелгылг решенггелг уравнения (16) с начальны,ип значенггялггг т, й, есгпь отгсрыгпое лгнолсесгггво в ггростринспгве перелгенггых 1, т, сг, ..., г".
Далее оказывается, что Ягнкцггя гр(1, т, й) непоерывна по совогсупносгггп всех своих ггргуженгггов на лныкесгггве 8. непяерывнля злвиснмость от нлчлльыых знлченип 183 Еопструкция, излагаемая в нижеследующем предложении В), делает эту теорему непосредственным следствием теоремы 13.
В) Пусть (т, й) — произвольная точка множества Г. Вместо независимого переменного 1, имеющегося в уравнении (16), введем новое независимое переменное г по формуле 1=т+а. (17) Вместо неизвестной векторной функции х, имеющейся в уравнении (16), введем новую неизвестную векторную функцию у по формуле х = 9+у. (18) В новых переменных уравнение (16) запишется следующим образом: Ия —,=У( +а, 4+у). (19) Так как функция у'(1, х) переменных 1, х определена на открытом множестве Г, то функция 8'(а у» 6) — У( 1-з й гу) (20) переменных а, у, т, й определена прн условии, что точка (т+г, ф+у) принадлежит множеству Г, Это условие, как легко видеть, выделяет в пространстве К переменных а, у, т, $ некоторое открытое множество Г, и на этом множестве векторная фушсция (20) непрерывна, а ее компоненты имеют непрерывные частные производные по переменным у', ..., у".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
