Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В) Пусть гр(~, ф)=((1(1, й)... ф" (1, й)) — пепродолжаемое решение уравнения (18) с начальными значениями 1„, й и т,(Г(тя— интервал его определения при фиксированном значении й= х„. В силу теоремы 17 частшге про.юволные 1~ Ф (г Хо)=Ф'(1) вычисленные при й=х„определены и непрерывны как функпни 1 на всем интервале т,(г(ш, Положим 7,"(1, х)= — "-;" — ', Щ)=7,(1, ф(~, х„)).
Функпии 7((г) переменного г определены на всем н терьале иг,(1(ш,. 1 [.Встема линейных уравнений л У= ~ 7,'(г)у' (23) / -..=! оп! еделенная на интервале т, (1(иг„называется с и с т е м о и ур а в ненни в за ри аннах (по начальным значениям) для системы (17) прн начальных значениях ~ч, х„. Оказывается, что снстс:.:а фупкнни 1' —" К(г) у =Ф,' (1) (2.1) 4 ен диФФеРент1НРуемость по нАчАльным зн'»чен11ям 195 являетсч решением системы уравнений (23) нри начальных условиях »~»1(1 ) 31 (25) я — т» Примеры 1. Пусть х»=У'(х1, ..., х")=Г'"(х), 1=1,,„, л, — автсномная система дифферс1пшальнь»х уравнений и х =г" (х) — ее векторная запись.
Пусть, далее, а=(а', ..., а") — положение равновесия этой системы (см. % 15), так что ~'(а)=0 и система функций х'=а', ..., х"=а" составляет реп.'епие системы (25). Решение ура1шения (27) с начальными значениями О, 9 обозначим через р(1 $)=(Ч'(1 й) "" 4" (1 9)). Вы пшлпм пропзводпые — »-у (1, а)=С»'.(У) д д»/ (2Я) от функций»Р~ (», й), вьшпслеш1ые при я~ = а, пользуясь предложением В). Функции У' (») = — = а,'. оЯа> дх/ 7 являк11ся в этом случае копстапггмп. Таким образом, система уравнений и вариациях (23) в данном случае есть линейная однородная си»1ема с постояцпыгш коэффпп11сптамп у' = ~» а!у~, / ! (29) и произ»;одные (28), являюшиеся решениями системы (29), легко могут быт1 пгй ець1 и то время как решение 1р(1, Ц) прц переменном $ найти, вообпье говоря, трудно, 7» где 31.=0 при 1-,еу, а 31=1.
l » Тот факт, что система функций (24) составляет решение линейной системы (23), доказывается тс шо так же, как в предложении Б),— путем подстановки в систему (17) решения х=1р(1, й) и последуюп.его дифференцирования полученного тождества по ~. Начальные условия (25) получаются вз начальных условий 'т» (~'я» $) = » диффе,'енцировапием их по К 19В творимы сицвстзования Система уравнений в вариациях (29) играет важную роль для научения поведения решений уравнения (27) вблизи положения равновесия а, как это мы увидим в следующей главе. Там, однако, система (29) появляется не как система уравнений в вариациях, а как линеаризация системы (26) вблизи положения равновесия а.
Линеарпвация системы (26) осуществляется следующим образом: вместо неизвестных функций х', ..., х" вводятся новые неизвестпые функция В ах', ..., ох" но формулам х' = а' + йх', 1 = 1, ..., л. (80) Производя в системе (26) замену переменных (30) и разлагая правые части в ряды Тейлора по новым неизвестным функциям йх', ..., 6х", мы получим; О л а; ~г, + ~ ду'(а) т+ !=! /=! где не выписаны члены второго порядка малости относительно величины йх'. Линеаризуя систему (31), т.
е. сохраняя в ней лишь линейные члены, мы получим систему уравнений, совпадающую с системой (29). ф 26, Первые интегралы Здесь будет дано понятие о первых интегралах и решена краевая вадача для линейных уравнений в частных производных. Первые интегралы Пусть х'=,Р(х', ..., х'), — пормалыгая автономная сисаема уразиепий, правые части которой вместе с нх частными производными определены и непрерывны на некотором откргятом множестве Ь пространства переменных х',..., х", и пусть х =У(х) (2) — векторная запись этой системы. А) Функция и (х', ..., х") = и (х), определешгая и непрерывная вместе со своими частными производными на некотором открытом ыиожес1пе О, содержащемся в Ь, называется переы.п плтсгрило.и системы (1), если при подстановке в ПеРВЫе ин?ЕГРАлы Ь ЯЬ1 нее произвольного решения х=гр(1) уравнения (2), траектория которого целиком расположена в множестве Ц мы получаем постоянную относительно 1 величину, т.
е. функция и(гр(1)) зависит только от выбора решения гр(1), но не от переменной 1. Оказывается, что любой первый интеграл и(х) системы (1) удовлетворяет условию л (3) с=! и что, обратно, всякая функция и(х), удовлетворяюшая условию (3), являешься первым интегралом системы (1). Докажем, что первый интеграл и(х) системы (1) удовлетворяет условию(3), Пусть $ — произвольная точка множества 6 и х= гр(1, Ц)— решение уравнения (2) с начальными значениями О, Ц. Мы имеем; л О=- и(гр(8, ф))! = ~' —;-г!Я); != ! так как ф — произвольная точка из 6, то соотношение (3) выполнено на мпожестге й.
Допустим теперь, что для функции и (х) выполнено соотношение (3), и пусть х=гр(1) — произвольнсе решение уравнения (2), траектория которого лежит в О, Подставляя х=- гр(г) в фушсцию и(х), мы получим некоторую функцию (1)= (Ч(Э Ди!(к1!е1спцпруя эту функцию по 1, получаем: л — ' "(г" ~( Ю вЂ” О.
ггг,~ ! дх! у(а),—:- О, Б) Первые интегралы и'(х), „., и" (х) (4) системы (1), опре е.енине в некоторой окрестности точки а (см. (4)), называ!о!ся незаоигг.".Ьпп'! в и!одне а или просто независимыми, если фушпгпональная,.атрица /ди! (а)!, ! ° дх! Таким образом, и(гр(1)) пе зависит от 1. Н дальнейшем изучение первых интегралов системы (1) бу;ет проводиться чисто локально в некоторой окрестности гочки а открытого множества б, пе являкцгейся положением равновесия системы (1): 1гл. 4 теОРемы сушестйоплния имеем ранг А. Оказывается, что в некоторой окрестности точк:! а (см. (4)) сушествуют и — 1 независимых первых интегралов системы уравнений (1).
докам!ем ито. Так как вектор.р(а) отличен от нуля, то отлична ит муля котя бы алина из его компонент. Будем считать, что У" (а) О. Пусть $ (Ел, „,, Е л, и") — точка, близкая к точке а, и х = <р (!, $)— реим!мие уравнении (2) с начальнымп значениями О, й.
В координатной фораае решение это можно записать в виде; х' ср'(г, Е!, ..., Е" '), 1=1, ..., и. Ьудем рассматривать эту систему сооотношений как систему уравне- ний относительно неизвестных '! св — ! ! При х'=а', 1=1, ..., и, зта система уравнений имеет очевидное рев!ение Е'=а', ..., Е" '=а" ', 1=0, и функциональный опреде- литель системы (5) отличен от нуля в этой точке. В самом деле, р'(О, Е', ..., Е" ')=Е', к=1, ..., и — 1, ср" (О, Е', „., Е" ') =а", и потому д р" (О а' а" ') = Ул (а) ~ О.
)=1, .„, и — 1; Отсюда видно, что интересуюший нас функциональный определитель отличен от нуля. Таким образом, сушествует такая окрестность О точки а, что прп х, принадлежапгпх О, система уравнений (5) разрешили отпос!г! е п,по неизвестных (6) (сл!. ф 33) и ре пеппе запг!сьп!ается и виде: Е! =- и' (х), ..., Е" ' = и" ' (х), ! = э (х). (8) Покажем, что функции и'(х), ..., и"' '(х), входягцие и эти соотно!пения, являю!ся первыми интегралами системы (1), и притом независимыми з точке а, Функциональная матрица системы (5) нгн!дена (см.
(7)); из ее ш!да легко следует, что функ. ц!ц г:.!ьная:и,!ргя!а ав' !а ! ов 199 пеРвые ннтегРллы является единичной, и потому функции (9) независимы. Покажем, что они являются первыми интегралами системы (1). Для этого достаточно доказать, что при подстановке в функции (9) любого решения х=«р(1) уравнения (2) они превращаются в величины, ме вависящие от г. Так как система (8) является обращением системы (6), то функции (9) удовлетворяют тождествам и«(%((, $))=1'. 1=1, ..., и — ! (10) (см. Г) 33, пример 1). Таким образом, при подстановке в функции (9) решения х=«р(1, с) мы получаем величины, не зависящие от 1. Пусть теперь х= «р(1) — произвольное решение уравнения (й), проходящее в окрестности О Пусть 1» х,— его начальные значения, причем х, принадлежит О. Так как система (б) разрешима при х х» то существует решение х=«р(1, $«), проходящее через точку х» и потому решение «р(1) может быть записано в виде: ф (1) = «р (т + с, $а), где с — константа (см.
9 1б, Б)). Таким образом, при подстановке х=ф(!) в функ««ию и~(х) получаем, в силу (10): '(Ч(О)= '(Ч (1+ й««))=Ч. 1=1 " и — 1 Итак, предложение Б) доказано. В) Пусть и«(х), ..., и" ' (х) (1 1) — независимые в точке а первые интегралы системы уравнений (!), причем и'(а)=«««, 1=1, ..., и — 1; Ь=(Ь«, ..., Ь" '), и пусть тс«(х) — некоторый первый интеграл системы (1), определенный в окрестности точки а. Су«цествует тогда такая функция В'(у«, ..., у" '), определенная на некоторой окрестности точки Ь пространства переменных у', ..., у' ', что имеет место тождество ц«(х) = 1Г («Р (х), ..., и" ' (х)) (12) Л чл «)««. (х) —.— У' (х) = О, / = 1, ..., н — 1; Г)х « «= « ~' — Л ~«(х) = О.
Таким образом, эти первые интегралы зависимы (см. (4)). В то же время первьш иигегралы (11) неза«:исимы. Отсюда, в силу известной на некоторой окрестности точки а. ,г(о««а~кем это. В силу А), первые ~«игегралы и'(х), ..., и' '(х), ц«(х) уао««летзорявт соотиошеш«ям [Гл. 4 ТЕОРЕМЫ СК1ИЕСТВОВАНИЯ теоремы анализа (см. % 33, пример 2), следует существование функции [Р', для которой выполнено соотношение (12).
Если нам известны некоторые первые интегралы системы (1), то тем самым решение системы (1) облегчается. Точно зто обстоятельство формулируется в нижеследующем предложении: Г) Пусть и"'(х), ..., и" (х) (13) — система из и — /г независимых в точке а (см. Б)) перяык интегралов автономной системы уравнений (1). Пользуясь функциями (13), можно попизигь порядок системы уравнений (1) на и — )4 единиц, т. е, зачепить ее автопомпой1 системой порядка Й; в частности, когда имеется максимальное число и — 1 независимых первых интегралов, порядок автономной системы (1) можно свести до первого и, следовательно (см. ф 2, пример 1), решить ее в квадратурах.
Локажем предложение Г). Так как первые интегралы (13) независимы, то в функциональной матрице ( — д,у — ~, [, / = lг -+ 1, ..., и. 11ользуясь ьтп», введем в окрестности точки а новые координаты У ° ° ° > У (14) вмесго прежпцк х', ..., х", по.1ожип У =-" °, У'=х'; у~'=и"+1(х), ..., У" = и" (х). :-)тпмп фор11ула:1п действительно вводятся попые координаты у', ..., у", так как функциональный опредееи1тель системы соотношений (15) отличен ог нуля в окрестности точки а (см. ~ 33).
В позой системе пер иеппых (1[) систе41а (1) примет вид: !!о так как каж г'1 фу!по[па (13) удовлетворяет условию (3), то мы будем пт1еть прп 1= )4 — 1...,, и: и д 1, и „у дп(х) [1=., п'(х', ..., х") = —,— у (х) =-О. /=1 имеется квадратная матрица порядка и — lг с отличным от пуля детермипантом. Будем считать для определенности, что отличен от нуля дегермппанг матрицы ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Таким образом, й+ (у)=0, ..., и" (р)-0. Ввиду этого система (16) фактически оказывается автономной систе- мой порядка А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
