Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Теорема Ляпунова Перейдем, наконец, к формулировке и доказательству теоремы Ляпунова. Пусть 1 я) — пологкенне равновесия автономной системы (1). Положив: х'=а'+Ах', 1=1, 2, ..., и, (21) н примем за новые неизвестные функции величины ~1х', ..., Ьх".
(22) Производя подстановку (21) в системе (1) и разлагая правые части в ряд Тейлора по переменным (22), получаем: л Ы'=У'(а)-',— ~ ' — '~,.— 'Ьх' - К', 1=1, ...,, (2И) /=! ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА где Ц' — член второго порядка малости относительно неизвестных (22). Так как а есть положение равновесия системы (1), то Г'(а) = О; далее, полагая а'=ду (а) (24) мы можем записать систему (23) в виде.
1=1,...,п где г и и — положительные числа, не завистцие от $. Доказательства Будем считать, что положение равновесия а системы (1) совпадает с началом координат, т. е. что а=О. Этого всегда можно достичь, произведя параллельный перенос системы координат; при этом матрипа А не изменится. Предполагая, что а=О, мы имеем: и потому система (25) записывается в виде: л х'= ~ а'х~+Я', 7 1 1=1,...,п,, (27) где 1 'Д д7У~(вх) 7 ь 2 ~, ь=! Пусть теперь %'(х) — фупкння Ляпунова (см. Д)) для линейной системы н х'= ,"~" а'х, 1=1, ..., и, (28) 7=! получаемой из системы (27) липеаризаниен, т. е.
отбрасыванием остаточных членов тС'. Вычислим пРоизводпУю ФОП1(х) фУпкпии 1т'"(х) Ьх' = '~~' а'Лх'+й', 7=! Теорем а 19. Если все собственные значения матрицы А =(а)1 (см, (24)) иметот отрицательные действительные части, то положение равновесия а системы (1) асимптотичесни устойчиво; более полно, сугцсствует настольно малое положительное число а, что при ~$ — а~<. о имеет место неравенство | ср (1, ф) — а ~ ~ г ( ф — и ! е ', (26) и;. а УСТОЙЧИВОСТЬ в силу системы (27). Мы имеем: и Л Фат (х) ~~ дх, а,'х + ~~ — -~ — й = 'с дю'(х); 7 "С дат(х) М/ 1 1=1 'д дй'(х) = и'яа (х)+ ~ — — —.Й'.
( ) да' Так как функция Ж'(х) удовлетворяет условшо (17), то мы имеемп Выберем теперь настолько малое положительное число Ь, чтобы прн где Ь вЂ” некоторая константа. Далее так как — — есть линейная д В'(х) У дк~ форма сопосит льно х', ...„х", то 1 д%'(х) д г где 7 — некоторая константа (см. (14)). Таким образом, существует такое положительное число д, что при 1в'(х) ~Ь мы имеем: Выберем теперь положительное число с таким образом, чтобы было =--Ь, 7)У =а2., Тогда мы будем иметь: если только выполнено неравенство 1)" (х) --- с.
(зо) Ю'(х) -- Ь (29) вектор х принадлежал множеству Ь (такое число Ь существует д'У' (ах) в силу (13)). Вторые производные, будучи непрерывпычи функциями, ограничены в эллипсоиде (29) и потому в этом эллнпсонде ~й'~ =А~х~'=:=-- Ю'(х), 5 т61 ТВОРЕМА ляпунОВА Полагая а= —, получаем неравенство Р Ж'гтт) (х) «~ — 2аЮ(х), справедливое, если для х выполнено неравенство (30). Пусть ф — внутренняя точка эллипсоида (30), т. е, точка, удовлетворяющзя неравенству ~'(хг) ~ с (31) Решение системы (2?) с начальными значениями О, й, как и раньше, обозначим через тр(г, ф) и положим: (() = 1~(р(г. В)).
Функция та(т) опрелелеиа для всех тех значений 1~0, для которых определено решение <р(1, а), и в силу Б) она удовлетворяет условию тв (1) ( — 2атс (1) (32) до тех пор, пока лля иее выполнено неравенство тс (~) .:. с. (33) Из этого неравеистиа, используя неравенства (13), мы получаем, ~ р(1, 3) ~'~-'-! ~~зс-'-", 1~0, (34) причем это верно, если только для $ выполнено неравенство (31). Если бы решение ~р(т, й) существовало ие лля всех положительныя значений 1, то точка х= — ср(г, й) непременно должна была бы при возрастающем г покинуть эллипсоид (30) (см.
3 93 В), Допустим, что точка х=гр(т, ф) покидает этот эллипсоид и пусть т' >Π— те значение 1, при котором оиа впервые попадает на его границу. Тогда на отрезке 0«т«1' точка ~(Е, й) принадлежит эллипсоилу (30), и потому вьгполиеио неравеиство (32), так что Й ф) неположительно. Слеловательио, с= гс(1).=-= гс(0)< с, что противоречиво, Таким образом, рсипиие гр(1, $), а вместе с ним и функция тв(С) определены для гсех поли.кители иых значении 1 и для всех этих значений выполнено неравенство (32). Если ф;~ О, то яг(1)) О, и мм можем произвести следующие выкладки, исходя из неравенства (32) юИ) . 1" гав) — — — 2а; ~ -- -Ж« — 2а1 при 1~0; .тг0 ' 3 я Ф О 1и тс (1) — 1и ш (0):- — 2а Ю.
Посл :тсе неравенство лает: 1Р' (~р (1 ~)) 1~7 (р с — ам 216 1га. $ УСТОЙЧИВОСТЬ х = —,1 (х), (36) для которого точка О, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы 19. В силу конструкции, данной при доказательстве теоремы 19, для уравнения (36) существует функция Ляпунова Ю(х), удовлетворяющая неравенству ~'!зе> (х) ~ — 2я!Г(х) ври условии (30). Выписывая левую часть этого неравенства в явном виде (см.
(9)), получаем: Ф,.„) (х) = г' — „,. — ( — У' (х)) ~ — 2аВ'(х), ч, дЖ'(х) 1=! В силу вторего из неравенств (1 3), из соотношения ~в~< =у'-' (Зб) следует неравенство (31). Таким образом, если выполнено неравен- ство (85), то верно неравенство (34). Извлекая из нвго квадратный корвмь, получаем неравенство: 1~ ~с в ~ ~ )/-' ~~ ю ~.-'; ~ » О, которое совпадает с неравенством (26), причем г= 1/ — ', а а=О, Итак, теорема 19 доказана.
Нижеследутощее предложение Е) описывает случай, В некотором смысле противоположный рассмотренному в теореме 19. В) Положение равновесия а уравнения (2) будем называть влолнв мвусгпойчивым, если существует такое положительное число о, что всякое решение ~р(1, й) уравнения (2), начинающееся в точке ф-Е а шара |й — а~< в, обязательно покидает этот шар и больше в него уже нв возвращается, т. е.
найдется такое положительное число Т= Т(й), что при 1= Трешение <р(1, й) определено, и для всех значений 1 ~ Т, для которых это решение определено, оно удовлетворяет неравен- ству ~~р(1, й) — а~ ~ а. Оказывается, что если все собственные зна- чения матрицы !т-в — у-~ имеют положительные действительные части, гд.г" (а)! то положение равновесия а уравнения (2) является вполне неустой- чивым.
Для доказательства предложения Е) используем некоторые резуль- таты, установленные в процессе доказательства теоремы 19; при этом, как и раньше, будем считать, что а=О. Лля этого, наряду с урав- нением (2), для которого по-предположению все собственнгяе значеду'(и) ния матрицы — — имеют положительные действительные части расдх~ > смотрим уравнение 217 тдоввмл ляпуноВА или, иначе, 71ля функции тгс(Г) выполнено неравенство т)с(1) =- 2аттс(1), (37) когда для нее имеет место неравенство а (1)= с. Так как й,-с: О, то го(1))0, и можно произвести следующие выкладки, исходя из неравенства (37); с — 2а; ~ — — вс( ~ 2а1 при т=~ О, цс с'С) с" сь (О ю(с) — .5 ~(г) гас (1) ~ ед (О) ех"; Ю(ср (1, $)) -'- В' Я) еа".
Из последнего неравенства следует, что при росте1 точка х=ср(т, й) непременно выйдет нз границу эллипсоида (30) и, следовательно, покинет его внутренность. Покзжем„ что после этого она уже но вернется внутрь эллипсоида (30). )'.(опустим противоположное; тогда найдется такое положительное значение 1', что ттс(1') = с, а при всех положительных достаточно малых значениях с11 выполнено неравенство ис(1'+ Ьг)(с. Из последних двух соотношений следует, что ттс(1')~0, а это противоречит неравенству (37), которое верно при г = т', так как тгс (1') = с.
Таким образом, доказано, что траектория х=гр(с, й), где й -с: О— внутренняя точка эллипсоида (30), обязательно уходит из эллипсоида (30) и больше в него уже не возвращается. В силу второго из неравенств (13), из неравенств (35) следует неравенство (31), так что шар (35) содержится в эллипсоиде (30), Ввиду это~о с з доказанного следует прависсьность утверждения Е). П ример В дополнение к предложению А) покажем, что если матрица А имеет собственное значение ) с положительной действительной частью, то положение равновесия х=О уравнения (5) уже не является устойчивым по Ляпунову.
Действительно, в силу предложения А) $14 решением уравнения (о) является векторная функция х=с7тетс, где с — произвольная действительная константа, а 7т — собстс еппый Ф'О) (х) 2а 1Г (х). Это неравенство заведомо верно, когда выполнено неравенство (30), Пусть теперь $ — некоторая внутренняя точка эллипсоида (30) (см. (31)). Положим: '(О=1 (р( В)) 213 [гл 5 устопчивость вектор матрицы А с собственным значением ),. Если )[ — действительное число, то при достаточно малом с указанное решение начинается в точке с)а, сколь угодно близкой к положению равновесия х=О, но с течением времени становится сколь угодно большим по модулю.
Если же ).— комплексное число, то тем же свойством обладает решение с()ае"'+Йа"') уравнения (5). ф 27. Центробежный регулятор (исследовании Вышнеградского) В современной техникв благодаря изобилию приборов автоматического управления чрезвычайно большую роль играет т е о р и я а в т о и и т и ч е с к о г о р е г у л и р о в а н и я. Одним из важнейших вопросов, возникаюгцих перед кон- Ф ж~~м> структором автоматического регулятора, является вопрос об у с т о йчиаости работы системы мас, шина — регу>штор.
Этот вопрос во многих случаях может быть решен Р на основании теоремы Ляпунова а (см. % 26). Наиболее ладно существующей системой автоматического регулирования является система паровая — МиМю ай = а машина — центробежный регулятор Уатта. Центробежный регулятор, вполне хорошо справлявшийся со своей задачей в конце ХЧШ и в 7>Л ф первой половине Х(Х века, в середине Х1Х века ввиду его конструктивных изменений стал работать ненадежно. Широкие круги теоретикон и инженеров искали выхода из иоан:новего кризиса. Вопрос с полной ясностью и простотой был решен иыда1ощимся русским инженером Вышнеградским, основателем теории автоматического регулирования, работой Вышнеградского «О ре[.уляторах прямого действияэ (1876 г.) начинается теория регулирования машин, отвечающая на вопросы промышленной практики.
В настоящем параграфе в упрощенном видв излагается исследование Вышнеградского. Центробежный регулятор (рис. 41) представляет собой вертикальный стержень 8, могущий вращаться вокруг своей вертикальной оси, и верхнем конце которого на шарнирах прикреплены два один>ковых стержня ~, и 1,, с одинаковыми грузами на концах. Стержни 7., и Ц скреплены дополнительными шарнирами, так что отклоняться от своего вертикально~о положения опл могу[ лишь ыентРОБежньпч РеГулятОР 219 одновременно на один и тот же угол 10, находясь в одной и той жв гертикальиой плоскости, неподвижно связанной со стержнем 8. Когда стержни ~1 и Е отклоняются от своего вертикального положения па угол <р, они при помощи шарниров приводят в дьижение специа: ыую муфту М, надетую на стержень О', так что расстояние этой муфты до верхнего конца стержня Б пропорционально соа р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
