Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Длину верхикальиых стержней Е, и 1.я примем ва единицу, а массу каждого ю грузов, прикрепленных на их концах, обозначим через и. Если стержень 8 вращается с угловой скоростью О, а стержни У.1 и Ая отклонены от вертикального положения на )тол 0, то на каждый из грувов дейстьует центробежная сила т0 з1п~. (1) Одновременно на каждый груз действусг сила тяжести, равная Л1Д. (2) Так как в направлении стержня Е1 силы, действующие на груз, уравновешиваются реакцией стержня ЕР то для расчета силы, действующей на груз, следует разложить Рис. 42.
обе упомянутые силы по осям, первая из которых направлена вдоль стержня, а вторая — в перпендикулярном направлении, в сторону возрастания угла ч. Непосредственно видно (рис. 42), что составля1огцая силы (1) в напран возрастания угла ю ранна 1л01 з1п ~" соя:р, а составляющая силы тяжести (2) в том же напааглепии равна — тд з1п в. (4) Таким образом, равнодействующая обеих сил (3) и (4) задается формулой л10' а! и су соя ~ — 1ЛД а1п ~. (5) Упрощенное объяснение работы пептробекного регулятора заключается в том, что при заданной угловой скорости 0 стержни с, и отклоняются под действием сил (1), (2) на угол р, опре,~еляемый ив равенства т01 а1п - соз з — тл вйп ~ = О, т.
е, путем приравнпвапия пулю силы (5). Из соотношения (6) угол е определяетгя как однозначная монотонно возрастающая функция ско- остн 0; в =том смысле регулятор Уатта может рассматриваться как из мер ит ел ь скорости врапгения. Это есть так называемое с ~ а т я- Мо агстопчн вость ч е с к о е рассмотрение регулятора.
В действительности мы имеем здесь д и н а м и ч е с к о е явление. Масса лч, находясь под воздействием силы (б), совершает движение, описываемое дифференциальным уравнением, Кроме силы (5), на массу т действует при ее движении сила трения в сочленениях шарниров. Сила эта весьма сложным образом зависит от происходящего движения. Существенно упрощая имеющуюся здесь сложность, мы будем считать, что сила трения пропорциональна скорости ф движения массы ~п и имеет знак, противоположный этой скорости, т. и.
имеет величину где Ь вЂ” постоянная. Таким образом, если принять у за координату, определяющую положение массы гп, то мы получим для у дифференциальное уравнение: ~~ = лп) 5! п т соа т — ~лк 51п 'а — Ьф, (7) (Расчет силы (б) проведен здесь в предположении,'что 0 и у посто- инны. При меняющихся 5 и ~ возникают добавочные силы, которые, однако, уравновешиваются реакциями стержней и шарниров, заставляющих стержни двигаться в одной плоскости, Таким образом, уравнение (7) оказывается справедливым,) Паровая машина представляет собой маховое колесо с моментом инерции,У, приводимое во вращательное движение силой пара и способное совершать полезную работу, например поднимать клеть из шахты.
дифференциальное уравнение паровой машины может быть, таким образом, записано в виде: .й>= Р, — Р, (8) где ь — угловая скорость враьцепия маховика, Р, — момент силы действия пара, Р— момент силы воздействия па маховик тяжести клети. Момент силы воздействия пара Р, зависит от того, насколько приоткрыта заслонка, подаюьцая пар в цилиндры паровой машины, а момент Р зависит от загруженности клети.
центробежный регулятор присоединяется к паровой машине с целью поддержать равномерность ее хода. Он «измеряет» скорость врап ения махового колеса 'и, если опа оказывается слишком большой, умепгппает подачу пара, а еслй она оказывается слишком малой — увеличиваег подачу пара.
Лля осуьцествления этой цели маховое колесо паровой машины связывается при помощи зубчатой передачи с вертикальным стержнем регулятора (рис. 41), так что между угловыми скоростями и и 6 возникает постоянная связгс О= — Пм, где п--так называемое педейпглочног число. Таково воздействие м а ш и п гя н а р е г у л я т о р, в результате которого осуществляется 221 ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ РЕГУЛЯТОР измерение скорости вращения маховика. С другой стороны, муфта М регулятора связана с заслонкой, подающей пар, так что Р, = Р, + А (соз » — соз ч "), (10) где ~» — некоторое «среднее» значение », вблизи которого должно поддерживаться значение регулируемой величины », Р, — значение силы воздействия пара Р, при з= з "', а А > 0 — постоянный коэффициент пропорциональности.
Как видно нз (10), обратное воздействие регулятора н а п а р о в у ю м а ш и н у осуществляется таким образом, что при увеличении угла ч подача пара (а вместе с ней и сила воздействия пара Р,) уменьшается. В результате описанных взаимодействий машины и регулятора, последний, казалось бы, полностью осуществляет поставленную перед ним задачу, увеличивая подачу пара при уменьшении скорости вращения маховика и уменьшая подачу пара при увеличении скорости.
В связи с этим естественно ожидать, что скорость вращения маховика будет стабилизироваться. Это и наблюдалось в паровых машинах, строившихся до середины Х!Х столетия. Для того чтобы выяснить причины начавшего наблюдаться после середины Х1Х столетия нарушения работы регулятора, необходимо было точно изучить д и н а и и к у работы системы машина — регулятор и исследовать ее устойчивость, что и было сделано Вышнеградским.
Как видно из соотношений (7) — (10), система машина — регулятор описывается двумя дифференциальными уравнениями: т!а =тп'"ьг' з1п лл соз чл — тамаш р — Ьф, .Ль = А соз » — Р, (11) где Е' = Р— Г, + 1г соз »: — величина, зависящая от нагрузки. Первое нз этих урапепий имеет второй порядок, Для приведения системы к нормалы:ому виду введем новое переменное Сл положив: Тогда система (!1) запишется в нормальной форме: '=Ф Ь ф = и'«л' з1п:р соз лл — гг з1п у — — у, ~ гл А Ь' й= — соз у — —.
У 1' Правильная работа паровой машины заключается в том, что угловая скорость ьл вращения ее маховика остается постоянной при неизменной нагрузке Р, т, е. при постоянном Р, а заслонка, подающая пар, неподвижна. 11оследнее означает, что угол в остается УСТОЙЧИВОСТЬ 1Гл а нсизмешиааь Таким образом, речь идет об отыскании такого решения гчстемы (!2), которое имеет вид: р= сро, )!) = О, о) = о)о, Фа=О, Р соз ро= —, 11З) )о Ыо — — —. К совр, ' Полежим: р=Р -)-Лр Ф=10+ЬФ В результате такой замены и линеаризации уравнений (12), мы получаем систему: ,ц=ьр, Лр! = )!')л„соз 2ро!1р+ л'о)о з1п 2))ювао) — ~ соз роЛр — - -')!), о о )л л ).)О) = — — з!п роьо).
Подстагляя во второе пз этих уравнениИ значение величины поы, пз !13), получаем после простых вь)числении: д,р! о~, оо) +,о~ д о!пот, а 2д а!и Чо соя то ' )л (о, Характеристи)ескии мпогочлен полученнои линеипои системы уравне- ниИ для Ьр, Л»', Ьо) риси: О яя) 9о Р ь". я!по90 сьв о, л — а)п ро .)' — — р )л О!р) =- ыо О или, после гычпсле)шя определителя и умножения на — 1, о+ а о+д а!пото + 2Дс а!почо и) соя '9о ) о)о Все коэфф))ниенты )того мпогочлсна положительны, и потому необходимым и достаточным условием его устойчивости является !в силу т. е. Об отыскании положения равновесия этой системы. Задача закл)очается и том, чтобы, наидя положение равновесия системы!12), исследовагь его усто!!чивость.
Приравнивая нулин правые части соотношениИ 112) и решая нолучшогниеся уравнения, найдем координаты положения равновесия: 223 ЦЕНТРОБЕЖНЫГУ РЕГУЛЯТОР теоремы 6) выполнение неравенства Ь Е Мну чо 2йд а1П'Оуо < Оо Ео есор или, иначе, неравенства Ы 2А сох ч„2Р (1 4) лу 'оо мо (см. (13)). Соотношение (14) представляет собой, в силу теоремы Ляпунова (теорема 19), достаточное услон ие устой ч и в ости системы машина — регулятор, Для того чтобы выяснить смысл правой части последнего нера- венства, введем играющее важную роль в технике понятие неравно- мерности хода паровой машины. Из соотношений (13) видно, что при изменении величины Р=Р— Р,+Асов <Ро (т.
е. при изменении <с <оо нагрузки Р) меняется стабильная скорость <о„. Величина — харак- дР теризует скорость изменения величины <ао при изменении нагрузки Р; дмо Осе = р'/ < сеесес уюо,о р е ое. аР <с <оо ная — отрицательна) и называется неравномерностью хода паро- аР вой машины. Мы имеем в силу (13): Р<а~ = сопз1, и потому, дифференцируя, получаем: <'~ о о Н' 2Р' Таким образом, 2Ре и условие устойчивости (14) переписывается окончательно в виде; — У р1. Ы ('б) Из формулы (1б) Вышнеградским были сделаны следуюи;ие выводы', 1. Увеличение массы т шаров вредно влияет на устойчивость. 2. Уменьшение коэффициента трения Ь вредно влияет на устойчивость. 3. Уменьшение моментов инерции / маховика вредно влияет на устойчивость.
4. Уменьшение неравномерности ч вредно влияет на устойчивость. Чтобы сделать свои выводы доступными для инженеров и привлечь внимание к наиболее важным из них, Вышнеградский формулирует в конце работы свои знаменитые «тезнсыо, 224 УСТОЙЧИВОСТЬ 1гл. $ Первый тезис: Катаракт (трение) есть существенная принадлежность чувствительного и правильно действующего регулятора, короче: ябез катаракта нет регулятораь. В т о р о И т е з и с. астатические регуляторы (т.
е. регуляторы с нулевой неравномерностью) даже и с катарактом не должны быть употребляемы, короче <без неравномерности нет регулятора». Нарушения работы регуляторов в середине Х1Х столетия объясняются тем, что благодаря развитию техники все четыре величины, входящие в соотношение (15), стали изменяться в направлении, ухудшающем устойчивость. Именно, ввиду увеличения веса заслонок (связанного с возрастанием мощности машин) стали применяться все более тяжелые шары. Совершенствование обработки поверхностей деталей приводило к уменьшению трения, Увеличение рабочей скорости машин сделало необходимым уменьшение момента инерции 1 маховика. Наконец, стремление уменьшить зависимость скорости от нагрузки приводило к уменьшению неравномерности хода. Уяснив неблагоприятное влияние всех указанных факторов, ВышнеградскиИ в своих тезисах рекомендует искусственное увеличение трения (при помощи специального устройства — катаракта) и увеличение неравномерности хода (за счет изменения чисел и и А, зависящих от конструкции машины).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
