Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550)
Текст из файла
л. с. понтрлгип ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗдЛШИт Ч!СТВ!!! ТОт! Л мутттени Мчттистевстч ттт встстттеео и си Вчесо сп иии и ио,о о лт т:ооиччи СССР В Каис'Стсте дчебчс си О тв Стидтч!ттти ттчииеттет т ' О 1!ЗЛАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАК11!1й Ф! !31!КО-А!АТЕМАТИЧЕСКО1т! Л1!ТЕ!тЛТУ!>!т! ЫОСКБА !974 22,161.6 П 56 УДК 517.9 УЧЕБНИК УДОСТОЕН ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРЕМИИ СССР ЗЛ 1976 г, 1702050000 в 155 053 (02)-82 СОДЕРЖАНИЕ От автора Г л а в а п е р в а я. Введение 8 1.
Дифференциальное уравнение первого порядка 9 2. Некоторые элементарные методы интегрирования 8 3. Формулировка теоремы существования н единственности ... 8 4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной 8 5. Комплексные дифференциальные уравнения 8 6. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях Г па в а в т о р а я. Линейные уравнения с постояннымн ноэффи цнентамн 8 7. Линейное однороаное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней) 8 8, У!инейное однородное 1уравнсппе с постоянными коэффициентами (случай кратных корней) $9.
Устойчивые мпогочлены й 10. Линейное нсодиородное уравнснис с настоянными коэффициентами 8 !1. 3!стол исключения ч 12. Метод комплексных амплитуд ч 13. Электрические цепи 6 !4. Нормальная лнпсйпал однородная система с постоянными коэффициентами 8 !5. Автономные системы дифференциальных уравнений и пх фазовыс пространства $ !6. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постояппымп коэффициентами Г л а в а т р с т ь л. Линейные уравнения с переменными коэффициентами, й !7. Нормальная система линейных урависний !8. Линейное уравнение и-го порядка 19. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами Г л а в а ч е т в с р т а я.
Теоремы существования $20. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения 8 21. Доказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений 1' $ т Т 13 М 83 6Т 7$ 88 10$ 12$ 12$ 138 14$ 158 содппжднив 22. Непродолжаемые решения 173 23. Непрерывная зависимость решения от начальных значений н параметров 178 4 24 Днфференцируемость решения по начальным значениям я параметрам 185 9 25. Первые интегралы 196 Гла ва пятая. Устойчивость 204 6 26.
Теорема Ляпунова 205 9 27. Центробежный регулятор (ясследованяя Вышнеградского) 218 $ 28. Предельные циклы 224 9 29. Ламповый генератор 244 9 30. Положения равновесия автономной системы второго порядка 251 9 31; Устойчивость периодических решений ........,..... 268 Добарление ), Некоторые вопросы аяалнза ............ 284 $ 3$ Топологические свойства евклидовых пространств ....... 284 9 38. Теоремы о неявных функциях 298 Добавление 11. Линейная алгебра ...........,....... 309 9 34. Минимальный аннулирующнй многочлен,............ 309 , ж 35. Функции матриц 316 36, Жорданова форма матряцы 323 Предметный указатель 329 ОТ АВТОРА Эта книга написана на основе лекций, которые я в течение ряда лет читал на механико-математическом факультете Московского государственного университета. При составлении программы лекций я, исходил из уверенности, что выбор материала не должен быгь случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся традиции.
Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. Эти применения н послужили руководством при выборе материала для моих лекций. Теория колебаний и теория автоматического управления, несомненно„играют очень важную роль в развитии всей современной материальной культуры, и потому я считаю, что такой подход к выбору материала для курса лекций является, если и не единственно возможным, то во всяком случае разумным. Стремясь дать студентам не только чисто математическое орудие, пригодное для применений в технике, но также продемонстрировать и сами применения, я включил в лекции некоторые технические вопросы. В книге они изложены в й 13, 27, 29.
Эти вопросы составляют неотьемлемую органическую часть моего курса лекций и, соответственно, этой книги. Кроме материала, излагавшегося на лекциях, в книгу включены некоторые более трудные вопросы, разбиравшиеся на студенческих семинарах. Они содержатся в 9 19, 31 книги. Материал, дэдержашийся в й 14, 22, 23, 24, 25, 30, излагался на лекциях частично и не каждый год. Для удобства читателя в конце книги приведены два добавления, которые содержат материал, не входящий в курс обыкновенных дифференциальных уравнений, но сушественным образом использующийся в нем, В первом добавлении (отсутствовавшем в предыдушем издании) изложены основные топологические свойства множеств ОТ АВТОРА расположенных в эвклидовом пространстве, и дано доказательство теорем о неявных функциях; второе добавление посвящено линейной алгебре, В этом, втором издании по новому изложены теоремы о непре- рывноИ зависимости решениИ от начальных значений' и параметров, а также о дифференцируемостп решений по этим величинам.
Сделаны также многие более мелкие исправления. В заключение я хочу выразить благодарность моим ученикам и ближайшим товарищам по работе В. Г. Болтянскому, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко, помогавшим мне при подготовке и чтении лекций, а также при написании и редактировании этой книги. Мне хочется также отметить решающее влияние на мои научные интересы, оказанное выдающимся советским специалистом в области теории колебаний и теории автоматического управления Александром Александровичем Андроповым, с которым меня связывали долголетние дружеские отношения, Его влияние существенно сказалось на характере и направленности этой книги.
Л. С Понтрягин ГЛАВА ПЕРВАЯ ВВЕДЕНИЕ Эта глава посвящена в первую очередь определению тех понятий, которые будут изучаться в дальнейшем, "1то такое система обыкновенных дифференциальных уравнении, что называется ее решением и как много этих решении существует — таковы главные вопросы, на которые дается ответ в этой главе. Количество решений определяется теоремами существования и единственности, которые здесь не доказываются, а только формулируются. Доказательство этих и ряда других теорем того же типа дается в четвертои главе, а до этого сформулированные в первоИ главе 1еорекы многократно используются, чем выясняется их значение.
Кроме этих основных сведений, в первоИ главе приводятся решения дифференциальных уравнений нескольких простеИших типов. В конце главы рассматриваются комплексные дифференциальные уравнения и их комплексные решения и приводятся простейшие замечания относительно систем линейных дифференциальных уравпепиИ. В 1. Дифференциальное уравнение первого порядка Дпфференциаланымн уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного 'или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если неизвестными функциями являются функции многих переменных, то уравнения называются уравнеппячи в чаегнных ироизеооных, в противном слу.гае, т.
е. при рассмотрении функций только одного независимого переменного, уравнения называются сбыкновеннылш дифференциальными уравненяями. В дальнеИшем мы будем иметь дело только с последними. Так как в ряде фнзйческих применении независимым перемепныи, от кбторого зависят неизвестные искомые функции, является время, которое принято обозначать через 1, то всюду в дальнейшем независимое переменное будет обозначаться через 1. Неизвестные функции будут обозначаться через х, у, а и т. д. Производные функции по 1 введсння 1гл. $ гх ~~х будут, как правило, обозначаться точками: х = †, х = †, и т.
д. ~й ' ЙР В тех случаях, когда это неудобно или невозможно, мы будем указывать порядок производной верхним индексом в скобках; например, 4и) ~ '" с~' В первую очередь мы займемся рассмотрением о д н о г о д и фференциального уравнения первого порядка, т. е. уравнения, в которое входит лишь первая производная неизвестной функции. Уравнение это может быть записано в виде: Р(Е, х, х)=0. Здесь 1 — независимое переменное, х — его неизвестная функция, я'х Х= — — ее производная, а Р— заданная функция трех переменных. яг Функция Р может быть задана не для всех значений ее аргументов; поэтому говорят об области В задания функции Р.
Здесь имеется в виду множество В точек координатного пространства трех переменных 8, х, х. Решенпвлт уравнения (1) называется такая функция х= у(1) независимого переменного 1, определенная на некотором интервале г> <" 1(г, (случаи г,= — оо; гя=+оо не исключаются), что при подстановке ее вместо х в соотношение (1) мы получаем тождество на всем интервале г,(1(гя Интервал г,<'1< га называется интервалом определения решения у(~).
Очевидно, что подстановка к=у(1) в соотношение (1) возможна лишь тогда, когда функция у(1) на всем интервале г,< Е(гт имеет первую производную (и, з частности, непрерывна). Для того чтобы подстановка х= я (1) в соотношение (1) была возможна, необходимо также, чтобы при произвольном значении переменного 1 из интервала г,(1(гя точка с координатами (8, ьЩ ф(1)) принадлежала множеству В, на котором определена функция Р. Соотношение (1) связывает три переменные величины 1, х, У.
В некоторых случаях оно определяет переменное .Ф как однозначную неявную функцию независимых переменных 1, х. В ятом случае дифференциальное уравнение (1) равносильно дифференциальному уравнению вида ,к ~Я, х). (2) Дифференциальное уравнение (2) называется разрешенным относительно производной; оно в некоторых отношениях более доступно для изучения, чем общее дифференциальное уравнение (1).
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
