Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 38
Текст из файла (страница 38)
й 15). мстоппгнвость' Устойчивость положения равновесия Пусть ,У'=У(х', ..., х"), 1= 1, „а — нормальная автоио.шая система, и х=у(х) (2) — ее векторная запись. Относительно функций ~'(х', ..., х"), 1=1, ..., п (3) мы будем предполагать, что оии определены н имеют иеи, ерьигиые частные производные первого порядка иа некотором открытом множестве Ь пространства иереме.шых х',, х". В дальнейшем при установлении критерия устойчивости требования дифференцируемости будут усилены: имении, будет предполагаться, что функции (3) имеют на множестве Ь непрерывные частные производные второго порядка. Не давая формального определения устойчивости по Ляпунову, постараюсь прежде всего выразить идею устойчивости.
Положение равновесия а=(а', ..., а") уравнения (2) следует считать усто ич и в ы и, если всякое решение уравнения (2), исходящее при г= 0 пз точки, достаточно. близкой к а, остается в те~ение всего дальнейшего своего изменения (т. е. ири г >О) вблизи точки а. Физический смысл устойчивости ясен. Физический объект (например, какая-либо машина), движсиия которого управляются уравие щем (2), может находиться в положешш раиювесия а лини, тогда, когда это положение равновесия устойчиво, так как в противном слу гае ничтожное отклонение от положения равновесия, вызванное случайным толчком, может повлечь уход объекта далеко от положгчшя рави.":песня. 11ияге через ср (1, Р) будег с'озиачзгься 1'е|иеиие уравнения (2) с начальными зиачеии ищ 1= — О, х=--,, гак что ср(г, й) есть векторная функция скалярного исремешкн о 1 и векторного переменного й, удовлетворяющая условию ~р(0, й) = „-.
1)пиеделеиие. 1!оложеиие равновесия а уравнения (2) называется устоичиаызг ли суялуноау, если !) существует настолько малое положительное число р, что иря ~,й — а(< р решение гр(1, й) уравне. иия (2) определено лля всех положительных г; 2) для всякого положги ельиого числа а найдется такое положительное число 3 (р, что при ~ $ — а ~(Ь наееч (гр(1, й) — а'(а ири всех 1 >О. Устойчивое по 21;и уииву положение равновесия а урш пения (2) называется аспжл- 207 5 та1 теоггма ляпуноВА тотпчегк!! устойчивым, если 3) существует настолько малое поло- жительное число е(р, что при )$ — а)(в имеем: 1пп !тр(т, ь) — а!=О. ! +со Палим прежде всего достаточные условия устойчивости положении равновесия для линейной однородной системы с постоянными ковффицнентамп: Л) Пусть — линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, взятое в векторной записи.
Решение его с начальными вначеииями О, ф обозначим через тр(1, й). Если все собственные значения матрицдя Я имеют отрицательные действительные части, то существуют такая положительные числа и и г, что выполнено неравенство !тр(1, й))~г~ф)е "', 1~0. % А =(а'); ! А (р) = (а,' — рд'.). Тогда, пользуясь символом дифференцирсвания р (см, $ 7), уравнение (5) в скалярной форме можно записать в виде системы ~~, 7.,'(р) ~~ = О, ! = 1, ..., н. Л !'=- ! Пусть М!(р) — минор элемента 0(р) матрицы Е.(р), взятый с падлам жшцпм з!гаком, так что гппюлнено тождество л ,".; М,'(р) ~,'()!) = ~,' ~)(р) где П(р) — детермппант матрицы Е(р). Умножая соотношение (7) ив ыпогочлеп М~(р) и суммируя полученное соотношение по 1, получаем 0= ~ь ~~ М,' (р) Ц(р)х = ~ Й!0(р) х =Ес(р) х".
!. 1; !=! Таким образо::!, ес;ш Из неравенства (6) непосредственно следует, что положение равифвеспя к=О уравнения (б) является устойчивым по Ляпунову и асиаютотически устойчивым. Йокажем неравенство (6). Положим: 908 устойчивость — некоторое решение уравнения (б), то каждая функция х удовлетворяет дифференциальному уравнению В(р)х =О.. Так как все корня многочлена 0(р) по предположению имеют отрицательные действительные части, то (см.
й 9, А)) для функции х' выполнено неравенство ~х'~=.Ке "', 1=1...„и; 1)0, где Я и а — положительные числа, не зависяшне от номера 1. Из этого неравенства следует неравенство )х)» ~/и )се "' (~)0). Последнее неравенство уже было доказано ранее (см. й 11, Б)) в более обших предположениях; здесь это доказательство проведено заново. Пусть е; — единичный координатный вектор номера 1, так что е,.=(0, ..., 1, ..., 0), где единица стоит иа 1-м месте. Пусть, далее, ф(1) — решение уравнения (б) с начальным значением еи так что ф(0)=еи 1=1, ..., и. Тогда решение ф(~, $) уравнения (б) с начальным значением 5=( ~ "~ ~")~ очевидно, запишется в виде: Р(~, В) = „К е'Ф;(О (6) Так как для каждого решения ф,.(1) выполнено неравенство ';ФФ1, =1/и Ке™ (1= О), то для решения ф(г, й), очевидно, выполнено неравенство (6).
Устойчивость по Ляпунову положения равновесия х=О непосредственно вытекает из неравенства (6), действительно, если в — заданное положительное число, то достаточно принять за В число —. Асимптотическая устойчивость также вытекает из неравенства (6), Функция Ляпунова При установлении критерия устойчивости положения равновесия не л и и е й н о й системы (1) пользуются так называемым дифференцироваииеж в силу свете иы уравнений; дифференцирование это находит применения ие только при доказательстве теоремы Ляпунова. 209 ТЕОРЕМА ЛяплНОВА В) Пусть Г(х1, ..., х") = г" (х) — некоторая дифференцируеа1ая функция переменных х',...,х", определенная на множестве Ь.
Ее производная по 1 в силу системы уравнений (1) в точке х=(х', „х") определяется следующим образом. Пусть гр(1) — решение уравнения (2), удовлетворя1ощее,'при некотором значении 1=1, начальному условию: гр(го) =х. Производнач Г(1) (х) в силу системы (1) определяется формулой р', ( )=„—,~(р(Ю~ =., ~Г или в силу формулы полной производной л („(х)= '~ ~ — '„1,) У'(х), 1=! гг(1* 1Р(а 5))=1Р(а+г ь).
(10) Докажем формулу (10). Положим; Ч=гр( й) (! 1) где а — фиксированное число, и рассмотрим решение гР (1) = 1г(г Ч) уравнения (2). Так как гр(г, й) есть решение уравнения (2), то в силу автономности этого уравнения (см. й 15, Л)) решением является и функция 'ра(Г), определяемая соотношением: тря(г)=гр(г-!-а, Ф). п1ы имеем, таким образом, два решения <р1(!) и тра(1) уравнения (2). Далее, % (0)=гг(0 Ч) =Ч Из формулы (9) видно, что Г!1, (х) не зависит от решения гр(г), а однозначно определяется выбором точки х.
Докажем теперь одно свойство автономной системы. В) Решение автономного уравнения (2) с начальными значениями О, й по-прежнему будем обозначать через 1р((, й). Оказывается, что функция 1р(1, $) удовлетворяет тождеству 2!О кстопчмпость (см. (4)), ср,(О) =гр(г, ф)=т) (см. (11)). Таким образом, решения ~р,(г) и ср,(() имеют обшие начальные значения п потому совпадают, а это и означает, что соотношение (10) выполнено.
В доказательстве теоремы Ляпунова основную роль играет некоторая положительно определенная квадратичная форма, называемая функцией Лялумаеа. Отметим сначала некоторые свойства положительно определенных квадратичных форм (см, Г)), а затем построим и самую функцию Ляпунова (см.
Д)). Г) Пусть (12) — переменный вектор и-мерно~ о пространства. Квадртлпчной фар.иай от вектора х называется его функция 1г'(х), определяемая формулой !Т(х)= ~ ю,,х' т. и т=! где и,; = ж~,; — действительные числа. !(вадратичпая форма %'(х) называется лоложьыпельно оиределенкай, если при х ~ О имеем: !к'(х) > О. Оказывается, что для любой положительно определенной квадратичной формы %'(х) всегда можно подобрать два таких положительных числа р, Ь что для произвольного вектора х име!от место неравенства р, ) х Г ~ 1к'(х) ~ ч ~ х Г. (! 3) Ип атого следует, что для произвольного х (см. (12)) имеет место пс,,юсч юз по ~х' ~ ~ — В'(х), (14) Докажем существование чисел р п т.
Для этого рассмотрим значения фупкппп !!пав), когда вектор $ принадлежит едиппчпои сфере, т. е. удоплсгпоряст условию ! %1=1 (15) Так как сфера (!5) представляет собой замкнутое ограничешгое множество, а фупкппя 11т Я) непрерывна, то на сфере (15) опз достигает своего мшпгмума й и своего максимума т. Так как все векторы сферы (15) отличны от пуля, то числа,л и т положительны. Пуст1 х— про,зпольпып вектор; тогда мы имеем х = ).й, где вектор г'. прп- теопгмл ляпунова нз-лежит сфере (15), и потому для вектора ф выполнены неравенства р~ У'® -.
Умножая это неравенство на )з, получаем неравенства (13). Перейдем теперь к построению функции Ляпунова. Д) Пусть в х = ~~ а',.х~, 1=1, „и (16) /= 1 — линейная однородная система уравнений с постоянными коэффициентами, причем все собственные значения матрицы А=(а') имеют отрицательные действительные части, Существует тогда положительно определенная квадратичная форма Ж"(х), производная которой в силу системы (16) (см. Б)) удовлетворяет неравенству К'„„(х) = — РЖ'(х), (17) л М, Ю= Х ~'ф, (1) с=~ (18) (см. (8)). Положим теперь !РАЙ)=) ~ Ф(, Ю~'-г1т.
о (1О) Мы имеем в силу (!8) Л СО т(Р= )' И 1 (ф,.(т), ф,(-.). (т. (2ч) Так как каждая функция ф, (1) удовлетвор. ет нерзгспству (6), то каждый несобственный интеграл, стоящий в право!! части равенства (20), сходится, и потому Ю'(х) есть квадратичная форма относительно векторз й. Эта квадратичная форма является положительно определенной, так как при й ~ 0 подьштегрзльное выражение в формуле (19) положительно, и, следовательно, К Я) .> О.
Вычислим теперь прон:- водную Фнз, Я) функции ЮЯ) в силу сисгемы (!6). Для этого, соглзсно предложению Б), мы проведем через точку й решение ф (б '-. где х — произвольный вектор, а р — положительное число, не зависящее от вектора х, Построим форму Ю'(х). Будем считать, что система (16) есть скалярная запись векторного уравнения (б). Решение уравнения (5) с начальными значениями О, й будем, как и в предложении А), обозначать через ф (1, й); тогда мы имеем: устойчнзость и зятем вычислим производную при г=0 от функции 1~'(ф(г, й)). Заметим предварительно, что в силу В) Ф(, Ф(И 5))= Ф( +1 ~) так что 11'(чч(г, "))=) ~ф(т, тр(1, ь)) ! г1~ = о =~ ~ф«+, и~'~ =~ ~ф(, ьн'~. о ! Таким образом, мы имеем 1~...(и=,",~м(~, ~в~ =,"-,~м(, в~ч! = — !ФН В)Г~~=а= — !В~я. Итак, мы получили равенство ~р6>а)= — 1в~, но в силу второго из неравенств (13) имеем: — ! Ф !'~ — — „1Т'Я) н потому получаем: 11у11я1 Я) ~,„1г'(5) 1 Таким образом, неравенство (17) доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
