Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Будем считать, что величины т, й являются параметрами в уравнении (19), и пусть у=ф(а,, В) (21) --- пепродолжаемое решение уравнения (19) (см. $ 22, А)) с фиксированными начальными значениями а= О, у = О, т, е. решение, удовлетворяющее начальным условиям ф(0, т, 6)=О. (22) Переходя к старым переменным по формулам (!7) и (18), мы получим функцию х=ф(г, т, $)= 9+ ф(1 — т...
$), (23) (р(т, т, ф)=$. Из того, что решение (21) непродолжаемо, следует, что решение (23) также непродолжаемо, так как если бы решение (23) можно было продолжить, то моакно было бы продолжить и решение (21). являющуюся, как показывает непосредственная проверка, решением уравнения (16), уловлетворяющим начальному условию 184 1гл. ь теОРемы существовлния Лок аз а тельство теоремы 14. Г1редложепие В) сводит изучение зависимости решения от начальных значений к изучению зависимости решения (при ф и к с и р о в а н н ы х начальных значениях) от параметров, входящих в правую часть уравнения. Это изучение было осуществлено в теореме 13.
В силу этой теоремы, непродолжаемое решение у=ф(з, ч, 9) уравнения (19), содержащего в правой части параметры ч, 9, взятое при фиксированных начальных значениях з, = О, у, =- О, определено на некотором открытом множестве Т в пространстве переменных в, ч, й и непрерывно на этом множестве по совокупности всех своих аргументов. Непродолжаемое решение х=<р(1, ч, й) уравнения (16) с начальными значениями ч, й выражается через решение у=чр(з, ~, 9) ~о формуле (23). Переход от аргументов з, ч, 9 функции чр к аргументам Ф, ч, 9 функции «р осуществляется формулами т = 3+ 7, Это преобразование пространства переменных в, ч, й в пространство переменных 1, ч, й является аффинным и потому переводит открыгое множество Т, па котором опрелелена функция чр, в некоторое откры гое множество 8, на котором определена функция <р (см.
$ 32, пример 1). Таким образом, множество 8 всех точек (1, ч, й), на котором ощеделена функция !р, является открытым в пространстве неремешпах 1, ~, й. Непрерьпшость функции тр следует из непрерывности функции ф, в силу формулы перехода (23). Таким образом, теорема 14 доказ;ша. Теоремы 13 и 14 могут быть об1:сдп!!е!!ы в одну: Теорем а 15. Пусть х=гр(1, ч, й, )ь) — непродолжаел«ое решение уравненпя (3) с начальнымп значснпялгп -., 9.
Тогда функция <р(1, ч, ~~, )ь) определена на некотором открьыпом множестве пространства переменных 1, ч, 9, )а а непрерывна на нем. Эта теорема локазывается так же, как теорема 14,— путем замены переменных (17), (18) и последующей ссылки па теорему 13. Следствия теорем !3 и 14 Теоремы 13 и 14 прелставляют собой несколько необычно сформулированные интегральные теоремы непрерывности. Приведенные здесь формулировки интегральных теорем непрерывносги (теоремы 13 и 14) являются новыми; опи существенно отличаю~си от формулировок, имевшихся ло сих пор в математической литературе. Нижеслелую!цие предложения Г) и Л) являются прямыми следствиями теорем 13 и 14.
Эти предложения по своим формулировкам ближе к обычным формулировкам интегральных теорем непрерывности. Следует, однако, отметить, что формулировки теорем !'3 и 14 наиболее полно охватывают факты, относящиеся к «!епрерывной зависимости решений от параметров и начальных значений. Предложение Г) по существу было установлено в процессе доказательства $2«1 лиФФегенциРуГмОсть по т!Ачлльным знАченням .: 1«15 теоремы 13, но здесь Оно выводятся из самой теоремы 13, чтоСы иолчеркиуть полноту ее солержания. Г) Если решение «р (Е, 1«) уравнения (1) с начальными значениями Е«, Х«пРи !!=и«опРелелено на отРезке г, ==Е~г,, содеРжащем Ея (это означает, что отрезок г, ~Е(гя содержится в интервалеопределения решения «р (Е, )х*)), то существует такое положительное число р, что при ! г! — 1«') ~р пепродолжаемое решение «р (Е, 1«) с начальными условиями ЕФ х„такжеопределенонаотрезке г,~Е~г,.
Далее, для всякого положительного а найлется такое положительное Ь(р, что при г, =Е:=-г,, ~1ц — 1««:~(о имеем )Ч!(Е, 1«) — гр(Е, )«"")((а. При доказательстве этого предложения используем теорему 13. 3,ак как множество Т ис«х пар Е, )А, на котором определена функция «р (Е, )А), о«крыло, а точки (г„)А«') и (г,, )«*) принадлежат ему, то существует настолько малое положительное число р, что при ~1« — )«: )~Р точки (г„)А) и (г«ь )«) пРинадлежат миожествУ 7'. Это значит, что иигервал определения непродолжаемого решения «р (Е, !ц) содержит вссь отрезок г,. Е.-.:=г„т.е.
решение «р (Е, (А) определено на зтоъ! отр«зке. Множество Р всех точек (Е, )х), для которых г,~Е=г„))А — 1««'(=:-р, замкнуто, ограничено и расположено в У; Так как Р сол«ря ится в Т, а функция «р (Е, )«) непрерывна на Т, то она равномерно непрерывна на Р. Отс«ода непосредственно вытекает правильность второй части предложения Г). Д) Если решение «р (Е, й)=«р (Е, ЕФ ф) уравнения (16) с началь- 1«ыми зная«пнями ЕФ ф при ф=~„определено на отрезке г, ==Е.-.=ггь солеРжаи!«х! Ееь то сУществУет такое положительное число Р, что пРи / ф — х,) ~ р иепрололжаемое решение «р (Е, к) также опрелелено на отрезке г, -:= Е =- г,.
Далее, лля всякого положительного я найдется такое положит«лыюэе Ь(р, чго при г«=:-Е-::-г, ~~ — х,~!(«! имеем: ,'Ч(Е, В) — %(Е, х«!)~( . Прслложеиие Д) выволигся из теорех«ы 14 точно так х'е, как предло;кение Г) из теоремы 13. 5 24. Дифференцируемость решения по начальным значениям и параметраы В прелылущем параграфе была доказана непрерывность решения по начальным значениям и параметрам.
Здесь будет установлено, что в некоторых предположениях решение дифференцируемо по начальным значениям и параметрам. Та!« же как в предыдущем параграфе, снацала мы рассмотрим лиффереицируемость решения по параметрам, а затем на основе полученных результатов при помощи конструкции, ланиой в предложении В) $ 23, докажем дифференцируемость решения по начальнын значениям, теОРеиы сушестВОВАния Дифференцируемость по параметрам как и в $23; правые части ее определены и непрерывны вместе ду' с их частными производными — в некотором открытом множестве дх1 Г пространства Я переменных г, х',..., х", р.',..., р'.
Пусть х=~(1, х, )а) (2) — векторная запись системы (1). Доказательство дифференцируемости решений по параметрам р',..., р' будет провелено в предположении, что правые части системы (1) непрерывно дифференцируемы по этим параметрам в открытом множестве Г. Доказательству лифференцируемости мы предпошлем предложение А), называемое обычно леммой Адамара. А) Пусть и ф,..., 6', и',...„па) — функция р+д переменных, определенная в области Ь пространства этих переменных, выпуклой относительно переменных и',..., па. Полагая и=(п',...., п~), мы сможем записать ее как функцию иф, и) двух векторов.
Будем предполагать, что во всей области своего определения функция еф, и) и ее частные производные ' —, /=1,..., а, непрерывны. дд(Г, и) Оказывается тогда, что для любой пары точек (1, и,), (1, и,) с олнпаковой координатой ~ из области Ь имеет место соотношение а(~, и,) — п(г„и,)= 'Я й ф, ин иа)(п/' — и!), гле функции Й.ф, и„и,), 1=1,...,д опрелелены и непрерывны лля всех указанных значений аргументов а, и„и, (в частности, и при д совпадении и,=ия), причем й~(й, и, и)= —, а(8, и). Для доказательства предложения А) положим: тв (а) = и, + г (иа — и,), 0 ~ г ~ 1.
Мы имеем тогда УИ, и,) — в(~ и)=к(г те(1)) — Д(~, то(0))= ) 1, д(г, те(а)) аз. (' д 6 Мы будем рассматривать такую же систему дифференциальных уравнений х'=~'(Е, х'...„х", (а'„,„р.'), 1=1,..., и, (1) 1ЗТ- 5 241 диФФеРенциРуемость по нАчАльным знАчениям Вычислим теперь производную — я(С, тв(з»; мы имеем: д —,И (» — —, й'(С (з) "»'(з))— д д дя(С,то(з)) ди) (з) до<С дз ° ° 1=1 Так как, в силу (4), очевидно, имеем: диУ (з) — =и< — и<, ~=1„,д, 3 н то, полагая е<це 1 )<<(С,и„из)= 1 ) < йз, Г дв (С,тв(з)) мы получаем формулу (3).
Так как, по предположению, функции де (С,и) — ' — непРеРывны, то фУнкции !<С(С,пниз) также непРеРывпы. диl Таким образом, предложение А) доказано. Теорема 16. В силу теоремы 13 непродолжаемое решение <е (С )з) =(т' (С )А) ° ~" (С, )А» уравнения (2) при фиксированных начальных значениях Сз,х, определено на некотором открытом множестве Т пространства переменных С,)А<,..., )А~ и является непрерывной функцией всех своих аргументов. Оказывается, что если частные производные правых частей системы (1) по аргументам )з1,..., р' определены и непрерывны в открыто.<з множестве 1', то частные производные д~ (~,)<) — <=1,..., и; А=1,..., С, Ор. определены и непрерывны на всем открытом множестве 7'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
