Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пусть А — оператор, определенный соотношениями (!О) и (11), исходя из системы (27) дифференциальных уравнений и начальных значений (28). Оператор А применим, очевидно, к любой непрерывной функции !р(1), определенной на интервале г7!(1(!7» Из предложения А) следует, что система (27) с начальными условиями (28) равносильна операторному уравнен!ио (8!1) !рг!! —— А»ри 1=0, 1, 2, ..., (81) определены на интервале 7! ( 1 ( !7,.
Пусть г,~1~㻠— произвольный отрезок, содержащий внутри себя точку 1» и содержащийся в интервале д»(1(!7в так что !7! (г! (1»(г»(Ч». Покажем, что последовательность (29) равномерно сходится на отрезке г! ~1~ г» к решению уравнения (30). Для правых частей уравнений (27) мы имеехс для которого мы и найдем решение, определенное на всем интервале 7»(1(!7».
Функции последовательности (29), заданной индуктивным соотношением СЛУЧАЙ НОРМАЛЬЛ!ОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ и по гому при г, ==. г ~ гз имеют место неравенства где К в некоторое пологкительпое число. Так как функпии сро(г) и ор,(1) ограничены на отрезке г,: (~гм то на этом отрезке имеет место неравенство !ор (() — фо((И~С где С вЂ” некоторая константа. Далее, на том тке отрезке мы полу- чаем последовательно (см. (5) и (6)): )о сс) — о с)С-/ ~сг«о с» — г«о с)))о ~~ уо ~с(сг«,о,с,)) гс„о,с.)))о.~(г)ссосс — ),о со с)) — о.о)с=() сг«,о с )) — гс'о с')))"' ~~ Ео (и'К)оС (~ сг«о с)) — у«о «))со ~~ 1 ° ° ° ° со„со — о;с))с=() сгс о;с)) — гс'о-с')))о)~~ со (и К) С ) )о Отсюда получаем (иоК(г„ г,))) осрс ) — В))-=С (и о К (го — г,))' Так как числа С,; ' образуют сходягпийся ряд, то последовательность (29) равномерно сходится на отрезке г, ~(= .г, к некоторой непрерывноп функпии ор(().
Для этоп фус)кции мы имеем: г )ла — ло)с ( а~ ) ()г«ес)) — гс~ о«)))о')~ г) )~го со =" поК(г, — г,) ~1 ср; — гс. ,'~ 172 теОРемы существовяния ЯМ)( с( )+['[)стт, «>О, Р>0; (32) оказывается тогда, что она удовлетворяет неравенству и (Ф) ( — (с" с'-" [ — 1).
(33) 71ля доказательства предложения 5) рассмотрим наряду с инсегральным неравенством (32) интегральное уравнение и ([) = ~ («в (".) + [3) ссх са и покажем, что имее~ место неравенство п(т)-= х (с). [[ля этого будем решать интегральное уравнение (34) методом последовательных нрибли;кеши!. Так как подынтегральсве вырамсеыие в (34) линейно относительно функции п(с), то последовательность приблимсений равномерно сходится на всем отрезке [л-%,1~1, (см. доказательство теоремы 3).
За исходнусо функцию при построении последовательных приблимсении примем функцию пл(1)=н([). Йалее положим: х;,, ([) = $ («т; (т) + ~) сй. (35) со Мы докажем индукцие[[ по 1, что каждая функция п[(г) удовлетворяет интегральному неравенству п[(1) = ~ ( [(')+ ФИ' (36) се так что последовательность функцид Асрм Асрн .. „Асрп равномерно сходится и функции Аср на отрезке г, =с:-гя. Переходя к пределу в соотношении (31), мы получаем: ср= Аср. Так как г,:-с (гя есть произвольный отрезок, содержащий точ- кУ Г, и содеРжащиясЯ в интеРвале с)с(с(с7«, то последовательность (29) сходится в каждой точке интервала с7,(г(с7, и потому функция ср([) определена на всем интервале с), (1(с7, и на всем этом интервале является решением уравнения (30). Итак, теорема 3 доказана. Пользуясь методом доказательства теоремы 3, установим нижеследусощее важное для дальнейшего предложение: Д) Допустим, что заданная па отрезке 1„~ г — г, непрерывная (скалярная) функция и (1) удовлетворяет интегральному неравенству л 221 непРодолжАел1ыГ Решения 11ри 1=0 это неравенство верно, так как па(8)=п(1) (см.
(32)). Допустим, что оно справедливо длч функции и;(У), и докажем его для функции и;+,ф. В силу предположения индукции, мы имеем: и; +, (1) = $ (х и; (т) + р) Йя ~ и; (1). 1л Таким образом, гл (г)=- (1) (37) Поэтому, вниду положительности числа я, мы получаем из (35): и;+,(1) = )(ятг; л(т)+ р)сКт, )а Проведенная индукция доказывает неравенство (36); одновременно установлено неравенство (37).
Из этого следует, что предел п(1) последовательности и (1)=п(Е),п,(1),...,п;(1),... Не меньше каждой иа фуч1кцни и;(г), и в частности п(Г)=и(г). Теперь для завершения доказательства предложения Д) достаточно доказать, что решение п(г) интегрального уравнения (34) совпадает с правоб частью неравенства (ЗЗ). В силу предложения А) Э 20 решение п(1) уравнешш (34) совпадает с решением дифференциального уравнения б(1)= х п(Е)+ 3 при начальном условии п(1,) =О, т. е. с правой частшо неравенс ва (33). Таким образом, предло:кение Д) доказано.
ф 22. Непродоллкаемые решения В Ч 3 было введено понятие непродолжаемого решешгя (см. Э 3, А)). Месь при помош,и совершенно элементарных соображений из теоре- м1Я 2 будет выведено, что каждое решение может быть продолжено до решения, далее непродолжаемого (см. А)). В этом смысле пепродол>1лаемые решения исчерпывают совокупность всех решении, Далее, в" предложениях Б) и В) будет установлено одно важное свойство пепродолжаемых решений, которое найдет своп применения в следующих параграфах этой главьь 11усть л:=У(т, .л) — векторная запись нормальной системы уравнений (см.
ф 21, (1), (д)),' 'правые части которои'определены и непрерывны вместе со своду'17, х) ими частными производными ' па некотором открытом мнодлу жестве Г пространства 1с переменных 1, х'...., х". ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 1гл. 4 А) 1) Существует непродолжаемое решение уравнения (1) с произвольными начальными значениями из Г. 2) Если некоторое непродолжаемое решение уравнения (1) совпадает с некоторым другим решением уравнения (1) хотя бы при одном значении Т„то оно является продолжением этого решения. 3) Если два непродолжаемых решения уравнения (1) совпадиот между собой хотя бы для одного значения 1, то они полностью совпадают, т.
е. имеют один и тот же интервал определения и равны на нем. Докажем предложение А). Пусть (Тр, х,) — произвольная точка из Г. Построим такое решенне Х=4р(1) урзвнения (1) с начальными значениями 1р, Х, что оно является продолжением любого решения уравнения (!) с начальными значениями 1р, Х. Каждому решению уравнения (1) с начальными значениями 1„х соответствует свой интервал определения.
Множество всех правых концов этих интервалов обозначим через йр, а множество всех их левых концов — через К,. Точную верхнюю грань множества 14, сбозначим через тр (в частности, может оказаться, что тр — — ОО), а точную нижнюю грань множества й, обозначим через т, (в частности, может оказаться, что т,= — со). Построим решение х=тр(Т) с начальными значениями 14, х,, определенное па интервале т, (1(т,. Пусть 1Р— произвольная точка этого ни~ерзала.
ДопУстим длЯ опРеделенности, что 1р=-4'. Так как тр есть точнаЯ верхняя грань множества )х„то сушествует решение Х=Ар(Т) уравнения (1) с начальными значениями Тр, х„интервал определения которого содержит точку ТР, и мы положим тр(ТР) =Ар(1*). Полученное значение функции гр в точке Гр не зависит от случаино выбранного решения Х=рр(1). Депствительно, если бы вместо решения Х=$(Ф) мы взяли решение х=у(1) с начальными значениями 1„хр и интервалом определения, также содержащим точку ГР, то, в силу единственности (см. теорему 2), мы имели бы $(1Р)=)((1*). Таким образом, функция 4р (Т) однозначно определена на всем интервале т, ( (г(т,. В то же время она является решением уравнения (1) с начальными знзчениЯми Тр, Хр, так как вблизи каждой точки ТР интеРвала т,(г(тр фУнкциЯ 4Р(Т) совпздзет, по постРоению, с некоторым решением уравнения (1).
Г!усть |еперь Х=гр(1) — некоторое решение уравнения (1) с начальными значениями Г„х,, определенное нз интервале г, (г(г,. Тогда г, — элемент множества Кь а г, — элемент множества )с,, и потому т,=--г„г,==т.„т. е. интервал г,(г(гр содержится в интервале л4,(1(т,. Так как решения 4р(Т) и 4р(1) имеют одни и те же начал4ные значения, то, в силу теоремы 2, они совпадают всюду, $221 н«щродочжлгмь«в Рв«««ения гте онн оба определены, т. с. на интервале г«(1(г„, а это и знач,п, что решение «р(1) является продолжением решения «р(1).
Построенное рс«нснне «р (1), очевидно, неиродолжаемо. В самом геле, пусть решение ф(1) является продолже«аем решения «р(1). Тогда 1„, х, мо;а.о пр«шить за начальные значения 1тсн«ения ф(1) и, в силу дока"анного «ня«ке, раисино «р(1) есть продоля«ш«ие решения т!«(1), а это зпачнг, что решения «р(1) и «р(1) полностью совпж«лют. Из таких жс соображений следует, гто «р(1) есть единственное ««епродо.;гьаса«ое решение с начальнымн значениями 1„ха. Допусти«теперь,:то непродолжаемое решение «р (1) совнадаст с некоторым другим решеннем «р(11 хотя бы прн одном значении 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
