Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е. матрица А(1) удовлетворяет условию А (1 - 1- ) = А (Г). А) Для В якого (»агрпчпого) ре>пения Х=1® уразне>шя (1) (см. 6 17, К)) найдется такая постоянная (невырожденная) матрица С, что >1>(г+ т) = >1>(г) С. Матрицу С мь> буче назьн>ать основной для решения (2). Если Х = >1> (>) — какое-либо другое решспие уравнения (1), а С вЂ” его оспщп>ая матршш, то мы имеем: С=Р 'СР, где Р— некоторая незырождеппая постоянная матрица.
$191 системА с певиодическими коэФФициентАми 147 Для доказательства существования матрицы С заметим, что, наряду с решением (2), решением уравнения (1) является и матрица Ф(!+а). В самом деле, Ф (! + т) = А (! + т) Ф (Е + т) = А (!) Ф (Е + т). Таким образом, в силу формулы (27) $17 имеем: Ф (! + т) = Ф (1) С, где С вЂ” постоянная матрица. Для доказательства формулы (3) также воспользуемся формулой (27) $ !7. Так как Ф(Е) есть решение уравнения (1), то в силу упомянутой формулы имеем: Ф (1) = Ф (!) Р.
Отсюда 'Ф(т+ т) =Ф(1+'с) Р=Ф(1)СР=ФЯР 'СР, что н дает соотношение (3), Б) Уравнение (1) и уравнение У=В(Е) Г с периодической матрицей В (6) того же периода т, что и матрица А (!), называются эквивалентными, если существует линейное преобразование )'= 8(1) Х (см. $ !7, Л)) с периодической матрицей 8(Е) периода т, переводящее уравнение (1) в уравнение (4), Оказывается, что уравнения (!) и (4) тогда и только тогда эквивалентны, когда существуют решения Х=Ф(!) и )'=Ч'(г) этих !уравнений с одной и той же основной матрицей. Докажем это утверждение. Допустим сначала, что уравпсппа (!) и (4) эквивалентны, Пусть Х= Ф(1) — произвольное решение уравнения (1) с основной матрицей С; тогда у'=Ч'(!)=Я(!)Ф(1) ес>ь решение уравнения (4), и мы имеем: Ч' (!+ ) = 8(!+- ) Ф (г+ ) Л(!) Ф (г -,'- т) = З(!) Ф (!) С = Ч' (!) г:, Таким образом, основная матрица С решения Ф(!) являешься основной и для решения Ч(!).
Допустим теперь, что существуют решения Х=Ф(!) и г'= Ч'(г) уравнений (1) и (4) с одной и той же основной матрицей С; тогда мы имеем: , Ф (! + т) = Ф (!) С, 'У (г + т) = '1: (г) С, 148 лннвиныв урЛвпепйя с пврвмвнНЫМН КОНэфнцнвнтлмн 1г. а Деля второе из этих соотношений справа на первое, получаем; ~'(1+ )Ф 'И+ )=~г(1)Ф'И Таким образом, матрица 8(1)= Ч~(1) Ф-1(1) является периодической с периодом т, и мы имеем; Чт(Г)=В() ф(1) (5) Так как каждое из решений Ф(1) и Ч'(1) однозначно определяет свое уравнение (см. й 17, Д)), то из (5) следует, что уравнение (4) получается из уравнения (1) путем преобразования с матрицей Юф. Как видно из предложений А) и Б), каждому уравнению вида (1), рассматриваемому с точностью до эквивалентноети (см. Б)), соответствует матрица С, определенная с точностью до трансформации (см.
(3)). Более того, совокупность всех инвариантов матрицы С относительно преобразований вида (3) составляет п о л н ую с истему инвариантов уравнения (1), определенного с точностью до вквивалентности. . Следует заметить, что все сказанное в предложениях А) и Б) верно как в случае, когда рассматриваются только действительные матрицы, так и в случае, когда рассматриваются комплексные матрицы. В нижеследующей важной теореме Ляпунова (теорема 12) мы будем различать действительный и комплексный случаи. Т е о р е м а 12. Всякое уравнение (1) эквивалентно (см. Б)) уравнению У=ВУ, где  — постоянная. матрица.
(Л4атрица В, вообще говоря, ко.иплексна.) Если в уравнении (1) матрица А(1) периода т действительна, то это уравнение, рассматриваемое как периодическое, с: периодом 2с, эквивалентно уравнению У=В~У, где матрица В, постоянна сс действительна, причем матрица иерелода 5(1) от уравнения (I) к уравнению 1'= В, У также действительна. Доказательству теоремы ! 2 предпошлем следующее предложение. В) 11усть У=В)' (6) — система линейных однородных уравнений с постоянными коэффипиен1ами, записанная и магричпой форме.
Матрица В здесь постоянна. Оказывается, что матрица У вЂ” е'и (7) (см. й 35, Г)) является решением уравнения (6). Для доказательства того, что (7) есть решение уравнения (6), выпишем функцию е'В в явном виде. Мы имеем: ~!В = Е+ й3+ — Ва+ — В~+ Отсюда для производной — а получаем: !и !г! l гй — е!в В ~В+ гВ+ Вя+ 1 Вв!в 2! Доказательство теоремы 12. Пусть С вЂ” основная матрица некоторого решения Х=Ф(!) уравнения (!). В силу предложения Г) $ 35 существует матрица В, удовлетворяющая условию всВ Доказуем, что уравнения (1) и (8) эквивалентны. Действительно, в силу предложения В) матрица »"= е'В является решением уравнения (8).
Таким образом, если уравнение (8) рассматривать как уравнение с' периодическими коэффициентами с периодом т, то основная матрица решения Э'=е"В есть С, именно (см. формулу (20) % 35): в((+о в агвач — в!ВС. Так как основные матрицы рассматриваемых решений уравнения (1) и уравнения (8) совпадают, то эти уравнения эквивалентны (см:. Б)), ' ':Таким образом, первая часть теоремы 12 доказана. Будем считать теперь, что А (Е) — действительная матрица, Фф — некоторое действительное решение уравнения (1) и С вЂ” основная матрица этого решения, так что Ф (~ + г) = Ф (1) С.
(9) Так как Ф Щ вЂ” действительная матрица, то С в также действительная матрица. Из (9) следует, что Ф (1 -4- 2 !) = Ф (Ф + т) С = Ф (К) С'. (19) В силу предложения Г) 9 35 существует действительная матрица Вп удовлетворяющая условию в2 В~ Са Докажем, что уравнение (1) и уравнение »'=В!»; (11) $ !91 системА с пеРиодическими козФФициентами 1Щ. 150 ЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ Е ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1гл. а рассматриваемые как уравнения с периодом 2», эквивалентны. Действительно, матрица всв~ является решением уравнения (11). Таким образом, если уравнение (11) рассматривать как уравнение с периодическими коэффициентами периода 2», то основная матрица решения 1'=с'вс есть С'.
Так как основные матрицы рассматриваемых решений уравнений (1) и (11) (см. (10)) совпадают, то эти уравнения эквивалентны. Итак, теорема 12 доказана. Г) Пусть С в произвольная квадратная матрица порядка и, модули всех собственных значений которой меньше некоторого положительного числа р. Элементы матрицы С~, где лс — натуральное число, обозначим через с;, так что С"=("с~).
Тогда существует такое положительное число г, не зависящее от 1, /, ля, что ~ "4< Р". (12) Отсюда, в частности, следует, что для произвольного вектора Х имеет место неравенство ~ С х ~ ~ а'гр 1х ). (1З) Для доказательства оценки (12) рассмотрим ряд У(а)=1+ — '+ — ', + + — *,. + Р Р Р радиус сходпмости которого, очевидно, равен р. Из теоремы 29 (см.
$ Зб) следует, что матричный ряд С С, С'с Х(С)=Е+ — + —,'+... + — +... Р Р Р сходится и, в частности, сходится числовой ряд 'с', 'с' '"с. '+ — '+ —,+ + —.'+ " Так как ряд этот сходится, то все его члены пе превосхоляг некоторого числа г, причем число г можно выбрать общим для всех пар чисел (1, /), Таким образом, оценка (12) имеет место. Д) Пусть х= А(Р)х (14) — векторная запись матричного уравнения (1) и С в основная матрица некоторого решения Ф (1) уравнения (1).
Собственное значение Л кратности А матрицы С называется харакиссристпчссним чпслолс кратности А уравнения (1) и уравнения (14). Так как с точностью до трансформации матрица С не зависит от случайности выбора решения Ф(Р) уравнения (1) (см. Л)), то характеристические числа уравнения (14) и их кратности определены здесь инвариаптп.
Если Л есть характеристическое число краг- $ !91 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ " ' 151 1 ности Й уравнения (14), то число — 1пЛ называется харахтерисаичесхпм показателем кратности А уравнения (14). Допустим, что все действительные части характеристических показателей уравнения (14) меньше некоторого числа Т; тогда существует такое положительное число Й, что для всякого решения <р(1) уравнения (14) имеет место оценка ~ ~р (1) ~ ~ Я1~р (0) ~ ет' при 1~ О, (15) Докажем неравенство (15).
Пусть Ф(1) — решение уравйения (1) с начальным условием Ф(0)=Е; тогда любое решение у(1) уравнения (14) записывается в виде; р(1) = Ф(1) ~р (О). (16) Это проверяется подстановкой вектора (16) в уравнение (14). Далее мы имеем: Ф(т+ )=Ф(1)С, ФИ+9 )=ФФС',..., Ф(1+ =Ф(1) С',... (17) Так как на отрезке 0---1,. =я элементы матрицы Ф(1,) ограничены, то существует такое положительное число о, что 1Ф(1)х~ ~о ~х~ при 0 ~1,: (18) Так как, далее, все собственные значения матрицы С по модулю меньше числа е'т, то в силу (13) для произвольного вектора х имеет место оценка 1С х ~ ~ л'ге' ' ~ х ~. (! 9) Пусть теперь 1 — произвольное положительное число; найдем тогда такое целое неотрицательное число т, что 1= тт+ 1н 0 = 1, < ч. В силу (16) и (17) мы имеем: р (1) = Ф ( + 1,) р (О) = Ф (1,) С' р (О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
