Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 22
Текст из файла (страница 22)
-0 и точку (положение равновесия) при г =О. Переход от кривых в пространстве й к кривым па плоскости 8 осуществляется проектированием в направлении оси 1 на координатную плоскость ху. 5. Каждое решение неавтономной системы уравнений х=1, у=1 гаписывается в виде: х=1+ а, у= — 1я+ Ь, 1 (20) Это уравнение определяет па плоскости ху параболу с осшо, направленной вдоль положительной полуоси х и вершиной в точке (а, Ь).
Две такие параболы: одна с вершиной в точке (а„Ь,), а другая с вершиной в точке (ая, Ья) — не пересекаются лишь в случае, если а, = а,, Ь, =,г'. -Ь,, Если же а~ -г'. -ая, то соответствующие параболы пересекаются (в одной точке). Пересечение траекторий происходит потому, что исходная система дифференциальных уравнений н е а в т ономна. Поэтому изображение решений на плоскости ху в случае неавтономной системы нецелесообразно, ф 10. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами Здесь будуг построены фазовые траектории на фазовой плоскости системы х'=а,'х'+ а,х', ~ где а и Ь вЂ” константы. Из обшей теории известно (единственность решения), что в трехмерном пространстве Я переменных 1, х, у двв кривые, определяемые системой уравнений (20), либо не пересекаются, либо совпадают.
1(ля того, чтобы получить проекцию кривой, определяемой системой (20), на плоскость 8 переменных х, у, следует из системы (20) исключить 1. Производя это исключение, получаем: у.= — (х — а)'+ Ь. 116 линеиныг УРАВнениЯ с пОстОЯнными коэФФициентллли 1гл. я или в векторной форме (2) с постоянными действительными коэффициентами а.. При этом нам / придется разобрать несколько различных случаев, так как фазовая картина траекторий системы существенно зависит от значений коэффициентов. Следует заметить, что начало координат (точка (О, О)) всегда является положением равновесия системы (1).
Это положение равновесия тогда и только тогда является единственным, когда детерминант матрицы (а ) отличен от нуля, или, что то же, оба собственных значения этой матрицы отличны от нуля. допустим, что собственные значения матрицы А действительны, различны и отличны от нуля.
Тогда, как это следует из результатов $ 14 (теорема 1О) произвольное действительное решение уравнения (2) можно записать в виде: .ь = с'В,ел" + с"В,ел". Здесь Ь, и Вя — действительные линейно независимые собственные векторы матрицы А; 1> и Х, — его действительные собственные значения, а с' и с' — действительные константы. Решение (3) разложим по базису (В„Вя), положив Х= Е>В> + ЕЯЩ тогда мы будем иметь: Е> = с>е'>', ЕЯ = саее". (5) Координаты Е', Е* на фазовой плоскости Р системы (1), вообще говоря, не являются прямоугольными, поэтому отобразим аффинно фазовую плоскость Р на вспомогательную плоскость Ре таким образом, чтгбы при этом векторы Вн Ь, перешли во взаимно ортогональные единичные векторы плоскости Р~, направленные соответственно по оси абсцисс и осн ординат (рис.
22). Точка х= Е>Ь, + ЕЯЬ, плоскости Р перейдет при этом отображении в точку с декартовыми прямоугольными координатами Е', Е" в плоскости РФ. Таким образом, траектория, заданная параметрическими уравнениями (5) в плоскости Р перейдет в траекторию (которую мы также назовем фазоеой), заданную теми же уравнениями в прямоугольных координатах плоскости Р*. Мы начертим сперва траектории, заданные уравнениями (5) в плоскости Р*", и затем отобразим их обратно в плоскость Р. Наряду с фазовой траекторией (5) в плоскости РФ имеется траектория, задаваемая уравнениями Е>=с>е ', Р= — с'е > > , лр , я лм (6) 117 Флзовля плоскость линейной системы $ га1 а также траектория, задаваемая уравнениями , Л,г с1 еле, с =се-', (7) Траектория (6) получается из траектории (5) зеркальным отражением относительно оси абсцисс, а траектория (7» — относительно оси ординат.
Таким образом, указанные дна зеркальных отображения оставляют 1'ис. 22. 1> ~<!>"! ° картину траекторий на плоскости Ря инвариантной. Из этого видно, что если вычертить траектории в первом квадранте, то уже легко представить себе всю фазоную картину в плоскости Р"". Заметим, что при с'=с'=О мы получаем движение точки, описывающее положение равновесия (О, О), При с'=О, с' >О голучаем движение, описывающее положительную полуось абсцисс, при с =О, ! — Л с' >О получаем дщ1жеиие, описывающее положительную полуось ординат.
Если )ч ( О, то двилке1н1е, описыва1оплее положительную полуось абсцисс, протекает в направлении к и а ч а л у к о о р д и н а т, если же ),1 >О, то движение это имеет противоположное направление — от начала координат. В первом случае точка движется, неогранцченно приближаясь к началу координат, во втором — неограниченно удаляясь н бесконечность.
То же справедливо и относительно движения, описывающего положительную полуось ординат. Если с 1 и с' положительны, то движение точки протекает н первой четверти, пе выходя на ее границу. Дальнейшее, более детальное описание фазовой плоскости проведем отдельно для нескольких случаев — в зависимости от знаков чисел Л,, Ха А) Узел. г1опустих1, что оба числа Х1 и Х, отличны от нуля и имеют один знак, причем 118 линейные эрлвнення с постоянными коэффициентами (гл.а 1'азберем сперва случай, когда л,<о, л,-о. При этих предположениях движение по .положительной полуоси абсцисс направлено к началу координат, точно так же, как движение по положительной полуоси ординат.
Далее, движение по произвольной траектории внутри первого квадранта состоит в асимптотическом приближении точки к началу координат, причем траектория при этом касается оси абсцисс в начале координат. При 1, стремящемся к — со, точка движется так, что абсцисса и ордината ее а! Рис. 23. бесконечно возрастают, но возрастание ордииаты сильнее, чем возрастание абсциссы, т. е. движение идет в направлении оси ординат.
Эта фазовая картина называется устойчпаы.к узлом (рис, 23, а), Если наряду с неравенством (8) выполнены неравенства л,>о, л,>о, то траектории остаются прежними, но движение по ним направлено в противоположном направлении. Мы имеем неустойчивый узел (рис. 23, б). Б) Седло. Допустим, что числа Л, и Ла имеют противоположные знаки.
Для определенности предположим, что л,<о<л,. В этом случае движение по положительной полуоси абсцисс идет к началу координат, а движение по положительной полуоси ординат— ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 119 я ы1 где Ь, и й, — действительные векторы. Векторы Ь, и Ь, линейно независимы, так как в случае линейной зависимости между ними мы имели бы линейную зависимость между Ь и Ь. Итак, векторы й, и й можно принять за базис фазовой плоскости Р уравнения (2). Произвольное действительное решение уравнения (2) можно записать в виде: х=сйе +сйе~, (9) где с — комплексная константа. Пусть ~=у+1ся=се"1 тогда мы имеем: х=Е1Ь, +Уй,. Отобразим аффинно фазовую плоскость Р на вспомогательную плоскость Ра комплексного переменного ь так, чтобы вектор Ь| от начала координат. Траектории, лежащие внутри первого квадранта, напоминают по своему виду гиперболы, а движения по ним происходят в направлении к началу вдоль оси абсцисс, и в направлении от начала вдоль оси ординат, Эта фазовая картина называется седло,и (рис.
24). Рисунки 23, а, б и 24 дают картину траекторий на вспомогательной фазовой плоскости Р". Расположение траекторий на фазовой плоскости Р получается из этого с помощью аффинного пре- с" образования и зависят от положения собственных векторов (см., например, рис. 25 и 26). Рассмотрим теперь случай, когда собственные значения матрицы А комплексны. В этом случае оии комплексно сопряжены и могут быть обозначены через Рис. 24. Х=р.+1ч и 1, =р — 1ч, причем ч =~: О. Собственные векторы матрицы А могут быть выбраны сопряженными, так что их можно обозначить через Ь и Ь.
Положим: 2 ( 1 120 линейные УРАВнения с постОЯнными коэФФициентАми [Гл 2 перешел в единицу, а вектор Ь| — в т'; тогда вектору с' Ь, + РЬ» будет соответствовать комплексное число с=$'+Й~. В силу этого Рис. 25. Рис, 26. отображения фазовая траектория (О) перейдет в фазовую траекторию па плоскости Р™, описываемую уравнением с = се"'. (10) В) Фокус и центр. Перепишем уравнение (10) в полярных координатах, положив с = ре'т, с = де'". Таким образом получаем: Р = сС'Е", Ф = Ит + а; это есть уравнение движения точки в плоскости Ре. При н ~ 0 каждая траектория оказывается лога рифм ичес кой спиралью. Соответствующая картина на плоскости Р называется фокусом.
Если Р(0, то точка при возрастании Т асимптотически приближается к началу координат, описывая логарифмическую спираль. Это — устойчивый фокус (рис. 27, а), Если и . О, то точка уходит от начала координат в бесконечность, и мы имеем неустойчивый фокус (рис. 27, 6). Если число (с равно нулю, то каждая фавовая траекаория, кроме положения равновесия (О, 0), замкнута, и мы имеем так называемый центр (рис. 28).
ФАзОВАя плОскОсть линейной системы $16] Рисунки 27 и 28 дают картину во вспомогательной фазояой плоскости; я плоскости Р картина аффинно искажается (см., например, рис. 29 и 30). Рис. 27. Выше мы рассматривали так называемые невырожденн не с л у ч а и. корни Л, и Ля различны и отличны от нуля. Малое с' Рис. 23, Рис, 29, изменение элементов матрицы ~п.) не меняет в этих предположениях г общего характера понедення фазовых траекторий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
