Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Д О к а з а т е л ь с т в о. В силу предложения А) каждая функция х« представляет собой решение уравнения (3), и потому в силу предложения А) й 6 формула (5) всегда дает решение уравнения (3). А(окажем теперь, что всякое решение уравнения (3) может быть записано в виде (5). Пусть «р(г) — произвольное решение уравнения (3).
В силу теоремы 3 решение «р(1) можно считать заданным на всей бесконечной прямой — Оо(«(оо. Таким образом, решение это определено и при 1=0. Положим «р(0)=ха. Пусть х« = с' Ь «+... + с"Ь„ Тем же начальным условиям «р(0)=Х, удовлетворяет и решение «р(1); таким образом, в силу теоремы единственности (см. теорему 2), х='ф(1). Итак, теорема 10 доказана. В случае, если матрица (а,'), задающая равнение (3), действительна, перед нами встает задача выделе)и«я из всех решений (5) действительных рец1иний. Б) Будем считать, ««то матрица (аф'задаюц1ая уравнение (3), действительна, и выберем Ъ~кторы Ь«,"..., Ь„таким образом, чтобы действительным собственныа«значдниям соответствовали действп гельные векторы, а комплексно софяжеш«ым — комплексно сопряженные.
Тогда в системе решений (4) 'ка ому действительному собственному значению будет соответдйовать ействительное решение, а каждым двум комплексно 'сопряженны . собственным значениям будут соответствовать коа«прексно сопряженнйе, решения. Оказывается, что решение (5) тогда ««' только тогда дейстЬ««тельно, когда константы, стоящие при дейрт.вительных решениях, действительны, а константы, стоящие при к .
плексно сопряженных решениях, сопряжены. Правильн ть предложения Б) непосредственно вытекает нз предложения Г) 7. — разложение вектора Х«по векторам базиса Ьп..., Ь„(векторы Ьь..., Ь„образуют базис в силу предложения В) й 34). Тогда решение х, определяемое формулой (5), очевидно, удовлетворяет начальным условиям х (О) = х . 96 линейные УРАвнения с постоянными кОэФФиЦиентАми 1гл. 2 Общий случай Перейдем теперь к решению системы (1) в общем случае (матрица (а,'.) Может иметь кратные собственные значения). Разбор этого случая опирается на весьма нетривиальную и сложно доказываемую алгебраическую теорему о приведении матрицы к жордзновой форме (см. % 36). В) Запишем систему (1) в векторной форме х=Ах (6) н пусть Ьы ..., Ь» — некоторая серия с собственным значением Х (см.
й 36, А)) относительно матрицы А, так что выполнены соотношения АЬ1 —— )ЬИ АЬ» — — )Ь~+Ьы ..., АЬА=1Ьд+Ь„1. Введем последовательность векторных функций, положив: Оказывзется тогда, что векторные функции ;с, = е, (1) еы, г = 1...,, Ь, (8) являются решениями уршшепия (6)„причем .х,(О)=Ь,. (9) Таким образом, каждой серии из Ь векторов соответствует система из Ь решений. Для доказательствз того, что векторные функции (8) являются решениями уравнения (6), укажем два тождества относительно векторпых функций (7). Тозхдества эти следующие: ег (') ег-1 (1)~ г 1~ ° ° э Ае,(1)=),е,(1)+е,,(т), г=1, ..., Ь.
Перейдем теперь к формулировке и доказательству теоремы, дающей решение системы (1) в общем случае. В этих соотношениях принято е, (1) = О. Оба они проверяются непосредственно путем проведения элементарных вычислений. При помощи этих тождеств непосредственно проверяется, что функции (8) являются решениями уравнения (6). Пействительно, мы имеем: х,(1) = е,(1) е" + Хе„(1) вы=(е,,(1)+),е,(1)) е = = Ае,(1) ем = Ах,(1). 98 линейные РРАВнення с пОстОЯнными кОэФФиЦиентАми [гл, 2 Преобразование переменных Д) В системе уравнений (1), определяемой постоянной матрицей А=(а'.), вместо неизвестных функций 7 х', ...,х" (13) введем новые неизвестные функции у~ ° ° >у (14) положив у = ~~,'з,'.х', г=! (1 б) где з~ — постоянные коэффициенты, образующие невырожденную матрицу О=(з~), В новых неизвестных наша системз запишется в виде: 7=! тельна. Лелается это совершенно так же, как и в случае простых ко['вей характеристического уравнения, Г) Пре оложим, что матрица (а'.), определяюц)вял уравнение (10), / действительн Выберем в этом случае базис 7а< ..., 7а„по способу, предусмотренн у в теореме 30 (см.
$36) дл случая, когда матрица (а.) действительн . При таком выборе ба са среди решений (11), 7 построенных в тео ме 11, будут„с одн стороны, действительныэ, с другой н<е сторош — попарно ком ексно сопряженные. Оказы- вается, что решение (1 тогда и то ко тогда действительно, когда константы, стоящие при йствите ных решениях, действительны, а константы, стоящие при к <п~ <сно сопряженных решениях, ком- плексно сопряжены. Предложение Г) непосре в но вытекает из предложения Г) й 7. В заключение следует метит что изложенные выше результаты настоящего параграфа т но связан с результатами $7, 8. В па- раграфах 7, 8 было ссмотрено од однородное уравнение и-го порядка с постоянп ~и коэффициентам . По методу $4 это урав- нение может быть вписано в виде норма ной системы из и уравне- ний.
Таким обр ом, результаты т[ 7, 8 мож было бы вывести из результатов н тоящего параграфа. При этом оказывается, что харак- тернстичес многсчлен полученной нормальной системы совпадает с характ истическим многочленом исходного уравнения. $14] нормлльнля линзинля однороднля систамл ~ 99 где матрица В=(Ь~) получается из матрицы А по формуле ! В=ЗАЛ '. (17) 5) по 1, получаем Докажем э (18) У") преобразуются х"). Из этого уже ко, доказательство, шения (15) и (18) Таким образом так же, как следует формул данное там, за переписываются и мы имеем та Этим формула Подбирая должным образом матрицу 8, мы можем добиться того, чтобы матрица В получила наиболее простой вид.
Так как преобразование (17) матрицы А в матрицу В есть трансформация матрицей 8, то мы можем достичь того, чтобы матрица В имела жорданову форму (см. ~ Зб, Б)). Е) Если собственные значения Ль ° ° ° в Лл матрицы А системы (1) все различны между собой, то линейное преобразование (1б) можно выбрать так, что система (16) получает вид; р»=Л»у», юг=1,..., и. (19) у =Л»у у =Л»у -а — -ь (20) 4э Если, сверх того, матрица А действительна, так что в последовательности Ль..., Л„, наряду с каждым комплексным собстаенныи значением Л», имеетая комплексно сопряженное ему значение Л,=Л„, а переменные (13) действительны, то преобразование (15) можно выбрать так, чтобы каждому действительному собственному значению Л~„соответствовало действительное переменное у~, а паре комплексно сопряженных собственных значений Л» и Л~ — комплексно сопряженные переменные у» и у' = у».
Таким образом, сопряженным собственным значениям соответствуют сопряженные уравнения 100 лннейные УРАВнениЯ с пОстОЯнными коэФФициентАми 1г». 2 Пусть Л»= р»+ (.„у»= ~»+ 1т,, (21) где 1»», э», Е", т1» — действительные величины. Тогда пару сопряженных между собой уравнений (20) можно заменить парой действительных уравнений «» = 1»»~~ — ч»т~~, ⻠— ~>»(~ + 1»» й~. (22) Производя такую замену для каждой пары комплексно-сопряженных собственных значений, мы сможем заменэть систему действительных переменных (13) новой системой действительных переменных, причем уравнения для них частично имеют вид (19) (для действительных значений Л ), а частично — вид (22) (для пар комплексно-сопряженных собственных значений). Для доказательства предложения Е) в пространстве )А' векторов х=(х', ..., х") поставим матрице А в соответствие линейное преобразование А (см.
3 34) и обозначим через Ь собственный вектор преобразования А с собственным значением Л. Примем теперь за базис в )С векторы Ь1 > ° ° > Ьл> (23) и соответствующие этому базису координаты вектора х обозначим через у', ..., у". Мы получим таким образом линейное преобразование (15). В новой системе координат преобразованию А соответствует матрица В, имеющая, как легко видеть, диагональный вид, причем иа диагонали стоят числа Л„..., Л„. Таким образом, система (16) получает вид (19). Если теперь матрица А действительна, то каждому действительному собственному значению Л~ поставим в соответствие действи1ельный вектор Ь~, а паре комплексно сопряженных собственных значений Л» и Лч=Л» — пару комплексно сопряженных собственных векторов Ь» и Ь, = Ь». Произвольный вектор х в новых коордппатах записывается в ниде: (24) и если он действителен, то коэффициенты при действительных векторах должны быть действительны, а коэффициенты при комплексно сопряженных векторах должны быть комплексно сопряжены (см.
$7, Г)). Таким образом, каждому действительному собственному значению Л~ соответствует действительное переменное у~, а паре комплексно сопряженных собственных значений Л» и Л, = Л» соответствуют комплексно сопряженные величины у» и у' =у . НОРМАЛЬНАЯ ЛИНЕПНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА 101 я ы] Для перехода от пары комплексно-сопряженных уравнений (20) х паре действительных уравнений (22) запишем уравнение (20), подставив в пего значения )а и у из (21); мы получим тогда ~" +Й"=(р +1 )(4'+/]')=Г''-" — ат]'+1(» 1'+ра»]").
Приравнивая отдельно действительные и мнимые части этого соотношения, получаем систему уравнений (22). Итак, предложение Е) доказано. Система уравнений (19) имеет очевидное решение Ф Х~г У =С Е 4', /4=1, ..., и, У =]У вЂ” У ьуь 1а Еаждой другой жордановой клетке матрицы В соответствует ацалшцчпая система уравнений, которую легко решигь. П римеры 1. Применение метода, изложенного в этом параграфе, и решению сисгемы (!) требуег отыскания базиса /ан .
~ /ал векторного пространства, составленного из серий (см. теорему 11). Это' отыскание само по сне представляет некоторую алгебраическую задачу. Покажем, как, пользуясь результатами этого параграфа, можно решить систему(!) методом.неопределенных коэффициентов, неотыскивая базиса, составленного из серий. Пусть Х вЂ” некоторое собственное значение матрицы (ц Этому собственному значению / вообще говоря, соответствует несколько ~ерий, входящих в базис /ть..., /4„; пусть /4 будет наибольшая из длин серий, соответ- но для того, чтобы получить решение исходной системы (3), нужно произвести переход от неизвестных (14) к неизвестным (13), а для этого нужно знать собственные векторы (23) матрицы А (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
