Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

В этом случае пространство 1с трехмерно, а пространство 8 представляет собой плоскость (см. пример 4). Примеры 1. Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение х=г (х) (14) первого порядка, правая часть которого непрерывна и имеет непрерывную производную на всей прямой Р изменения переменного х. Предположим дополнительно, что пули функции 7'(х) или, что то же самое, положения равновесия уравнения (14), не имеют предельных точек. В этом предположении положения равновесия разбивают прямую Р на систему Е интервалов. Каждый интервал(а,Ь) системы Е обладает тем свойством, что на нем функция у"(х) ие обращается в нуль, а каждый конец а или Ь его является либо нулем функции 7'(х), либо равен '+ оо.

Таким образом, система Е состоит из конечного или счетного числа конечных интервалов и не более чем двух м ° ° ° л ° и~Ф а д с Рис. 17. а< ~р(1)(Ь при г,(1< гм Ит Ф(1)=а, Ит Ф(1)=Ь. (! 5) (16) [ г~ Далее, если число а, или соответственно Ь, конечно, то число г, или соответственно г„бесконечно. Таким образом (рис. 17), каждый интервал (а, Ь) представляет собой одну-единственную фазовую траекторию уравнения (14). полубесконечных интервалов или же содержит только один бескопечный в обе стороны интервал ( — оо, +со). Пусть (а, Ь) — некотоРый интеРвал системы Е, ха — точка этого интеРвала и х=Ф(Г), г,<' 1(га,— непродолжаемое решение уравнения (14) с начальными значениями О, х,. Допустим для определенности, что У(х,) >О; тогда оказывается, что $ г51 Автономные системы Докажем соотношения (15), (16). Из предположения г (ха) >О следует, что на интервале (а, Ь) функция г(х) положительна и потому каждая точка этого интервала, описывая фазовую траекторию, двмжется слева направо.

Таким образом, при возрастающем 5 точка м(Ф) может покинуть интервал (а, Ь), лишь перейдя его правый конец Ь. Допустим, что это происходит при некотором г=г„тогда при 1=15 имеем ~(5,)=Ь, а это значит, что две различные траектории х=4 (Ф) и х=Ь пересекаются, что невозможно. Точно так же доказывается, что точка 4~(1) не может покинуть интервал (а, Ь) при убывающем Ю.

Таким образом, соотношение (15) доказано. Допустим теперь, что 1!т~(()=с(Ь, и пусть ф(1) — рещение уравнения (14) с начальными значениями О, с. Так как г (с):>О, то при некотором отрицательном значении (, имеем ф(т„) <, с, а это значит, что две различные траектории ~(() и ф(Г) пересекаются, что невозможно. Таким образом, доказано, что 1нпа(1)=Ь. Точно так же ! а доказывается и соотношение да р (1) = а. Ф- г1 а г Допустим, наконец, что Ь ( оо, и ' ° Ь) покажем, что тогда г, = + ос. Допустим противоположное, именно, .го г,~ со. а Ь Определим тогда функцию у(!), положив у(!)=4 (!) при г,(г< гя и т(г)=Ь ири Рис.

!8. г ~ г,. Очевидно, что функция;((!) непрерывна и удовлетворяет уравненшо (14), а это невозможно, так как тогда пересекаются две разли щые траектории х=у(г) и х=Ь. Полученное противоречие показывает, что г,=-~-со. Точно так же доказывается, что при а: — со имеем г,= — со. Пусть Ь вЂ” произвольное положение равповесия уравнения (14), а (а, Ь) и (Ь, с) — два интервала системы Е, примыкающие к нему (соответственно слева и справа). Каждый из интервалов (а, Ь), (Ь, с) представляет собой одну траекторию. Если обе точки, описывающие траектории (а, Ь) и (Ь, с), приближаются (при возрастании г) к положению равновесия Ь, то положение равновесия Ь называется устойчивым (рис. 18, а).

Если обе точки, описывающие траектории (а, Ь) и (Ь, с), удаляются от точки Ь, то положение равновесия Ь называется неустойчивым (рис 18, б). Если по одной из траекторий точка приближается, а но другой удаляется, то положение равновесия Ь называется полуустойчнвам (рис. 18, а). Для того чтобы положение равновесия Ь было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы функция г(х) была положительна на интервале (а, Ь) и отрицательна на интервале (Ь, с). Для того чтобы положение равновесия Ь было неустойчивым, необходимо и достаточно, чтобы функция 112 линейные УРАВнениЯ с постоянными коэФФициентлми 1гл 2 7'(х) была отрицательна на интервале (а, Ь) и положительна на интервале (Ь, с). 1(ля того чтобы положение равновесия Ь было полу- устойчиво, необходимо и достаточно„чтобы функция,Г(х) имела один и тот же знак на обоих интервалах (а, Ь) и (Ь, с).

Допустим, что 7'(Ь) ф 0; тогда знак функции 7"(х) вблизи точки Ь совпадает со знаком величины 7(Ь)(х — Ь), Отсюда следует, что при 7'(Ь)( О положение равновесия Ь уравнения (14) устойчиво, а при 7(Ь) "> 0 оно неустойчиво. 2. рассмотрим уравнение 2 =у (х), (17) где 7 (х) есть периодическая функция с непрерывной первой производной. Пля определенности будем считать, что период ее равен 2к.

Все сказанное в примере 1 относительно уравнения (14) Г л л л л Ф л Ф 1 ! ! ! л 1 Ф с Ю л Рис, !9. Рис. 20. остается правильным и для уравнения (!7), так как уравнение (17) является частным случаем уравнения (14). Однако, для того чтобы учесть специфику уравнения (17) (периодичность функции 7'(х)) разумно считать, что фазовым пространством уравнения (17) является не прямая, а о к р у ж н о с т ь К радиуса единица, на которой выбрано некоторое начало отсчета 0 и направление обхода (например, против часовой стрелки).

Каждому числу х поставим в соответствие точку,' окружности К, отложив от начала отсчета против часовой стрелки дугу длины х (рис. 19). При этом всем числам х+2Ья (Ь вЂ” целое число) будет соответствовать на окружности одна и та же точка $. Так как 7'(х+2Ья)=~(х), то можно положить 7 (!)=г (х), и функция 7" оказывается заданной на окружности К. Уравнение (17) задает теперь движение точки по окружности К. Если х(г) есть некоторое решение уравнения (171, то соответствующая числу х(г) точка 6 (г) движется па окружности К.

Если а — такая точка на окружности К, что Д(х)=0, |о существует такое решение х(г) уравнения (17), что 1(Г) = я, и х $!61 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ есть положение равновесия уравнения (17). Допустим для простоты, что положения равновесия уравнения (17) на окружности К не имеют предельных точек; тогда их имеется лишь конечное число или нет вовсе (рис.

20). Положения равновесия разбивают окружность на конечную систему Е интервалов. Если положенип равновесия вовсе нет, то системз Е содержит лишь один яинтервал» (окружность). Если имеется лишь одно положение равновесия а, то система 1' также содержит лишь один интервал, состояший из всех точек окружности К за исключением точки а, В первом случае интервал вовсе нз имеет концов, во втором оба его конца совпадают.

Пусть 1 — некоторый интервал системы Е ., и х (1) — некоторое решение уравнения (17) с начальными значениями О, х„где с» есть точка интервала 1. Решение х(1) всегда определено для всех значениИ с, и точка с(1) принадлежит интервалу !. Если интервал 1 имеет концы (один или два), то точка пробегает интервал ! в определенном направлении, причем каждая точка интервала ! проходится решением $(1) один раз. Если интервал 1 совпадает со всей окружностью, то, отправившись из положения ~„точка через некоторое время Т вернется в нее, так что с(О)=с(Т). В этом случае с(1) периодически зависит от числа 1 с периодом Т. Соответствусошее .движению с(1) числовое решение х(1) уравнения (17) удовлетворяет условию Х(1+ Т) = Х(т)-+- 2сс. Из этого примера видно, что фазовым пространством системы уравнений не всегда целесообразно считать эвклидово координатное пространство, а иногда приходится считать более сложное геометрическое образование.

Ниже, в примере 3, мы столкнемся с этим обстоятельством в более сложной обстановке, чем в этом примере, 3. Рассмотрим систему уравнений хс =~с (х', х'), 1= 1, 2, (18) где функции 7'(х', хя) являются периодическими относительно обоих аргументов с периодами 2гс Т (х'+2Ьс, х'+2Ьс)=Т'(х',хс), 1=1, 2. Как всегда, будем предполагать, что функции ~'(х', х') непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка, Ввиду периодичности функций Т'(х', х') разумно считать, что фазовым пространством системы (18) является не плоскость, а более сложное геометрическое образование, именно, поверхность тора или, как говорят, тор (рис.

21). Опишем эту поверхность. В трехмерном эвклидовом пространстве с декартовыми координатами х, у, г выберем в плоскости х, г окружность К радиуса единица с центром в точке (2, О, 0), Примем на этой окружности зз 114 линейные УРАВнениЯ с постОЯнными коэФФипиентАми 1гл. я начало отсчета точку с координатами (В, О, 0), Тогда каждому числу х' будет поставлена в соответствие точка с1 окружности К (см. пример 2).

Будем теперь вращать плоскость (х, г) в пространстве (х,у, а) вокруг оси г. Описываемая при этом вращении окружностью К поверхность Р представляет собой тор. Пусть $' — некоторая точка Рис, 21. скружности К. В результате поворота плоскости (х, г) на угол х", исчисляемый в радианах, точка Р перейдет в некоторую точку р тора Р (рис. 21). Если сделать поворот не на угол х', а на угол х'+ 2йт, то мы придем к той же точке р тора Р. Таким образом, точка р тора Р однозначно определяется двумя циклическими координатаит Р, 1Я, и каждой паре циклических координат 1', ча соответствует на торе одна вполне определенная точка.

й1ы видим, таким образом, что функции у'(х', хя) можно считать заданными не на плоскости, а на поверхности тора Р: у'(Р, Ея)=~'(х', х'). Пусть теперь х'(1), х'(1) — некоторое решение системы (18). Ставя в соответствие каждому из чисел х' (1) и х'(1) циклические координатга Р(1) и Р(1), мы получаем точку Е'(1), Р(1) тора Р.

Таким образом, каждое решение х'(1), х'(1) системы (18) может быть изображено движением точки по тору, причем закон движения в каждый момент времени определяется той точкой $'(1), ся(1) тора, через которую траектория в этот момент проходит. Это объясняется тем, что функции ~'(Р, 1') заданы на торе, Таким образом, весь тор Р оказывается покрытым траекториями, каждые две из которых либо не пересекаются, либо совпадают.

В частности, если траектория пересекает самое себя, то оиа либо замкнута, либо является положением равновесия. Изображение 'фазовых траекторий системы (18) ие на плоскости, а на поверхности тора отражает специфическое свойство системы (18) (периодичность функций ~') и удобно цри ее изучении, 3 !61 вязовая плоскость линейном системы 4. Каждое решение автономной системы уравнений х= — ву, у= вх записывается в виде: х = г сов (а1+ я), у = г а1п (М+ я), (10) где г и а — константы, Система уравнений (1О) определяет в трехмерном пространстве Я переменных 1, х, у винтовую спираль при г ф 0 и прямую линию (именно, ось 1) при г=О. В фазовой плоскости Я переменных х и у та же система уравнений (19) определяет окружность при г 1г'.

Характеристики

Список файлов книги