Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 17
Текст из файла (страница 17)
зуем метод контурных токов. Применяя первый закон Кирхгофа к узлу Ь, Ю получаем 1,л(1)+ 1,л(1)=0, или, иначе, 1,аЯ=1а,(1). Так обстоит дело всегда, когда к одному узлу примыкают ровно даа двухполюсника. Таким образом, мы имеем: 88 тгинепньгв мяавн.ния с постоянными коэФьицивитями !тл. я ция 2(р)=1р+Й+ —. является операционным сопроти- 1 Ср Ср в л е н и е и, а обратная еи величина О(р) = „,—, является операционной проводимостью. Ь с Если положить (г(~) = О, то это будет равносильно предположению, что С ,л, г Сл Рис. 13, Рис. 12. в нашеи цепи отсутствует активныи двухполюсник ага, и цепь состоит из трех пассивных двухполгосников аЬ, Ьс, сЫ, причем узлы а н г1 совпадают (рнс.
13). Уравнение, описывающее работу этой пас- снвноИ электрическоИ цепи 8", имеет вид: (19) Как уже отмечалось ргнп,ше, в пасснвноИ электрической цепи электрические нвггсния сами по себе не возникают, и это отражается в том, что частным решением уравнения (19) является функция !(т)=0. Можно, однако, рассмотреть работу электрической цепи Я~, считая, что ток в пеп уже имеется, и выяснить, как этот ток будет изменяться со времснегг. Пусть Л, и Л,— корни многочлена 1.р' — ' йу — —. г 1 С' (20) Сг =— Так как числа 1, К, С больше нуля (см. А)), то действительные части корней Л, и Л, отрицательны, и потому электрический процесс в цепи 8" затухает со временем (см.
9 9,А)). Затухание это ыогггет проходить, однако, различными способами; если корни Л, и Л, комплексны, то всякое ненулевое решение уравнения (19) имеет колебательныи характер (см. пример 3 9 7); если же корни Л, и Л, деяствгпельны, то затухание происходит апериодически, именно всякое решение уравнения (19) становится, начиная с некоторого момгнта времени, монотонным. Вопрос о том, будут ли корнл Л, и 1,, комп:гснсны нл;г депствктвльны, Решается тем, какой знак имеет число 90 линеЙные уРАВнения с постоянными коэФФипиентАми 1гл. а Из этой формулы видно„что при заданной амплитуде г источника напряжения амплитуда г силы тона достигает своего максимума при 1 собственной частоте ье = ье, = . контура 8.
При этой частоте Р еС г амплитуды г и г связаны соотношением а = —, т. е. контур при этой частоте ведет себя так, как будто в нен имеется лишь сопротивление. Для остальных частот амплитуда г тока имеет г меньшее значение чем --. Это явление называется р е з о н а н с о м У /-> ° (ср. й 12, пример). Колебательный контур 1., К, С резонирует 1 на свою собственную частоту— у"~с ' 2 (Трансформатор). Трансформатор состоит из двух обмоток, первичной н это р и ч и ой, помещенных на одной катушке.
К первичной обмотке подключается источник переменного напряжения, ко вторичной — нагрузка, например внешнее сопротивление. е'г а, — ~ ае с л Ь, Ье Р се Рис. 15. Каждая обмотка имеет индуктивность и сопротивление (внутреннее). Ь(ежду обмотками имеется взаимоиндукцня. Таким образом, трансформатор можно рассматривать как электрическуке цепь, состоящую из двух раздельных копауров, связанных индуктивно. Первый контур состоит из трех двухполюсников: а,Ьь — индуктивность Е.б Ь,с,— внутреннее сопротивление К,; а,с, — источник напряжения У~, = се(1).
Второй контур состоит также иэ трех двухполюсников: аяЬя — индуктивность Е„; Ь,с, — внутреннее сопротивление )х;, сяа, — сопротивление нагрузки ех. Кроме того, имеется взаимоиндукпия М, ь а ь = = М (рис. 15). В силу 1-го закона Кирхгофа имеем: Г~ ь '= !ь = ~ а =~И ~а ь — 1ь~е~= ~ма =)я п~ь~ ' ~с~ — г~а~— Таким образом, мы имеем два контурных тока 1н 1я,. Применяя второй закон Кирхгофа, получаем: ~.,р1, Мр!а -+ ~,~, и(1) = О, ~.р1,-;-мр~,+-к,~,+ ю, =о, ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ $ !31 или иначе (~,р+ Д,) 1л+ 1Ир1 = с1(1), Мр1,+(1.,р+В,+ В 1,=0. Детерминант 0 (р) этой системы имеет вид; 0(р)=(1- 1- — 1иа)р'+(1-Ля+1-Я+ 1- Юр+й Яь+Р В силу предложения Б) й 9 этот многочлен устойчив (так как 1, 1.я— — М')0).
Рассмотрим работу трансформатора в случае, когда напряжение 11(1) изменяется гармонически, и будем искать установившееся решение по способу $12, Б). Положим: У(1)=и~е' ', где и, — действительное положительное число(амплитуда напряжения, поданного на первичную обмотку). Неизвестные функции 1„1, будем искать в форме а епм ! — 1 1я = еяе пм Г1.ь Лет= — р. ="н,. ~/ 1 Таким образом, амплитуда из=Я~а„! падения напряжения на нагрузке 1с оказывается равной — 1в ия= 1г~ ~/1 ь 1 величина 1/ ~' называется коэффициентом тданефорлгацли. Таким 1., образом, если 1.а ~ 1.п то мы имеем трансформатор, повышающий напряжение ) 1, при 1.я <,, 1., мы получаем трансформатор, понижающий напряжение иа и, где е„ея — комплексные амплитуды токов. Наибольший теоретический интерес представляет идеальный тран- сформатор, т.
е. такой трансформатор, в котором величины Яп Дя и 1.,1,,— М' малы. Пренебрегая этими величинами в уравнениях для определения величин е, и е„ получаем: 1.~ ° 1ше, + М ° 1ше~ = и и М Ь е, +(1.,-йо+®е„=О, Так как М 3)~Ь,~,„то, вычитая нз второго уравнения первое, умпо- жешше на ~г Л, мы получим: Г~„, ~1 1-, 92 линвиныв УэАзнвния с постоянными коэээицивнтлми 1гж» 3 (Элеггигрпчетий фильтр). Рассмотрим электрическую цепь с четырьмя узлами а, Ь, с, И и пятью двухполюсниками (рис. 16): Рис. !б. аЬ вЂ” индуктивность Е, Ьс — индуктивность той же величины Е, Ы вЂ” емкость С, аИ вЂ” источник напряжения и„э(1)= и(1), сЬ вЂ” сопротивление нагрузки Я.
Положим: 1»а=1э 1а»=1а. Тогда в силу 1-го закона Кирхгофа имеелп 1а» = 1~ — 1э 1»е = 1а На основании 2-го закона Кирхгофа получаем: и.а+ и„+ и„+ и,. = о, и„+ и,„+ и„, = о, или Ер1 + Ер1 + ~1 — и(1) = О, ЕР1., + К1, + — (1ч — 1,) = О. ! Умножив второе уравнение на р, получим следующую систему; 1-р1 + (1-р + В 11 = и(г) 1+ 1р+йр+ 1, 1 / 11 11етермннант этой системы имеет вид: + ' + С + С Согласно теореме 6 многочлен 0(р) устойчив.
Будем теперь считать, что и= Ье'"', где Ь вЂ” действительная амплитуда напряжения (см. 4 ы1 ногмлльнля лннвинля одиогоднля система $12). Неизвестные функции 1, и 1, будем искать в форме ы ~ и~1 э т — авю У 1~1 ф где а, и ая — комплексные амплитуды токов, т. е. ограничимся отысканием установившегося режима.
Поставим задачу 'об определении падения напряжения . Е/,„= К!я иа нагрузке. Мы имеем: Ь С вЂ” — 1Яш' + и« вЂ” — ~.«оР откуда находим амплитуду а=(а,~К напряжения У„;. , а При малых значениях частоты в мы имеем: -ж 1; иначе говоря, напряжения малой частоты легко передаются через фильтр, почти не меняя амплитуды. При больших значениях частоты мы имеем: а Д Ь СЕ так что напри;кения высокой частоты почти не проходят, «фильтруются», ф 14.
Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами В этом параграфе решается система уравнений л х'=~~„' а'хл1 1=1, ..., и, l 'С постоянными коэффициентами. Я~та система может быть решена методом исключения (см. ф 11 и„в частности, пример 2 в Э 11). (Здесь она решается путем приведения матрицы А =(и'.) к мпэрдано. вой форме. В случае, когда все собствейиые зиачейия матрицы Л различны, возможность приведения ее к жордаиовой, т. е.
в данном 'случае диагональной, форме представляет собой весьма элементарйый алгебраический факт. В общем случае возможность приведения матрицы А к жордаиовой форме относится к наиболее сложным резуль татам курса линейной алгебры. В дальнейшем в этой книге ясполы зуются лишь те результаты настоящего параграфа> которые опира- 04 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1тл. а ются на приведение матрицы~А к диагональному лгпи в случае 'различных ее собствен х гачений результаты, использующие возможность прйведения матрицы А к жордановой форме в общем случае (предложения В), Г), Ж)), в дальнейшем не применяготся и при чтении могут быть пропущены.
Обычно приведение матрицы А к жордановой форме для решения системы (1) используется путем линейного преобразования неизвестных функций х', ..., х". Этот способ изложен в конце настоящего параграфа под заголовком чПреобразование переменных». Другой способ, по существу также опирающийся на приведение матрицы А к жордановой форме„изложен в первой части параграфа. В этом параграфе мы не будем делать различия между матрицей А и соответствующим ей преобразованием А в пространстве векторов х=(х',..., х"), так как базис меняться не будет. Исключение составляет лишь доказательство предложения Е). Случай простых корней характеристического уравнения А) Сггстема дифференциальных уравнений (1) в векторной форме переписывается в виде: Здесь А=(а,), а вместо системы х',..., х" неизвестных функций введен неизвестный вектор х=(х',..., х''д под лпопзводной х вектора х понимается вектор (Ег,..., .Е").
Если Ь есть собственный вектор матрицы А с собственным значением Х т. е. если АЬ=ЛЬ (сы. ~~ 34, Б)), то векторная функция х, определяемая соотношением х = Ье"', является решением уравнения (2). Последнее утверждение проверяется путем подстановки х=Ье" в соотношение (2). Теорема 10. Пуспгь х= Ах — и пгспн сггспгелга дггфференцггальных уравнений (см. А)), что со6 сне:;нее зниченин Лг,..., Л„матрицы А попарно различны, и пусть Ь„..., Ь„ $!«1 НОРМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА 95 — соответству«ощпе собственные векторы втой матрицы, Положимг х; = Ь,е" ', 1= 1,..., л. (4) Тогда векторная функция Х= с'Х, +...+ с"х„, (5) где с«,..., с" — константы, является решениелг уравнения (3), и всякое решение уравнения (3) задается втой формулой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
