Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(24)). Таким об азом, предложещ]й Е) равносильно теореме.-10.. ля решения системы (1) в общем случае можно использовать приведение матрицы А к жордановой форме; получаемое здесь предложение Ж) равносильно теореме 11. Ж) Г1усть матр Выберем преобразованиее (1б) тьч имела жордапову форму (см. ф 36). П ений матрицы А и /4 — размер одно ы В с собственным значением 1.. Б нимает первые /г строк. Соответству нцй имеет вид: 102 линепныв УРАВнения с постоянными коэФФициентами !Гл.
я ствующих собственному значению Л. В силу теоремы 11 каждое из решений, соответствующих собственному значению Л, может быть за. писано в виде: х' = Е' (1) е ', 1= 1,, „л, (») где ~'(1) есть многочлен степени ~й — 1. Таким образом, подставляя в систему (1) решение в виде (25) и считая, что коэффициенты многочленов т ' (1), 1= 1... и. суть неизвестные константы, мы, пользуясь методом неопределенных коэффициентов, найдем все решения системы (1), соответствующие собственному значению Л. При таком способе решения системы (1) пе нужно знать серий, соответствуюпгих собственному значению Л, а нужно знать лишь длины этих серий.
Отыскание длин представляет собой более простую алгебраическую задачу, чем приведение к жордановой форме; задача эта решается теорией ележентарных делпгиелей матриц, относящейся к линейной алгебре. Теория элементарных делителей нигде в этой книге не используется. 2. Покажем теперь, как решить систему (1) методом исключения, изложенным в 2 11. Для применения метода исключения запишем систему (1) в виде: где Е (р)= а.— р3'. Е1етермииапт В (р) матрицы (Е'(р)) в данном случае представляет со. бой характеристический многочлен матрицы (а'.).
Пусть Л вЂ” некотоl рый корень многочлена Е1(р), или, что то же, собственное значение матрицы (аг). Кра'гность корня Л обозначим здесь через Е. В силу предложения В) 2 !1 всякое решение системы (1), соответствуюц!ее корню Л, следует искать в виде: х'=уг(1)е~, 1=!... и, где степень многочлена дт(1) не превосходит числа 1 — 1.
Если срав. нить метод, излагаемый в этом примере, с методом, данным в примере 1, то мы видим, что вся разница заключается в определении максимальной степени многочленов. Метод примера 1 дает более точное определение степени многочлепов, так как число К вообще говоря, меньше числа 1. В самом деле, сумма всех длин серий, соответствующих собственному значению Л, равна 1. Таким образом, равенсгво и=1 может иметь место лишь в случае, ко~да есть только одна серия, соответствующая собственному значеншо Л.
$ !51 Автономные оистсмы ф 16. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства Здесь будет дана геометрическая интерпретация автономной системы уравнений в виде фазового пространства этой системы. Эта интерпретация существенно отличается от геометрической интерпретации системы уравнений, указанной в Я 1, 3 и правильнее должна называться не геометрической, а кипематической, так как в этой внгерпретации каждому решению системы уравнений ставится в соответствие не кривая в пространстве, а движение точки по кривой. Кинематическая интерпретация (фазовое пространство) в некоторых отношениях более выразительна, чем геометрическая (система интегральных кривых).
Автономные системы Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если в нее явно не входит независимое переменное (или, как мы будем говорить, время) 1. Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый системой уравнений не меняется с течением времени, как это обычно и бывает с физи-' ческими законами. Очень легко доказывается„что если х' = у' (1), 1 = 1,..., н, есть решение некоторой звтономной системы уравнений, то х' = р', (1) = <р' (1+ с), 1 = 1,..., и, где с — константа, также есть решение той же автономной системы уравнений. Проведем доказательство этого факта на примере и о рм а л ь ной автономной системы уравнений.
А) Пусть х' =У'(х',..., х"), 1 = 1,..., и, — автономная нормальная система уравнений порядка и и х =У(х) — векторная ее запись. Автономность системы (1) заключается в том, что функции ~'(х',...,х"), 1 =1,...,л, являются функциями переменных х',...,х" и не зависят от времени 1. Относительно функций ~' (х',..., х") мы будем предполагать, что они определены на некотором открытом множестве Ь пространства размерности и, где координатами точки являются переменные х',...,х".
Мы будем предполагать, что функции ~'(х',...,х") и их частные производные первого порядка непрерывны на множестве Ь. Оказывается, что если х'=ф'(1), 1=1, ..., и ('2) 104 линвпныв хрлвнвния с постоянными коээфнцивнтлми 1г'.а — решение уравнения (1), то х' = ~',' (г) = »р' (1+ с), 1= 1, ..., л, (3) также есть решение системы (1). Из правила дифференцирования сложной функции вытекает соотношение ф','(1)=ф'(1+с), 1=1, ..., л. (4) Действительно, 'К(~)= », 'р» (Г)=д~ 9 (г+с)=л(~+ ) ~ (г+ с)" =ф'(» + с) ° 1= ф' (Ю+ с). Докажем теперь, что (3) есть решение системы (1). Так как (2) есть решение, то мы имеем тождества ф'(1)=~'(<р'(1) ..., ~р" (Г)), 1=1, ..., и.
Заменяя в этих тождествах г через г+с, мы получаем: ф'(Г+ с)=~" (~Р((+с), ..., ф" (1+с)), 1=1, ..., л. Из этого в силу (4) и (3) вытекает ф',' (1) = ф' (Ф + с) =7' (»р» (г + с), ..., »р" (1 + с)) = 7 ' (»р„' (Г), ..., »р", (г)), Перейдем теперь к кинематической интерпретации решений системы (1). Формально речь будет идти об интерпретации в л-мерном пространстве, но для наглядности разумно представлять себе случай плоскости (и = 2). Б) Каждому решению х'=7'(г), 1=1, ..., л (5) автономной системы (1) поставим в соответствие движение точки в л-мерном пространстве, задаваемое уравнениями (5), где х', ..., х"— координаты точки в пространстве, а г — время.
В процессе своего движения точка описывает некоторую кривую — траектории движения. Если сопоставить решению (5) не процесс движения, а траекторию движения точки, то мы получим менее полное представление о решении, поэтому желательно на траектории указать хотя бы направление движения, Оказывается, что если наряду с решением (5) имеется другое решение х' = ф' (1), 1= 1, ..., л, (6) то траектории, соответствующие этим решениям, либо не пересекаются в пространстве, либо совпадают. Именно, если траектории имеют хотя бы одну обшую точку, т.
е. »р' А) = Ф' (1»), 1= 1 " ° л, (7) 106 'АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ $ гз1 то ф'(1)=ф'(1+с), где с=1, — Ея Последние равенства показывают, что траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, но первое решение описывает ту же самую траекторию, что и второе, с «запозданием» на время с. Если точка, соответсгвующая первому решению, достигла некоторого положения на траектории в момент времени 1+с, то точка, соответствующая второму решени1о, уже побывала в этом положении в момент времени 1.
Для того чтобы вывести из равенства (7) тождество (8), рассмотрим наряду с решением (5) решение ~~ (О = 'у (1+ с) (см. А)). Из равенства (7) при с=1, — 8я следует равенство Ч„йт=р[(ля+с)=Ей(йъ)=%1(1я), 1=1, "., и Таким образом, решения (6) и (9) системы (1) имеют общие начальные условия (а именно, значения в момент времени Г,) и потому в силу теоремы единственности совпадают, так что мы имеем: ('(1)=1."„(Г)=~'(1+с), 1=1, ...,и. Положения равновесия и замкнутые траектории Поставим вопрос 'о том, может ли траектория, изображающая решение системы, пересекать себя.
В) Пусть х' = ср'(1), ! = 1, ..., и (1О) — некоторое решение системы (1). Лопустим, что имеет место ра- венство <~~ (1 ) — ~уа (т ) (11) где числа Ф, и 1„конечно, принадлежат интервалу г,<'1(г, определения решения (10). Оказывается, что при этом условии решение (1О) может быть продолжено на весь бесконечный интервал — со<" (Е(+ со. Поэтому мы сразу будем считать, что само решение (10) определено на этом интервале — со<" 1< +оо. Оказывается далее, что возможны два следующих взаимно исключающих случая.
!) Для всех значений 1 имеет место равенство ~~ (1) = а, 1 = 1,..., и, где (а',..., а") есть точка множества Ь, не зависящая от 1, Таким образом, в этом случае точка (у'(1),..., ~" (1)) в действительности не движется при изменении 1, а стоит на месте.,Само решение (1О) !06 линейныв УРАВнениЯ с постоЯнными коэФФиниентАми 1Гл. я н точка (а',..., а") в этом случае называются положением равновесии системы (1). 2) Существует такое положительное число т, что при произвольном 8 имеют место равенства у'(!+ Т)=р'(г), 1=1„... и, но при ~~, — тя~ Т хотя бы для одного 1= 1, .
„п имеет место неравенство ~'( ) эс: Чр'( ) В этом случае решение (10) называется периодическим с периодом Т, а траектория, описываемая решением (10), называется замкнутой траекторией, или циклом. Докажем предложение В). Как было отмечено в предложении Б), из равенства (11) следуют тождества :р'(!+с)=у'(1), 1=1, ..., и, с=1,— 1,. (12) !1ри этом функции Ф'(г+с), ..., Ф" (!+с) также представляют решение системы (!) (см.
А)). Это решение и первоначальное решение (1О) совпадают там, где они оба определены (теорема 2). Если обьединить этн два решения, мы получим новое решение с ббльшнм интервалом существования, чем исходное, а именно, с интервалом г, — с ( (г(гя при с~0 и г,(г(г,— с прн с(0. Так как 1, и равноправны, то знак величины с можно изменить, так что решение можно продолжить на интервал г, — ~ с~(т(г,+~ с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
