Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Так как, кроме гого, для продолженного решения равенство (11) по-прежнему выполнено, то к нему опять можно применить указанный способ расширения интервала существования, и потому мы можем продолжить решение (10) на всю бесконечную прямую с сохранением для него тождества (12). Каждое число с, для которого выполнено тождество (12), будем называть периодом решения (10); множество всех периодов решения (10) обозначим через Р. Множество Р есть некоторое множество чисел.

Установим некоторые его свойства Заменяя в соотношении (12) через г — с, получаем р'(г)=р'(! — с). Таким образом, если с есть период„то — с также есть период. Лопустим, что с, и с,— периоды, т. е. ~р (г+с,)=~р (!), ЯР'(!+с,)=Р'(!), 1=1, ..., и. Тогда ~р'((г+ ся)+ с,)= ср'(!+ с,) =~р'(Г), ! =1... и.

Таким образом, если с, и с, суть периоды, то с, + с, также есть период. допустим, что сн см ..., с, ... есть последовательность 1О7 $161 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ периодов, сходящаяся к некоторому числу с,, "тогда мы имеем ~'~1+с )=р'~1), 1=1, ..., и, Так как функции ~1(1) непрерывны, то при гм — эх мы получаем: 11' 11+ со)= Т (г) т. е. мы видим, что са также есть период, так что множество Р замкнуто.

Так как число г в равенстве (12) отлично от нуля 1г1 -~=1,), то множество Р содержит числа, отличные от нуля. Из установленных свойств множества Р легко выводится, что для пего есть только две возможности: 1) множество Р совпадает с множеством всех действительных чисел; 2) в множестве Р имеется минимальное положительное число 7; и тогда Р состоит из всех целочисленных кратных числа Т. Докажем, что действительно име1отся только эти две возможности. Так как множество Р вместе с каждым числом с содержит число — с и так как в Р имеются числа, отличные от нуля, то в Р имеются положительные числа.

Допустим, что в множестве Р нет наименьшего положительного числз, т. е. что для произвольного положительного числа а имеется положительный период с (а. Из доказанных свойств множества Р следует (так как с есть период), что все числа п1с, где гм — целое„ также являются периодами. Так как с <, а, то для произвольного действительного числа с„можно подобрать такое целое в1, что ~с,— те~<. а. Таким образом, произвольное число с, является предельным для множества Р, и потому, ввиду замкнутости множества Р, вто множество совпадает с множеством всех действительных чисел.

Допустим теперь, что Г не есть множесгво всех действительных чисел. В силу доказанного, в Р имеется тогда наименьшее положительное число Т. Пусть с — произвольный период. Можно то~да выбрать такое целое число лп что !с — т Т)< Т, Допустим, что с -е и Т; тогда !г — и Т1 есть отличный от нуля период, а зто невозможно, так как 1с — т Т~< Т, что противоречит минимальности числа 7; Итак, доказано, что каждое число с из Р может быть записано в виде с = и Т, где т — целое число.

Теперь уже легко проверить, что если Р есть множество всех действительных чисел, то имеет место случай !), а если Г не есть множество действительных чисел, то имеет ашсто случай 2), Таким образом, предложение В) доказано. Кратко предложение В) можно сформулировать, сказав, что имеется три сорта траекторий: 1) положение равновесия; 2) периодические траектории (циклы); 3) траектории без самопересечений. Естественно считать, что последний случай является «наиболее общим».

Из теоремы 2 следует, чго через кажду1о точку области Л задания системы (1) проходит траектория, изображающая решение системьь !08 ЛИИЕЙНЫВ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл 2 Таким образом, вся область Ь заполнена траекториями, причем, согласно Б), траектории эти попарно не пересекаются. Среди всех траекторий особо выделяются самопересекающиеся, которые являются либо положениями равновесия, либо циклами. Зги два сорта траекторий име!от весьма важное значение. Такова кинематическая интерпретация решений автономной системы уравнений.

Сама система уравнений также допускает геометрическу!о интерпретацию. Фазовые пространства хм л -! 1=1> ..., и; 1=!Ф Пространство размерности и, в котором интерпретируются решения автономной системы (1) в виде траекторий и сама автономная сис1ема (!) в виде векторного поля, называется фазовим прост- Г) Поскольку автономная система уравнений" (1) определена на открытом множестве Ь, каждой точке (х,', ..., х",) множества Ь поставлена в соответствие последовательность из п чисел, именно последовательност!и г! (х~ .и) Тл (х~ хп) Эти числа можно рассматривать как компоненты вектора )'(х,'...,, х"„), проведенного в и-мерном пространстве и выходящего из точки (х,', ..., х",).

Таким образом, автономной системе ставится в соответствие геометрический образ — в е к т о р н о е п о л е, заданное на открытом множестве Ь. В каждой точке (х,', „, х",) множества Ь определен вектор г(х!, ..., х",), выходящий из этой точки. Связь между геометрической интерпретацией решений и геометрической интерпретацией самой системы уравнений заключается в следующем: Пусть (х,', ..., х",,) — произвольная точка множества сУ. В силу геометрической интерпретации системы уравнений этой точке поставлен в соответствие выходящий из пее вектор у(х„'..... х",), г(алее, в силу теоремы 2 сушествует решение х'=Ф!(Г) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям 7' (гО) = х', 1 = 1,, и В силу кинематической интерпретации решению х'=Ф (!)соответствует в пространстве движение точки, описывающее траектори!о, причем в момент времени ! = Т„ движушаяся точка проходит через положение (х„', ..., х",) в пространстве. Оказывается, что векторная скорость точки, описывающей решение х!=~!(!), в момент ее прохождения через положение (х,', ..., х,") совпадает с вектором ,у(х,', ..., х,').

Именно это совпадение и выражается системой уравнений (1) прн 109 % г51 Автономныв системы раггством системы (1). Траектории называются фазовылггг ггграеггторилми, векторы у(х,', ..., х'„') называются фазовыми скорости.гггг. Связь между обеими интерпретациями заключается в том, что скорость движения точки по траектории в каждый момент времени совпадает с фазовой скоростью, заданной в том месте пространства, где в этот момент находится движущаяся точка. Рассмотрим теперь положения равновесия с точки зрения фазовых скоростей.

Д) Для того чтобы точка (а', ..., а") множества Ь была положением равновесия системы (1), т. е. чтобы имелось решение х'=юг(Ф) системы, для которого гр'(1) = аг, 1 = 1, ..., и, (13) необходимо и достаточно, чтобы фазовая скорость у(а', ..., агг) в точке (а', ..., а") была равна нулю. Таким образом, для отыскания всех положений равновесия системы (1) нужно решить систему уравнений ~г (а'..... ал) = О, 1 = 1, ..., и.

Эта система представляет собой не систему дифференциальных уравнений, а, как говорят, систему к онечн ы х уравнений (производные в нее не входят). Для доказательства утверждения Д) допустим, что (а',, „, а") есть положение равновесия, т. е. что имеется решение хг = уг (1), для которого выполнены соотногнения (13), и подставим в систему (1) это решение, Так как производная постоянной равна нулю, то подстановка дает У' (а'...,, а") = — грг (т) = — аг = О.

я гг г ггг ггг Таким образом, вектору(а', ..., а") фазовой скорости действительно обращается в пуль в точке а', ..., а". Допустим, что, обрагио, вектор у (а'... „а") фазовой скорости обращается в нуль в точке (а', ..., а".), т. е. что Уг(а', ..., а")=О, г=1, ..., и, и покажем, что в этом случае равенства (13) определяют решение системы (1). Подстановка дает ф (г) =.г г (а', ..., а"), ! = 1... и; равенства эти выполнены, так как слева стоит производная константы, а справа — нуль. Е) Геометрическая интерпретация решения (2) системы уравнений (1), указанная в й 3, ставит в соответствие этому решению кривую К в (и + 1)-мерном пространстве переменных 1, х', ..., х", определяемую системой уравнений (2). Здесь 1 является одной из координат в пространстве Я.

Переход к интерпретации в и-мерном фазовсм 110 линейные УРАзнения с постОЯнными козФФиш[ентАми [Гл. 2 пространстве 8 переменных х', ..., х" заключается в том, что мы перестаем считать величину 1 координатой точки, а считаем ее параметром. Таким образом, фазовая траектория 1. получается из кривой К в результате л р о е к т и р о в а н и я пространства тс на пространство 8 в направлении оси 1. Геометрическую наглядность это проектирование приобретает при л = 2.

Характеристики

Список файлов книги