Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Речь идет об отыскании частного решения системы уравнений е ~~ > Е. (р) х' = г, с 05 (ы1+ в'), / = !..., и (11) г.= ! с действительными коэффициентами, в правых частях которой стоят гармонические колебания одной н той же частоты ьс Б) предположим, что детерминант 0(р) системы (11) (сх!. ч 11, А)) не обращается в пуль при р= 1м, Для отыскания решения системы (11) будем искать сначала решение системы уравнений » ~Ч>~ 7 ~ (р) аа — р Е ~г (12) А ! где р~ = гте>"~.
78 лииепныв имвнвния с постоянными коэеьицивнтлми 1г.,я системы (11), Решение системы (12) ищем в виде (13) Подстановка функиий (13) в систему (12) дает (после сокращения на енв) систему уравнений ~ ь', (1е) а» = р/ которая однозначно разрешима относительно неизвестных о", так как детерминант ее 0(1м) по предположению отличен от нуля. Найдем решение этой системы и положим; .
ь о'=в" ен; тогда в силу (13) мы находим решение ха=в'сов(мт+~'), 4=1, ..., а, (14) системы (11), Если детерминант 0(р) системы (11) есть устойчивый многочлеп, то неравенство й(м) ~ 0 выполнено, и, сверх того, каждое решение системы (11) отличается от решения (14) слагаемым, стремящимся к нулю при 1 — +оо (см. $11„Б)). Таким образом, в случае устойчивого многочлена 0(р) решение (14) системы (11) не только является одним из частных решений, но представляет собой установившееся решение.
Пример Ршипм уравнение х + оэ,'х = г сов (еЕ + а) (15) гармонического осциллятора, находящегося под воздействием внешней гармонической силы. Вместо уравнения (15) рассмотрим соответствующее комплексное уравнение л + ь',г = ге' 1"'+'. (16) Если и ~ ь„ то уравнение (16) имеет решение вида г = ое'"', причем в силу Формулы (8) ге" Так как коэффициенты всех многочленов Еь(р) действительны, то / из всякого решения г', ..., г" системы (12) мы получаем решение ха=Вега, 1=1, ..., л, т лт1 метод комплексных Амтвтнтуд Таким образом, уравнение (15) имеет решение х= „, соз(ляг+ р), "л (17) где 11=а при лел)ал и ор =а+лг при алс ю. Формула (17) дает вынужденные колебания осниллятора под воздействием гармонической внешней силы.
Здесь важно отметить явление резонанса, заключающееся в том, что амплитуда г ~ ««* — «Р ~ вынужденного колеба>лия в о з р а с т а е т с убыванием разности !ал — ал~. Интересно также отметить, что фаза р колебания (17) совпадает с фазой и вынуждающей силы при ля, >л» и противоположна ей при лл»,(в. Общее решение уравнения (!5) записывается в виде Х =Гл СОЗ (эл1+ ал)+», СОЗ (м1+ Р), ~ «л» мэ~ откуда ггла Р=— 2! «л "' "ас™е решение уравнения вид: «-+.— — '~ ~ ~!А+О ~ ) а решение уравнения (15) оказывается равным гт I и! Х= — СОЗ ~ля1+ а — — ~ = — Зли (мт+ а). 2« 2т' 2и ' Таким образом, при ло=лол явление резонанса заключается в том.
гт что амплитуда — становится переменной и неограниченно возрастает 26л с течением времени. В реальных приборах это явление не наблюдается ввиду наличия «трения». где и =г, сов(л»ф+ а,) есть реиление соответствунмцего однородного уравнения. Слагаемое и называется собсптеенным колебанием оспил лятора. Если ля,=ьл, то формула (17) теряет смысл. В этом случае решение уравнения (16) следует искать в виде; з = рдел"', где р — комплексное число (см. теорему 8). Согласно формуле (9) 5 10 имеем: ~( +~«л) +~ 1рг=ге", 80 ЛИНЕЙИЪ|Е УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫИИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |Гв. 2 ф 13. Электрические цепи Теория обыкновенных дифференциальных уравнений находит свои применения в различных областях техники; она применяется в электротехнике и, в частности, радиотехнике, При некоторой идеализации работа радиоприбора может быть математически описана системой обыкновенных дифференциальных уравнений, причем неизвестными функциями времени в этой системе являются величины токов, проходя|цих через различные детали прибора, или падения напряжения между отдельными узлами прибора.
Радиоприборы дают очень богатый материал, иллюстриру|ощий применения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, гораздо более богатый, чем, например, задачи механики. Богатство это характеризуется, в частности, тем, что систему обмкновенных дифферендиальных уравнений, возникшую из какой-нибудь технической задачи, часто удае|са смоделировать электрическим прибором, т. е. сконструировать такой электрический прибор, работа которого описывается то й же системой уравнений, что и интересующий нас технический объект, Такой моделирующий электроприбор может до некоторой степени помочь в решении системы уравнений, так как, наблюдая за его работой, мы тем самым иаблчодаем за поведением неизвестных функций, удовлетворяющих системе уравнений.
Физические законы, управляющие работой электроприборов, формулируются настолько просто, что они легко могут быть сообщены даже человеку, почти незнакомому с физикой. Здесь в несколько догматической форме дается изложение простейших законов электротехники и приводится несколько примеров применения дифференциальных уравнений к изучению работы электроприборов Элементы электрических цепей 1( числу важнейших деталей, из которых конструируются электроприборы, ири|идлежаг сопротивление, индуктивность (самоиндукция) и е.|псость (конденсатор). !(аждая из этих деталей является двухполюсниколг, т.
е. обладает двумя контактами, которые при монтироваиин электроприбора присоединяются к полюсам других деталей. Во время работы электроприбора через двухполюсник, вмонтированный в эгот прибор, проходит электрн|еский ток, и при этом электрическое состояние двухпол|осника характеризуется в каждый момент в! ече|ш ! двумя ве.ичииами: си|лог» тока (,ь(!), идущего от полюса а и полюсу Ь двухполюсиика аЬ, и падение,и напряжения У,ь(т) от полюса а к полюсу Ь.
Силл тока У„(1) может принимать как положигельные, так и отрицательные значения; если ток «течет» от полюса и к полюсу Ь (имеется в виду так называемое техническое напраи.|ение тока), го число У„ь(!) положительно; в противном случае оио о|рицагелы|о. Падение напряжения У,»(!) от полюса а к ио- 81 а ~а1 ЗлектРические цепи Для каждого двухполюсника аЬ функции !,ь (1) и У,ь(1) времени г не независимы, а связаны некоторым соотношением, представляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюсника. Для сопротивления, самоиндукции и емкости физические законы, управляющие их работой„даются нижеследующим предложением.
А) Для двухполюсника аЬ, представляющего собой сопротивление, имеет место соотношение (закон Ома): (~аь (1) )~ааль (О1 (3) здесь Я, — положительный коэффициент, называемый сопротивлением и могущий для различных двухполюсников принимать различные значения, но постоянный для каждого данного двухполюсника; при этом мы имеем всегда ГСЬа = Гга Ь. Для двухполюсника аЬ, представляющего собой индуктивность, имеет место соотношение: (~аь ( ) ~'а ь ~гг 1аь И)1 (б) здесь Еа есть положительный коэффициент, называемый пндуктпаностью н могущий для различных двухполюсников принимать различные значения, но постоянный для каждого данного двухполюсника.
При этом ~ьа 1 аЬ (8) Для двухполюсннка аЬ, являющегося емкостью (конденсатором), имеет место соотношение 1.„(г) = ф— „", и„(1), Гдс С„Ь ЕСТЬ ПОЛОжИтЕЛЬНЫй КОЭффнцИЕПг, НаЗЫВаЕМЫй ЕжКОСЛЬЬЮ и могущий принимать различные значения для различных двухполюсников, но имеющий для данного двухполюсника вполне определенное значение; пря этом мы имеем: Саь — — Сьа. Р) люсу Ь представляет собой разностьУ,(6) — У (1) потенциалов в полюсе а и полюсе Ь. Таким образом, обе величины 1,ь(г) и (г,ьф, характеризующие состояние двухполюсника аЬ а момент времени зависят от того, какой из полюсов поставлен па первом месте и какой на втором.
При перемене порядка полюсов каждая из величин 1а (г),. Уаь(1), очевидно, менает знак, так что мы имеем соотношениЯ: 1ьа (1) )аь (Г)~ (1) (~Ь ( ) (~аь(Г) Р) 82 линейные УРАВнениЯ с постОЯБньнли коэФФициеитАми [Гл, а Интегрируя соотношение (7), мы получаем: (~аь() "аь("Ь)+~ ) ~аь()Г" ! !' ~аь гь Функция а.ь(!) = С.ь~.ь(О представляет собой физическую величину, связанную с состоянием конденсатора в данный момент времени и называемую зарядом конденсатора аЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
