Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Б)). Вопрос об устойчивости многочлена произвольной степени и был решен в несколько различных формах математиками Раусом и Гурвицем. Условия Рауса — Гурвица, однако, мало удобны для вычислительной практики, и потому продолжают до сих пор отыскивать новые формулировки условий устойчивости. Здесь будет приведено доказательство критерия Рауса — Гурвица для и= 3 и без доказательства будет дано условие устойчивости для произвольной степени и в форме Гурвица. Б) Многочлен второй степени Е(р)=ря+ар+Ь с действительными коэффициентами а и Ь тогда и только тогда устойчив, когда коэффициенты его поло кительны. Это утверждение легко проверяется при помощи формулы решения квадратного уравнения.
В) Если многочлен Е (р) =р" + ау" ' + ... + а„ с действительными коэффициентами устойчив, то все его коэффициенты положительны. Для доказательства разложим многочлен Е(р) на действительные множители первой и второй степени, т. е. на множители вида р+с и р'+ар+Ь. Так как многочлен Е~р) устойчив, то и каждый множитель указанного вида, входящий в его состав, также устойчив. Для устойчивости множителя р + с необходимо, чтобы число с было положительно, а для устойчивости множителя р~+ар+ Ь необходимо, чтобы оба числа а, Ь были положительными.
Из положительности коэффициентов множителей легко следует положительность коэффициентов произведения. Нижеследующая теорема дает критерий устойчивости для много- членов 3-й степени. Теорема 6. Многочлен Е (р) = а,р'-+ ау'+ аьр+ аа, а, ~ 0 с деиствительныии коэффиииенталги тогда и только тогда устоачив, когда числа а„ам аа положительны и, сверх того, выпол« нено неравенство а1аа > аоаа Д о к а з а т е л ь с т в о. При доказательстве будем рассматривать лшогочлен Е(р) =ръ+ ара +- Ьр.+' ю случай общего многочлена Е ~р) легко сводится к этому. В силу предложения В) нам достаточно доказать, что многочлен (4) с положитее л ь н ы м и коэффициентал~и а, Ь, с тогда и тОлькО тогда устойчив, устойчивые многочлены $91 когда имеет место неравенство аЬ >с. При доказательстве мы воспользуемся тем, что корпи многочлена являются непрерывными функциями его коэффициентов.
Выясним прежде всего, при каких условиях многочлен (4) имеет чисто мнимые корни, в частности, корень р= О, который также следует считать чисто мнимым, так как он лежит на мнимой осн. Мы имеем: /. (р) =(р+ а)(ря+ Ь) — аЬ+ с. (6) /.(/ )= — аЬ-, с=о. Обратно, если аЬ=с, то в силу (6) многочлеп /.(р) имеет чисто мнимые корпи р=-+-Ф Ь. Таким образом, мпогочлен /.(р) (с положительными коэффициентами) тогда и только тогда имеет чисто мнимые корни, когда аЬ= с. В частности, при непрерывном изменении положительных коэффициентов а, Ь, с корень многочлена /. (р) только тогда может пересечь мнимую ось, когда выполнено равенство аЬ=с.
Допустим„что неравенство (5) не выполняется. Тогда либо аЬ=с, либо аЬ(с. В нервом случае многочлен I (р) имеет чисто мнимые корни и, следовательно, неустойчив. Покажем, что во втором случае, т. е. при выполнении неравенства аЬ< с, (7) мпогочлен /. (р) также неустойчив. Будем менять непрерывно коэффициенты а и Ь, оставляя их положительны.чи, так, еггобы онп стремились к нулро и чтобы при этом неравепсгво (7) пе нарушалось.
При этом изменении ни один корень не перейдет с одной стороны мнимой оси на другую, и, следовательно, свойство многочлена быть устойчивым или неустойчивым не изменится. При а = Ь= О получаем еоо е р'-ЕЕ елыр е ее орю Е' е~еое —.' -<-Ееео.„-~, ее шие по прзвую сторону мнимой оси. В силу непрерывности зависимости корней от коэффициентов, неустойчивость (наличие корней справа от мнимой осн) сохраняется и при достаточно малых положительных а и Ь, Если многочлен /.(р) имеет корень О, то с=О, а это по предположению исключено, так как с)О. /(опустим, что корнем многочлена /.(р) является число /ш, где ш ~ О.
Если предположить при этом, что число — ш'+Ь отлично от нуля, то число (/ш+а)( — ш" +Ь) имеет отличную от нуля мнимую часть и не может взаимно уничто жаться с действительным числом — аЬ+с. Таким образом, число /ш лишь тогда может быть корнем многочлена /.
(р), когда — ш'+ Ь = О; в этом случае мы имеем равенство 60 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИцИЕНтАМИ [Ги. 2 Допустим теперь, что неравенство (5) выполнено, и покажем, что многочлеп Е (р) устойчив. Для этого будем менять коэффициент с так, чгобы он стремился к нулю, оставаясь положительным, и чтобы неравенство (5) при этом не нарушалось. При с = О мы получаем многочлен [-(Р)=Р(Р + Р+ и) имеющий один нулевой корень и два корня с отрицательными действительными частями.
При малом положительном с эти два корня мало изменятся, так что произведение их останется положительным, а нулевой корень перейдет в малый положительный или отрицательный. Так как произведение всех трех корней равно отрицательному числу — с, то корень, близкий к нулю, будет отрицателен. Итак, теорема б доказана. Для того чтобы формулировать необходимые и достаточные условмя устойчивости любого многочлена с действительными коэффициентами, условимся сначала о терминологии. Пусть Ры Рм "° Р[и Ргп Р22 ° * Рьи Ри1 Риа ° ° ° Рии — произвольная квадратная матрица порядка п.
Будем называ гь ее главным й-м минором детерминант матрицы Ри Рм "° Р[ Рп Р22 "° Рь Ртп Рьа ° " Рьь минор этот мы будем обозначать через йь(Р). Таким образом, детерминант Гьь(Р) составлен из элементов матрицы Р, входящих в первые й столбцов и строк. Теорема 7. Пусть аьр" + а, р" '+ ... + а„, аь ."> О (8) — произвольный многочлен' степени и с действительными коэффициентами. Для того чтобы выяснить вопрос о его устойчивости, составляют матрицу а[ аь аь ° ° ° а а, а, ... О О а, а, аи-2 аи 61 >>СТОИЧИВЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 991 порядка и. Оказывается, что многочлен (8) устойчив тогда и только тогда, когда все главные лгиноры Ь» (Я), )г = 1,, „за матрицы Я положительны.
Теорема 7 в этой книге доказана не будет. Локааательство ее можно найти, например; в книге: Н. Г, Четаев, Устойчивость движения, Гостехиздат, М., 1955 (см. стр. 79 — 83). Во избежание недораэумений опишем матрицу Я. Столбец номера Й матрицы Я имеет вид: ... а»,9 а»+> а»а» „а» з ...> где элемент а» стоит на главной диагонали; при этом элемент а»+1, индекс 19+у которого отрицателен или больше и, считается равным нулю. Примеры 1.
Выведем иа теоремы 7 теорему 6. В случае п=3 матрица О имеет вид: < а, а, 0 аз аз 0 0 а| аз Ве три главных минора имеют значения Ь~Щ)=ам Ьз(Я)=а»аз — а аз, Ь»Я)=аз ° >зяб). Условие их положительности вместе с условием положительности коэффициента а, равносильны условиям: аз)0, а,)0, аз)0, а,аз)а а,. Из совокупности этих условий вытекает, как легко видеть, положительность коэффициента а,. Таким образом, в случае н=3 теорема 7 превращается в теорему 6. ' '2.'В случае н='1 матрица Я имеет вид'. а, аз 0 0 аз аз аз 0 0 аз аз аз Ее главные миноры имеют следующие значении: Ьз (Я) = ай Ьз (Я) = а1 аз — аз аз,' д>з(Я)= аз >»9(Я) — а аз; »з Я)=аз ' »з Я) Условие положительности этих миноров вместе с условием а,) 0 эквивалентно, как легко видеть, условиям аз)0, аз)0 аз)0, аз)О, а,)0, аз (ф'= а, а а — а а,' — а,' оз) О.
62 линвиныз УгАвнзния с постоянными коэффициентами 1г.а ф 10. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффицвентами Здесь будет дано решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами со свободным членом специального вида, являющимся так называемым к вазимногочленом.
А) Кеазимногочленом будем называть всякую функцию Г(Е), которую можно записать в виде Р (Е) = Е, (Е) е" ас + ~, (Е) е "ы + ... +~„, (Е) е" ед, где Л„Лю,... Л суть некоторые комплексные числа, а ~,(Е), 1,(Е), ..., ~,„(Е) — многочлены от Е. Из предложения В) $8 следует, что каждое решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами является квазимногочленом.
Можно доказать, что и обратно, каждый квазимногочлен является решением некоторо~ о линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Если какие-нибудь два числа последовательности Ль Л„ . „, Л совпадают между, собой, например, если Л, = Лю то члены суммы (1), соответствующие этим числам, можно объединить и заменить членом (~,(Е)+~,(Е))е"1'. Таким образом, запись (!) всегда можно привести к такому виду, что числа Ли Ля.....
Л, входящие в нее, попарно различны. Отметим, что сумма и произведение двух произвольных квазимногочленов также есть квазимногочлен; далее, если к произвольному квазимногочлену применить произвольный оператор Е(р), то мы вновь получим квазимногочлен. Таким образом, в настоящем параграфе будет рассматриваться уравнение некоторый квазимногочлен рассмотрим соответствующее однородное уравнение Е(р)п=О. (3) Нижеследующее предложение непосредственно вытекает из замечания Б) й 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
