Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В) Система решений 142 линейные УРАВнениЯ с певеыенныыи коэФФициентлми 1гл. 3 Покажем прежде всего, что фундаментальная системз решений уравнения (4) существует..Для этого воспользуемся фактом сущесгвования фундаментальной системы решений уравнения (5) (см. й 17, В)). Пусть гр (г) " Ь(0 — фундаментальная система решений уравнения (5) и пусть Ф,(1), ..., („(С) — соответствующие решениям (12) решения уравнения (4): Ф~(1) В(О 1=1..", и (12) (13) (см. А)).
Так как решения (12) линейно независимы, то в силу Б) линейно независимы и решения (13), и потому они составляют фундаментальную систему. Допустим теперь, что система (11) является фундаментальной для уравнения (4) и пусть решения (12) соответствуют решениям (11). Пусть, далее, ф(8) — произвольное решение уравнения (4) и ~р(г) — соответствукицее ему решение уравнения (5).
Так как система (11) по предположению фундаментальна, т. е, линейно независима, то соответствующая ей система (12) также линейно независима, т. е. фундаментальна. Таким образом, в силу предложения В) й 17, получаем: ~р(1) =с'~р,(1)+ ... + с"ф„(1), Ф(О=с'Ф (г)+ " +с"Ф,®. Таким образом„предложение В) доказано. Г) Детермплалтом Вронского системы решений (11) уравнения (4) называется детерминант: б>(1) ,. б„ (1) Й(1) " Ь(') Ф'(1) = (14) Если решения (12) уравнения (5) соответствуют решениям (11) (см. А)), то детерминант Вронского (см.
$17, Г)) системы решений (12) уравнения (5) совпадает с детерминаптом (14); это видно непосредственно. Таким образом, то, что верно для детерминанта Вронского системы (12), верно и для детерминанта (14). Отсюда в силу предложения Г) э 17 заключаем, чго детерминант(14) или не обращается в нуль пи в одной точке, или равен нулю тождественно; для того чтобы система решений (11) была линейно независимой, т. е.
фундаментальной, необходимо н достаточно, чтобы детерминант (14) ие обращался в Заменяя в этом соотношении каждый вектор его первой компонентой, получаем: 14З 4 (а1 ДИНЕЯНОЕ УРАВНЕНИЕ л-гл ПОРЯДКА Она получается из формулы (16) $17, если учесть, что след, т. в. сумма диагональных членов матрицы (3), равен — а,(Г), Ниже, в примере 2, будет дано более нростов непосредственное доказательство формулы (16). Л) Пусть ("'+ а, (г) (л-Н + ... + Пл (() = Ь (1) (16) — неоднородное уравнение и пусть у(л( ~ а((г)у(л Н + + а (г)у (17) — соответствующее ему однородное уравнение. Из предложений Ч 6 непосредственно следует, что если У,(1) есть частное решенив уравнения (16), то произвольное решение уравнения (16) имеет внд: з = Ф(1)+ Хо(1) .где ф(1) — решение ураш(ения (17).
Метод вариации постоянных 1.) Пусть ') (() " ". (() (18) — какая-либо фундалентальная система решений уравнения (17), 1'огда решение уравнения (16) пожег быть получено в виде: '="(Г)Ь(Г)+ ." +с" (1)Ф (1) (19) глс функции с1 ((). . .' (1) (20) получаются как ре(пения системы алгебраических уравнений: (21) т'(" '(г) с'((') -г ... + т'„" (1)с" (г) = О, ФГ П(1) с (1)+ ...
+ф-н(1) с" (1)= ь(1), нуль. Из предложения Ж) $17 следует формула Лиувилля для детерминанта (14): -( «1(о~и 1Р(1) = 1(УИ«) а (16) 144 линвпныв трлвивния с папемвиными коэффициентами 1г . з Так как детерминант системы уравнений (21) относительно неизвестных величин (20) есть детерминант Вронского системы решений.(18), то в силу предложения Г) оп не обращается в нуль ни при одном значении г, и потому из системы уравнений (21) можно определить величины (20), а по ним определяются квадратурами и нужные пам функции с'(1), ..., с" (1). Доказательство предложения Е) вытекает из предложения 3) $17. Можно также провести его и непосредственно.
Сделаем это. Предполагая, что на величины (20) наложены условия (21), мы получаем из формулы (19) путем дифференцирования следуюшие соотношения: а=с'(1)ф,(1)+ ... +с" (Ф)ф„(1), й=с'Н)фг(Г)+ ... +с" (ОФ. (1). г1" н=с'(1)ф~~" '(1)+ ... +с" (1)ф„'" 'Щ, а'"~ =с' (1)ф~ (г)+ ... + с" ® ф„(1)+ +с'(г)ф'," п(1)+ ... +с" (1)ф'„" '-(1)= =с'(1)фГ ~ (О+ ° ., +с" (С) фГ~И)+Ь(1). Подставляя эти выражения в уравнение (16), получаем тождество.
Таким обрааом, если функции с'(К), ..., с" (1) удовлетворяют соотпо' несениям (21), то функция (19) является решением уравнения (16). Примеры 1. Если известно нетривиальное (не равное тождественно пульп) решение ф(1) уравнения (4), то порядок этого уравнения можно снизить на единицу, т. е. свести его решение к решению линейного уравнения порядка и — 1.
Лля этого произведем замену у=ф(г) ' (22) где ъ — новая неизвестная функция. Мы покажем сейчас, что результат подстановки (22) в левую часть уравнения (4) приводит нас к уравнению Ь (Г)п~ ~+ Ь (Г)з ~ '- -г-Ьл-$(Р)ТУ+ Ь И)6=0 (23) для ъ, причем Ь,(г) = ф(1), Ь„®= 0. (24) Так как все наше исследование справедливо для уравнения л-го порядка, коэффициент при п-й производной у которого равен единице, то соотношение (23) приходится делить на Ьр(г)=ф(1), и потому ! 45 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ и-гь ПОРЯДКА $!а! сведение уравнения (4) к уравнению (23) имеет место лишь на таком интервале, где ф(1) не обращается в нуль.
Полагая = 1) (1) )( ) Ф(~) = и заменяя неизвестну)о функцию в новой неизвестной фушсцией мы приходим к уравнению и'" "+1 (1)тв'" ')+ +1,(1)а>=0 порядка а — 1. Если имеется решение )((1) этого уравнения, то решение т) уравнения (23) получаем квадратурой: =') Х(1) 11, а решение у уравнения (4) получается подстановкой найденной функции ъ в (22). Докажем, что подстановка (22) приводит уравнение (4) к виду (23), причем выполнены соотношения (24). Дифференцируя соотношения (22), получаем; где не выписаны члены, содержащие производные от о порядков, мень!них чем л. Из этого следует, что уравнение (4) принимает вид (23), причем Ь,(1) =ф(1).
Так как ф(1) есть решение уравнения (4), то с =1 есть решение уравнения (23). Подставляя решение ))=1 в (23), получаем 7У„(1) = О. Таким образом, соотношения (24) .доказаны. 2. Приведем доказательство формулы Лиувилля (15) для одного уравнения и-го порядка, не опирающееся на формулу Лиувилля для СиСтсх)ы (см. формулу (16) й 17).
При этом мы будем пользоваться нрйвилом дифференцирования .детерминанта, данным в й 17 (см. й 17. Е)). В силу этого правила дифференцирования мы получаем из. (14); Ю(1)=%',(1)+...+ Ю;.(1)+...+ Ю„(1), где !!)'; (1) есть определитель Вронского !ь'(1), в котором продифференцирована 1-я строка. Если 1(н, то в результате дифференцирования 1-й строки мы получаем строку, совиадаюгцу)о с (1 —,' 1)-й строкой определителя !Р'(1), и потому мы имеем: !Р) (1) = !Ра (1) ° = !Р ) (1) = О.
При дифференцировании н-й строки мы получаем строку )гю (1),)..> (1) которая в силу уравнения (4) является линейной комбинацией строк определителя т!'(1), причем и-я строка берется с коэффициентом 146 линейные УРАВнениЯ с пеРеменными коэФФициентами [Гл. 3 — а>(8).
В силу наличия в определителе >У'„(>) строк определителя Вронского с номерами 1, ..., н — 1„эти строки в линейной комбинации можно отбросить, и остается лишь н-я строка с коэффициентом — а>(1). Таким образом, для определителя Вронского получаем дифференциальное уравнение 1Р(1) = — а> (1) 11Г~Г). Решая его, получаем формулу Лиувилля (15). $ 19. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами Среди линейных уравнений с переменными коэффициентами особенно важную роль играют уравнения с п е р и о д и ч е с к и м и коэффициентами. Настоящий параграф посвящается изложени>о некоторых свойств нормальных линейных однородных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, Из приводимых здесь свойств этих систем центральным является теорема Ляпунова.
Приведенное здесь доказательство теоремы Ляпунова менее элементарно, чем все предыдущее изложение книги. Оно опирается на матричное исчисление, необходимые сведения из которого излагаются в добавлении П. 11усть Х= А(1)Х вЂ” нормальная линейная однородная система уравнений„записанная в матричной форме (см. Е> 17, К)). Мы будем предполагать, что коэффициенты этой системы являются периодическими функциями времени 1 с периодом т, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
