Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Отсюда согласно (18) и (19) получаем: ~ вр (1) ~ = ол'ге'~1 ~ <р (0) ~. Так как число е'11 при 0=1,-=:т не меньше некоторой константы с~О, то последнее неравенство можно записать в виде: [ р(г) ~ — е1 1~р(ОЦ, Таким образом, оценка (15) доказана. ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ, ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ Здесь в первую очередь доказываются уже формулированные ранее теоремы 1, 2, 3 существования и единственности. Далее, рассматривается вопрос о зависимости решения от начальных значений и параметров, если последние входят в уравнения.
В первую очередь разбирается зависимость решения с фиксированными начальными вначениями от параметров, а затем весьма простым приемом начальные значения превращаются в параметры, и, таким образом, дело сводится к вопросу о зависимости решения от параметров. Кан в случае начальных значений, так и в случае параметров доказываются непрерывная зависимость решения от этих переменных и дифференцируемость решения по ним. В том и другом случае здесь приводятся только так называемые интегральные теоремы, а нередко упоминаемые в учебниках «локальные> теоремы вообще пе приведены. Объясняется это тем, что как в самой теории, так и в ее приложениях важны именно и н т е г р а л ьн'ые теоремы; локальные же теоремы в лучшем случае служат средством доказательства интегральных и не заслуживают специальне«о внимания.
Слово «интегральные», употребленное здесь, никакого отношения к операции интегрирования не имеет. Оно означает лишь, что решения рассматриваются не на малых интервалах врЕмепи," а «интегрально», «в целом», т. е; рассматриваются н е п р од о л ж а е и ы е решения (см. ч 3, А)). В связи с этим изучению непродолжаемых решений посвящен злесь специальный параграф ($22). Кроме этогб материала, в настоящую главу включен Параграф о первых интегралах системы обыкновенных дифференциальных уравнений н примыкающее к понятию первого интеграла исследование линейного уравнения в частных производных. Результаты этого параграфа в дальнейшем изложении нигде не используются.
В 20. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения В этом параграфе будег дано доказательство сформулирова1шпй в ч 1 теоремы ! существования и елинствепиосги для одного уравнения первого порядка х=/(г, х), СЛУЧАЙ ОДНОГО УРАВНВНИЯ правая часть которого определена и непрерывна вместе со своей частной производной — па некотором открытом множестве Г пло- дУ дх скости Р переменных 1, х. Доказательство теоремы 2, приводимое в следующем параграфе, представляет собой усложнение доказательства теоремы 1 и содержит его как частный случай. Приводя доказательство сначала для случая одного уравнения, я имею целью выявить основные идеи этого доказательства, которые в общем случае загромождаются второстепенными деталями. Доказательство теорем 1 и 2 проводится в этой кииге методом последовательных лриблиагсений, принадлежащим Пикару и применяемым в анализе при доказательстве многих теорем существования.
Этот метод является одновременно методом приближенного вычисления решения и потому имеет большую практическую ценность. В некоторых случаях метод последовательных приближений может быть истолкован как метод сжатых отображений. Здесь я провожу доказательство таким образом, чтобы показать близость этих двух методов. Различие же этих методов выявится при доказательстве теоремы 3.
Основные идеи доказательства Ф(т)=У(~ т(0) и пусть (3) Ч' Иь) = хь — некоторое начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказывается, что тогда для функции в(Е) на всем интервале г,(1(г, выполнено интегральное тождество в (1) = хь + ~ у (т, в (т)) йт. (4) Обратно, если аля некоторой непрерывной фуикции .р(1) па интервале г,(1(г, выполнено тождество (4), то функция х=~(1) дифферепцируема, является решеиием уравнения (1) и удовлетворяет начальному условию (3). Кратко говоря, иптегральпое уравнение (4) э к в и и а л е и т н о дифференциальному уравнению (2) вместе с пачальнып условием (3). Первым шагом при доказательстве теоремы 1 методом последовательных приближений является переход от дифференциального уравнения к интегральному, который мы формулируем в виде отдельного предложения. А) Пусть х= а(1) — некоторое решение уравнения (1), Определепгюе па ингервале г,(Г(г„так что выполнено тоакдество теОРЙмы сущестВОВАния )ГА.
4 Докажем это. Допустим сначала, что выполнено соотношение (4). Заменяя в нем переменное Г его значением Ц, получаем: у(~а)=х,. Таким образом, из (4) вытекает (3). Далее, правая часть тождества (4) очевидно дифференцируема по г, а потому дифференцируема по Ф и левая его часть. В результате дифференцирования тождества (4), получаем тождество (2), Допустим теперь, что выполнены соотношения (2) и (3).
Интегрируя соотношение (2) в пределах от га до г, получаем: В силу соотношения (3) из последнего равенства получаем (4). Таким образом, предложение А) доказано. Введем теперь некоторые обозначения, используемые ниже при доказательстве теоремы 1. Б) Пусть х=у(1) — такая непрерывная функция, определенная на некотором отрезке г,~Флаги что ее график целиком располо. жен в открытом множестве Г, и ~а — некоторая точка отрезка г, ~1~г,. Тогда, пользуясь правой частью тождества (4), можно функции <р(1) поставить в соответствие функцию <ра(1), определенную также на отрезке г~ ~Е= г„при помощи равенства 'Р (г)= 9+).г(т 9( ))и (график функции <ра(г), конечно, ухге может пе проходить в множестве Г). Таким образом, правую часть тождества (4) можно рассматривать как о п е р а т о р, ставящий в соответствие функции а функцию ~*.. Обозначая этот оператор одной буквой А, мы запишем соотношение (5) в виде формулы Пользуясь оператором А, интегральное уравнение (4) можно аапнсать в виде: ~>= А4~.
(7) В) Пусть е(1) — некоторая непрерывная функция, определенная па отрезке г, ( 1 ~г,. Нормой ))~(~ этой функции называется максимум ее модуля ) р $~ — — ш ах ~ ~р ф ~. I~~! ~l~ Если ~(г) и уф) — две непрерывные функции, заданные на отрезке г~~1(гя, то норма ~(ф — Д их разности ф(г) — у(1) является не- СЛУЧАЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ отрицательным числом, оценивающим, насколько сильно отличаются эти функции друг от друга Если число !! Р— Х!! мало, то функции ф и )( «близки» друг к другу.
Равенство !!ф — у~ =0 имеет место тогда и только тогда, когда функции ф и у тождественно совпадают. Пользуясь понятием нормы, легко можно формулировать известное из курса анализа условие равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. Пусть 'Р» (О. 'Р1 И) . " Р> И), ... (8) — последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке г,===1:=г«. Последовательность (8) равномерно сходится к функции «>, определенной на том же отрезке г,:-.1~г„если 1пп !! ~р — ~~ !! =О. Для того, чтобы последовательность (8) равномерно сходилась, достаточно, чтобы имели место неравенства Ъ+~ — т~ !! ~а~ (9) 9е 'Рп ° * ° > >Р>ь непрерывных функций, определенных на некотором отрезке г,(1= ==г„который содержит внутри себя точку 1,, Каждая функция последовательности (9) определяется через предыдущую ври помощи равенства Р;„= Ар>» 1=0, 1, 2.
(10) Если график функции Р; проходит в множестве Г, то функция равенством (10) определяется, но для того, чтобы могла быть опре- делена следующая функция ~;+и нужно, чтобы и график функции >Ргн пРоходил в множестве Г. Этого, как мы покажем, Удаетсн до- стичь, выбрав отрезок г, ~Р==га достаточно коротким.
Далее, также за счет уменьшения длины отрезка г,(1 ~г„»южно достичь того, чтобы для последовательности (9) выполнялись неравенства !!р, —.р;МА!!;; — р- !! 1=1 2 " (11) где 0«А«, 1. Из неравенств (11) следуют неравенства ~<р>ьн — <Р;!! ~!!<Р1 — агро!! й > с=1, 2, ..., и, таким образом, последовательность (9) равномерно сходится (см. В)). где числа а, а„..., ап ... образуют сходящийся ряд. Прежде чем перейти к детальному проведению доказательства теоремы 1, изложим кратко суть метода последовательных приближений, применяемого для решения уравнения (7), Строится после- довательность теОРемы сушествования Далее уже легко устанавливается, что предел Т последовательности (9) удовлетворяет уравнению'(7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
