Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(6) Для доказательства неравенства (6) введем в рассмотрение осгтрезосг, соединяющий точки Х и у, именно положим: » (е) =у - !- а (х — у). Когда а пробегает значения О~а 1, точка»(е) пробегает отрезок, соединяющий точки х и у, и, ввиду выпуклости множества Л, все время остается в нем. Мы получаем (применяя формулу Лагранжа)! д! (х) —,дс (у) = дс (» (1)) — дс (» (О)) = ~ с!в ! (» (а)) Вычисляя производную по формуле производной от сложной с!3 функиии, получаем: сто'( (а)) с!а!(»'(а), ..., »" (а)) ссв сс'а а=! а ! где К в положительное число. Оказываегся тогда, чго для двух любых точек х и у множества А выполнены неравенства. 164 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 1гл.
4 Таким образом, л в 1й" (х) — ал (у) ! ~,"~, К ! х' — у' ~ ~ ~~„' К! х — у ~:=.= пК ~ х — у ~. Ф=! Ф=! Возводя последнее неравенство в квадрат, суммируя его по 1, и извлекая корень, получаем: а ) у (х) — у (у) ) ~ л К1х — у ~ ~ л' К1х — у 1 Так же, как при доказательстве теоремы 1, от дифференциального уравнения (3) перейдем к интегральному. А) Пусть х= ~р(1) — некоторое решение дифференциального уравнения (3), так что выполнено тождество р(О=У(1 р(0) (7) и пусть 'р (гл) = хл (8) ! 4р (л) = ха+ )У (т 4р (т)) пт. Докажем это. Допустим, что выполнено интегральное тождество (9).
Подставляя в него ~= 1„ получаем равенство (8), а дифференцируя его ио ~, получаем тождество (7). Допустим теперь, что выполнены соотношения (7) и (8). Интегрируя соотношение (7) в пределах от 14 до 1 и принимая во внимание соотношение (8), мы получаем соотношение (9). Б) Пользуясь правой частью тождества (9), каждой векторной функции 4р(г), график которои проходит в множестве Г, поставим в соответствие функцию гр'"(1), положив: 4р* (1)=ха+ ~~(с, т (т)) г7Й.
(1 0) Кратко„ в операторной форме то же соотношение запишем в виде: ф" = Л гр. (1 1) Уравнение (9) теперь ноже~ быть записано в виде: 4Р= А4Р. (12) В) Пусть 4р(1) — непрерывная векторная функция, заданная иа ог- Резке гл--1 (га. ОиРеделим иоулгУ );4Р)~ этой фУнкции, положиш ~~4Р11= шах ~~Р(1)~. гл т гл — начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказы- вается, что совокупность соотношений (7) и (8) эквивалентна одному соотношению случАЙ ноРмАльноп системы уРАвнениЙ 165 $2!1 Пользуясь понятием нормы, можно формулировать определение равно- мерной сходимости последовательности (13) непрерывных векторных функций, заданных на отрезке г, -- 8 «г,. Последовательность (13) векторных функций равномерно сходится к непрерывной функции ор, заданной на том же отрезке г!«~ =.го, если Для того чтобы последовательность (13) равномерно сходилась, дос- таточно, чтобы были выполнены неравенства 1оРо„— оР! й «ан где числа а„а,, ан, образуют сходящийся ряд.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 2. Доказательство теоремы 2 Так как точка (1о, Хо)=(Ео, х,', х2, ..., х",) принадлежит открытому множеству Г, то существуют такие положительные числа д и а, что все точки (1, Х), удовлетворяющие условиям 11 — 1о!«У !Х-Хо! «а, (14) ~Г!л «!) "! ~ (, л,!=л,..., л. ограничены на нем, т. е. существуют такие положительные числа Я и К л!го ~Г<л. л)~~м. )'~'о,"~ к, ц=|,.... л, !лл! дхл на множестве П. Наряду с множеством П рассмотрим содерисан!ееся в нем множество П„определяемое неравенствами ~1 — ~о! =-г, (Х вЂ” Хо~ а, где (16) г«а лежат в множестве Г. Так как множество П, состоящее из всех точек (1, х), удовлетворяющих условиям (14), замкнуто и ограничено (рис.
40), то непрерывные функции 166 теОРемы сушествовлния 1гл. о (рис. 40). Обозначим через 2, семейство всех непрерывных векторных функций, заданных на отрезке ! 8 — 1о ~ ~ г, графики которых проходят в П,. Таким образом, функция ор, определенная на отрезке 11 — ~о1=г-г, тогда и только тогда пРинадлежит семействУ ьс„ксгда Рис. 40. для любого ~, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство 1 ор (Π— Хо 1 =- а.
(17) Постараемся выбрать теперь число г таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия: а) Если функция ор принадлежит семейству Я„то функция гр*= = Аср (см. (10), (11)) также принадлежит семейству Я,. б) Существует такое число сс, Оо й<" 1, что для любых двух функций ор н у семейства 2, имеет место неравенство !! Аф — АХ!!» ~!1~> — К1.
(18) 1'ассмотрим условие а). Лля того чтобы функция гр*= — Агр принадлежала семейству О„необходимо и достаточно, чгобы прп ~ г — 1о ~=-'г было выполнено неравенство: ~ор"'(1) — Хо! (а. В силу (10), (5) и (15) мы имеем: с ! рв(1) — с,'=1)Х(-. р(т)И-~=($!У( р())Ит~--А1г со со Из этого видно, что прн а г~ Л1 (1д) условие а) выполнено. сл~чАЙ но~мальноп системы уРАВнениЙ $2«! Рассмотрим теперь условие б).
Мы имеем: !ф'(2) — Х*(1И=~З(У( 'Р()) — У( Х())) 1 !~ « ~ ~ (~(... «р (т)) — у (т, )( («)) ( «Х-. ~. (20) Оценим теперь последнее подыитегральное выражение, пользуясь неравенствами (6) и (15): ! у(т, «р(т)) — у(т, у(т)) ~ ='ляК ~ «р(т) — 1г(т) ~. (21) Из (20) и (21) следует !! А«р — АХ ~1 =!1 «р — Хя 1~ л'Кг!! Ч' — И Таким образом, условие б) выполнено, если и «К ' а К (22) Так как функция «р„принадлежит семейсгву Я„то и все функции последовательности (23) принадлежат этому же семейству (см. условие а)).
Далее, мы имеем (см. (17)): ~) «р« — «р„(~ =- п«ах ~ «р«(2) — Хо! ~ «2. !«-«««~г В силу (!8) получаем: '1 «р;,, — «р; ~! = ~ Аср« — А«р;, ~1 ~ А )! «р, — «р«л (~, откуда И«+« — «Р«1 ~ «2«2 ° (25) Таким образом, в силу В) последовательность (23) равномерно сходится к некоторой непрерывной функции «р, принадлежащей семейству 2,. Покажем, что функция «р удовлетворяет уравнению (12), Для этого заметим, что последовательность А«рв А«р„. „, А«рр ... где А< 1.
Итак, если число г удовлетворяет неравенствам (16), (19), (22) (которые мы в дальнейшем будем считать выполненными), то для семейства «2, выполнены условия а) и б). Построим теперь последовательность векторных функций «р«(О=-хм «р«(«)~ ° ° «р«(«)» ...э (23) определенных на отрезке !г — Ся /==г, положив р,,=Ар,, 1=0, 1, ... (24) 168 твоРгмы су!цествОВАиия )гв 4 равномерно сходится к функции Лгр-„действительно, мы имеем (см. (18)): !! Лф — Лгр; ': ..: А' ) гр — гр; !! .
Переходя в соотиоигсшп (24) к пределу при 1--со, получаем: <р= Л(!ь Итак, существование ретгнпя Х=гр(1) уравнения (3), удовлетворяющего ночильнолгу условию (8), доказано; при этолг установлено, что решение х = гр (г) определено на интервале 1г — Еь!(г„где г — иРопзвольное число, УдовлетвоРЯющее неРавенегпваьм (16), (19), (22). Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть х=тр(!) и Х=Х(!) — два решения уравнения (3) с обшими начачьиыми аиачеииями Г„, х„и г, (г (г, — нптсриал, являвшийся пересечением интервалов суи.ествоваиия решений ф и Х; очевидно, что г,(1,(г„. Покажем, что если регисиия ф(!) и Х(!) совпадают и некоторой точке С, интервала г,(Г(г, то они совпадают и на некотором интервале,' ! — - Г, / (г, где г — достаточно малое положительное число, положим х,=-ф(1,)=Х(г,); тогда величины 1„х, могут быть прннягы аа иа гальные значения обоих решений Х=ф(!) и Х=Х(Г).
В этом смысле точка (Фи Х,) ничем не отличаетса ог точки (Г„, Х,) н потомУ мы сохРгиигм эа точкой (!и Х~) обозначение (Гге х,); это позволит нам сохранить и друвис прежние обозначения. !!ереходя от диффсреиииальиого урл и.:иия (3) и шггегральиому уравнению (9), мы получаем для обеих функ ~нй ь,"(г) и у(Е) интегральные равенства, которые и оисргго! пой <1'ирме ькгут бып записаны в виде; ф-= Лтр Х вЂ” ЛХ. (26) Выбс!км тси рь, ьшг и прежде, в множестве Г миоькество П с цеигром в точке (1,, х„) (см.
неравенства (1!)), содерлияееся в Г, а злам миожссы;о П, таким образом, чтобы шсло г, крои иераесисгн (16), (19), (22), удовлегворяло сиге тому условшо, чго ири '! — 1„=-. г <мики ш ф и у оирсдслсиы и удовлетворяют иеравеил вам: ! ~! (г) — Х„! ..:: а, ! у (г) — Х, ~ .: и. Это возмоя;ио, зак кш< функции ф(!) и Х(!) непрерывны. Тогда функции ф(г) и Х(!), рассматриваемые иа отрезке !! — г„' =- г, входят в семейство 2„и, слсдова гсги ио, и силу неравенства (18) и соотношений (26), иолуча;и: !М вЂ” Х1='! ЛФ вЂ” ЛХ!!==д(Ф вЂ” Х1 а это возможно только тогда.
когда '!!ф — Х ", = О, т. е. когда фУнкции ф и Х совпадают на отРезке !! — ге ~ ( г. слУчАЙ ноРИАльыоп системы УРАВнений .: 169 $2!'! Докажем теперь, что функции ф(!) и )((1) совпадают на всем интервале г,(Ф< г,. Допустим противоположное, именно, что существует точка тв интервала г, с с(г2, для которой ф(гя) ~ у ф*). Ясно, что Р ,—е 1,. Для определенности будем считать, что ~А')1,. Обозначим через Ж множество всех тех точек г отрезка 1, =.1~2*, для которых ф(!)=у,(Е), и докажем, что множество М замкнуто. В самом деле, пусть тп 22, ...— последовательность точек множества Ф, сходящаяся к некоторой точке -..
Тогда ф(т;)=~(2;), и потому, в силу непрерывности функций Ар и ф()= В ф(;)= Дш Х( )=Х() т, е. точка т так'ке пршеадлежнт множеству /Ч. Обозначим через 1, точную Верхшою грань множества !У'. Так как Ж замкнуто, то 1, принадлежит этому мномгеству, т. е. ф(1,)= =)((1,); следовательно, !2< г". Но тогда, в силу ранее доказанного, функции $ (Е) и 1((~) должны совпадать на некотором интервале !г.— 1,~ г, и точка г, не может быть точной верхней гранью множества !У'. Таким образом, мы пришли к противоречию. Итак, теорема 2 доказана.
Выделим теперь в виде отдельного предложения некоторые факты, установленные при доказательстве теоремы 2 и нужные в дальнейшем: Г) Предположим, что правые части системы (1) (или, в векторной форме, уравнения (3)) определены и непрерывны вместе со своп- дУ' ми частными производными — на открытом множестве Г.
Пусгь дх1 (1„х„) — некоторая точка множества Г, а д и а — такие положительные числа, что множество П, состоящее из всех точек, удовлетворяющих неравенствам (!4), содержится в Г. Пусть, далее, Л4 и К вЂ” такие положительные числа, что лля всех точек (1, х), удовлетворяющих неравенствам (14), выполнены неравенства (1о). Пусть, наконец, г — какое-либо положительное число, удовлетворяющее нбравецствам (16), (19), (22).
Тогда решение уравнения (3) с начальными значениями (1„, х„) определено на интервале !К вЂ” 1,) ( г. Более того, опо па отРезке !à — 1а! =.г полУчаетсЯ как пРедел последовательности фУнкций (23), нндуктивно заданных соотношением (24), причем для этих функций выполнено неравенство (25). Доказательство теоремы 3 Перейдем к доказательству теоремы 3, утверждающей, что для нормальной линейной системы и ХФ = Х а~ Я х3+ Ьгя =Г а х2, ..., хл), г = 1, ..., и, (27) /=! ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИл 170 1Гл. » коэффициенты а,(1) и свободные члены Ь'(1) которой определены и непрерывны на интервале»7!(1(!7м существует решение с произ- вольными начальными значениями ! л 1» а»э ...> х»э ~»(т»(!7ь (28) определенное иа всем интервале !7»(т(!7.
Мы покажем, что тот же самый оператор А (см. (10), (11)), применявшийся при доказательстве теоремы 2, ио построенный теперь при помощи правых частей системы (27), порождает последователыисть векторных функций Ч'»(1) р!(1) " »рг(1) "' (29) сходЯшУюсЯ на всем интеРвале !7! ( 1 ( !7м пРичем РавномеРно на любом отрезке, содержащемся в этом интервале. При этом за !р (1) можно принять произвольную непрерывную векторную функцию, заданную на интервале !7»(г(!7,. Для проведения метода последовательных приближений нам здесь потребуется более точно оценить числа 1<р!!! — »р!), г=0, 1, 2,, При этом будет видно, что в рассматриваемом случае метод последовательных приближений не укладывается в рамки метода сжатых отображений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
