Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ту же конструкцию можно описать .несколько иным способом — ' — в форме метода сжатых отображений. Выберем некоторое семейство 2 функций, заданных на отрезке'г, '= 1 «г, (причем г, ( 1„( (г,), так, чтобы графики этих функций проходили в множестве Г. Допустим еше, что в отношении оператора А семейство ьа удовлетворяет' следуюшим двум условияхи 1) применяя оператор А к' любой функции семейства ь1; мы вновь получаем функцию семейства ь1; 2) сушествует такое число К 0(й(1, что для двух произвольных функций ф и )( семейства й выполнено неравенство М АФ вЂ” Ау'~~ - Ю вЂ” у 1 В этом смысле отображение А является сжатым (правиль.- нее было бы сказать «с>кимаюшим»). Легко видеть, что если для Рис.
39. семейства Я выполнены форму- лированные условия, то, исходя из произвольной его функции ~,, мы по индуктивной формуле (1О) получим бесконечную последовательность(9), удовлетворяюшую условию (11), и, как было отмечено вьнне, равномерно сходяшуюся к решению у уравнения (7). Перейдем теперь к доказательству теоремы 1 на основе изложенпгях соображений. Доказательство теоремы 1 ! Начальные зпаченпя 1„и х, искомого решения упавнепия (1) являются координатами точки (1„х,), лежащей в множестве Г, Выберем прежде всего какой-либо прямоугольник П с центром в точке (1„х,) со сторонамн, параллельными осям, целиком вместе со своей границей содержашийся в множестве Г (рис. 39).
Длину горизонтальной (параллельной оси 1) стороны прямоугольника - П обозначим через 2у, а длину вертикальной стороны — через 2а. Таким образом, точка (т, х) тогда и только тогда принадлежит прямоугольнику П, когда выполнены неравенства: ~1 — Г,;'=-7, ~х — хя~ а. (!2) Так как прямоугольник П есть з а м к н у т о е множество, содержа- д~(г, к) гцееся в Г, то непрерывные на нем функции ~((, х) и ' ог- '157 $201 СЛУЧАЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ рзничены, н потому сушествуют такие положительные числа М и К, что для 1 и х, удовлетворяюших условиям (12), выполнены не- равенства (13) Наряду с прямоугольником П будем рассматривать более чузкийа прямоугольник П„ определяемый неравенствами !1 — 14/= .г, !х — х,! ~а, где (см. рис.
39). Более точно число г определим далее. Обозначим через Я, семейство всех непрерывных функций, заданных на отрезке !1 †' 1 !:-= г, графики которых проходят в прямоугольнике П,. Таким образом, функция ср, определенная на отрезке ! 1 — 14! = г, тогда и только тогда принадлежит семейству 14„ когда для любого 1, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство !9(1) — хр ! «=-а. (15) (16) Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция ~14=Ау принадлежала семейству лр„необходимо и достаточно, чтобы при !1 — 14!~г было выполнено неравенство ! р4'(1) — х, ! ~а. В силу (5) и (13) мы имеем: г (1) хр ! ~ ~~('с> ф (я)) р('р ~ ~ Мг ° Из этого видно, что при а г ~.-.— М (1 7) условие а) выполнено. Постараемся теперь выбрать число г таким образом, чтобы были 'выполнены следуюшие два условия: а) Если функция и принадлежит семейству 12„то функция ~14=Ачл (см.
(5), (6)) 'также принадлежит семейству 2,. б) Существует такое число а, О< а«,' 1, что для любых двух л1луйкций ф и у семейства Я, имеет место нер;венство 3АФ вЂ” АХ!!~й!!Ф вЂ” Х!! СЛУЧАЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЙ условие а)). Лалее, мы имеем (см. (15)): 'асср,— ср,Ц= шах ! р,— хь~(а. сс-с,! е В силу (16) получаем: й срс с срс 'и = 11 Асрс — Асрс-с 'й ча й Д ср; — срг, Ц, откуда 'й ус+с — срс й ( ай', 1 = О, 1, 2, ... Таким образом, в силу В), последовательность (21) равномерно сходится на отрезке ~р — т,~~г к некоторой непрерывной функции ср. Так как все функции последовательности (21) принадлежат семейству Я„то и функция ~ принадлежит ему (см. (15)).
Покажем, что функция ср удовлетворяет уравнению (7). Для этого заметим, что последовательность Асрм Асрп ..., Асрс, равномерно сходится к функции Аср,' действительно, мы имеем: ~ )!. Аср — А срс й =-= 7с ~~ ср — срс (~ . Переходя в соотношении (23) к пределу при 1 оо, получаем: Итак, существование решения х=ср(Е) уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (3), доказано; лри этом установлено, что решение х = ср (1) определено на ннтервале ~ с — 1, ~ ( г, где г — произвольное число, удовлетворяющее неравенствам (14), (!7) и (20). Перейдем теперь к доказательству единственности.
Пусть х=ф(1) и х= у(1) — два решения уравнения (1) с общими начальными значениями р,, хь и г,(т(г,— интервал, являющийся пересечением интервалов существования решений ф и у; очевидно, что гс(рь(г,. Покажем, что если решения ф(Г) и у (г) совпадают в некоторой точке тс интервала г,(1(г„то они совпадают и на некотором интервале ( т — тс ((г„где г — достаточно малое положительное число, Положим х, =ф(1,) = у (тс); тогда величины 1„х, могут быть приняты за начальные значения обоих решений х = ф(1) и х=у(1). В этом смысле точка (т„хс) ничем не отличается от точки (т„хь), и поэтому мы сохраним за точкой (Т„х,) обозначение (р„хь): это позволит нам сохранить и другие прежние обозначения.
Переходя от дифференциального уравнения (1) к интегральному уравнению (4), мы получаем для обеих функций ф(т) и у(Е) интегральные равенства, которые в операторной форме могут быть записаны в виде: ф=Аф, у=АХ. (24) 160 !Гл. а теоремы слцаствовлний Выберем теперь, как и прежде, в открытом множестве Г прямоугольник П с центром в точке (Ем ха), а затем прямоугольник П, таким образом, чтобы число г кроме неравенств (14), (17), (20) удовлетворяло еще тому условию, что при ~Š— Е,~ »г функции ф и )( определены и удовлетворяют неравенствам !ф(Е) х ~ аа 1Х(Е) х 1» Это возможно, так как функции ф(Е) и )((Е) непрерывны. Тогда функции ф(Е) и у(Е), рассматриваемые на отрезке1Š— Е,)»г, входят в семейство Я„ и, следовательно, в силу неравенства (!6) и соотношений (24) получаем; И вЂ” Х1=1 4ф — М~~ 1ф — у1 а это возможно только тогда, когда 1ф — у '1= О, т.
е. когда функции ф и т совпадают на отрезке ~Š— Еа~ ~г. Докажем теперь, что функции ф(Е) и у(Е) совпадаю~ на всем интервале г,(Е (г,. Допустим противоположное, именно, что существует точка Ея интервала г,<" Е(гя, для которой ф(Ев) е:у(Ев). Ясно, что Еч ~ ем Для определенности будем считать, что ЕЯ >Е,. Обозначим через И множество всех тех точек Е отрезка Е, » Еа.:, »Еч, для которых ф(Е)=у(Е), и докажем, что множество Еч' замкнутО. В самом деле, пусть ти тм... — последовательность точек множества М, сходящаяся к некоторой точке т. Тогда ф(т,)=)((т,), и потому, в силу непрерывности функциИ ф и у, ф (т) = 13'и ф (тс) = 1ип ]С (тю) = Х (1) а-со Е-оэ т.
е. точна т также принадлежит множеству № Обозначим через Е, точную верхнюю грань множества № Так как Ф замкнуто, то Е, принадлежит этому множеству, т. е. ф(Е,)=у(Е,); следовательно, Е,< Еч. Но тогда, з силу ранее доказанного, функции ф(Е) н у(Е) должны совпадать иа ыекогором интервале (Š— Е,!(г, н точка Е, ие может быть точной верхней гранью множества № Таким образом, мы пришли к противоречию.
Итак, теорема 1 доказана. Пример Для весьма простого уравнения найдем решение методом последовательных приближений. решение будем искать с начальными значениями Ее — — О, хе=1. случлгт ИОРмАльнои системы уРлвнгнии Соответствующее интегральное уравнение запишется в виде: у(6) =1+ $ ср(~) <Й, о Будем строить теперь последовательность ~о т'1 °" Вп Мы имеем: 9о(1)= 1> Т1 (О = 1 + 1 ~1~ = 1 + г, о ~.<О =1-~- ! О + )~.=1+ ~+ —,', ~'. о с р <о =1~- ~ (~ Чт + —,', "! и =1+ в+ ' ( + ' г', о -(') = '+'+ 2! '+ з! '+ "+ — ! '" ! а 1 1 Пределом этой последовательности (равномерно сходящейся на любом отрезке числовой оси) является функция у(1)=е'.
ф 21 Йоказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений Здесь будет доказана сформулированная в й 3 теорема 2 существования и единственности для нормальной системы уравнений х'=~'(1, х', х', ..., х"), 1=1, ..., л, (1) правые части ~'(1, х', х', ..., х") которой вместе с их частными д)!(г, ~', ..., х") производнымн ' ' "' ', 1, 1=1..., и, определены и дх! непрерьпшы на некотором открытом множестве Г пространства перемепнык 1, х~, ..., х".
Полагая х=(х', ..., х"), (2) ~(1, х) =(~'(1, х), ~1(1, х), .", 1"(1, х)), мы перепишем систему (1) в векторной форме (ср. $1'1, А)): х=~(1, х), 6 По тряьов Л, С. 162 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ [Гл. 4 )Аоказательство будет проводиться в векторной форме методом последовательных приближений и будет представлять собой почти буквальное повторение доказательства теоремы 1, данного в предыдущем параграфе. Кроме доказательства теоремы 2 здесь будет дано доказательство теоремы 3, также методом последовательных приближений, но несколько видоизмененным по сравнению с доказательством теоремы 2. Вспомогательные предложения Для того чтобы непринужденно пользоваться векторными обозначениями, установим прежде всего некоторые естественные определения и простые неравенства для векторов и векторных функциИ. Длина или модуль [х~ вектора (2), как известно, определяется формулой [х[ — — + 1г(х')'+ ...
+(х")'. Известно и без труда доказывается, что если х и у суть два вектора, то имеет место неравенство [х+у~~~х~+~у). Из этого неравенства следует аналогичное неравенство и для произвольного числа векторов Хн ..., Хп именно: !х,+ ... +Х,~~~х,~+ ... +~х,~. (4) ф(()=~ ч ('И' аадав компоненты ф'(г), ..., ф" (1) вектора лр(г) формулами г ~~'(с) = ~ ~'(т) <Й; при этом имеет место неравенство !~ т(т) (!~[[~ ~ р()1~ !.
(б) Пусть гр(1)=(у'(1), ..., у" (т)) — непрерывная векторная функция действительного переменного 1, т. е. вектор, координаты которого являются непрерывными функциями переменного т. Если функция ~р(г) определена на интервале г,(1с гм то при г,< С„(гя на том же интервале можно определить векторную функцию слу'!АЙ нОРмАльнОЙ системы уРАВнений Ф тс! Для доказательства этого неравенства разобьем отрезок интегрирования на т равных частей, положив: Ь = — "; 1А — — 1я + /с Ь, А = 1,, ° ссг (число Л будет поло!кительным при 1) 1„и отрицательным при! г(1,).
Тогда согласно определению интеграла от векторной функ. пии и в силу (4), мы имеем: с сс! ис ~~ ф(т)йт~=~ 1)п! '~ ф(1 )Ь))~ 1)п! '!ьч )ф(с„)!.1Ь~— сл ссс 30 ссс - О:э =~ ~ ~ ф(т)~ гЬ ~ са Установим еще одно неравенство для аесгторной фусссгцсссс К(х)=М'(х'...,, х"), ..., "(-', ..., )) векспорссого перемессного Х, заданной на выпуклом множестве А прфстранства переменных х', ..., х". Предположим, что имеют место неравенства: ~у(х) — л (у) ~ (л'К~х — у1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
