Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Кроле того, смешанные частные производные (С,)А), < 1, ..., и,)< — 1,...,С, дз д< д)АА определены, непрерывны и не зависят от порядка дифференцпрованпя на всел< множестве 1: д < 1!.о каза тельство. Лля нахождения производной — А мы вы- дР числим разность ~<(С,)А,) — ф(С,)А<). Так как функция <р(С,)з) удовлетворяет уравнению (2), то вычисление этой разности естествеш1о связано с вычислением разности У (С, Х, )Аз) — У< (С Х 1А ) 18В теоРеиы сушествовлпия 1гл 4 (б) Поэтому па всем отрезке г,==-1- г, имеют место неравенства ! гр(г М1) гр(т М")1(а ~Ф(г Мд гр(г* М )~(а. Таким образом, когда 1 пробегает интервал г, ~ 1< г,, точки (1, гр(1, М,), М,) и (1, гр(1, М,), М,) описывгнот кривые, целиком располоз;енине в открытом множестве Ь.
Применяя лемму Адамара к разьюсти У'(1 Ч (1 Мя) Ма) — У'(1 Ф(1 М ) М ) Последнюю разность мы вычислим с помощью леммы Адамара, считая при этом, что С=1, и=(х, М), а(й, и)=У'(1, х, М). Для того чтобы применить лемму Адамара к этому случаю, прежде всего подходяшим образом выделим открытое множество А в пространстве переменных (й, и)=(1, х, М), выпуклое по паре переменных х, М. При этом мы будем иметь своей целью доказательство существования и непрерывности производных в окрестности произвольной точки (1, Мя)множества Т. Перейдем к построению открытого множества б. Так как решение гр(1, М~) определено при 1=т', то существует такой отрезок г,=.1 =,г,, содержащий числа 1, и Гя внутри себя (т.
е, г,(1,(гм г~(Р(г), что Решение <Р(1, М") опРеделепо па этом отрезке. Когда 1 пробегает отрезок г~~1( г,, точка (1, <р(1, Мя),М*) описывает в открытом ьшожестве Г непрерывную кривую. Пусть а и Ь вЂ” два таких положительных числя, что множество всех точек (Г, х, М), удовлетворяющих условиям г~~1~гм ~х — ~р(1, М')~=-.=а, ~М вЂ” М*(~Ь, целиком содержится в открытом множестве Г. В силу предложения Г) $ 23 существует такое положительное число р, что 2 р ( Ь и при )М вЂ” Мм)(2р решение гр(1, М) определено нз всем отрезке г,~1(г, и па том же отрезке выполнено неравенство (гр(1,М)— — гр(1, М*) ((а. Открытое множество л определим теперь как совокупность всех т ~чек (1, х, М), удовлетворяюгцих условиям ,«(г„~х — р(1,М":К(а, ~М вЂ” М*~~(2р.
Очевидно, что открытое множество л выпукло по паре переменных (х, М), Лля вычисления производной — - обозначим через е„едшшчпый Ьр ди» вектор Амерпого пространства, направленный ио Ь-и оси. Пусть М,— некоторый вектор, удовлетворяющий условию М, — ц" )(р, и х— число, удовлетворяющее условию ~ -. ~ (р, Положим М, = М, + тга. Тогда оба вектора М, и М, удовлетворяют условию )М,— М" )(2р, (М,— Мв)(2р. $2«.] ДИФФЕРЕНЦИР»«ЕМОСТЬ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ 189 мы получим: Здесь функции Ь,', «=1, ..., и+Е, непрерывно зависят в силу леммы Адамара от величин»', «р(1, )»«), )»н «р(Ю, р,,), 1»«и, следовательно, в конечном итоге, от величии 1, 1»ь «(так как )»2=1»«+~в„, а величины «р(1, )»«) и «р(~, )»2) непрерывно зависят от 1, у»«и 2, )»я; см теорему 13). д т« Для вычисления производной — — а- нужно, очевидно, состанить д«а предварительное частное )' (т, )»и 2) = т (' 1«') т«(')» ),, Ф О, и перейти в пем к пределу при т О.
Подставляя в систему (!) ее решения х=«р(т, )»,) и х= «р(1, 1») и вычитая первое соотношение из второго, мы получаем, в силу (6): + Л + А (т, Й«, т), 1= 1, ..., и. (7) Эти соотношения верны при г«(т(га, !)»« — )»'о ~ < р, ! т/(р, т ~ О. Таким образом, функции 'т'(г )» ) "«г'(«)» ) (8) при т ~ 0 удовлетворяют линейной системе дифференциальных уравнений о У = Х й,'(1, ) «, )Х'+ 1«'„+,(1, ) «,;) у=! с начальнь«ми услонпямп ,( « (Г ) 9 (Га )«о) 'Р (ао «»«) хо « о « Оо )»«~ т .— В то время как функции «р'(2, )»„т), 1=1, ..., и, определены лишь при « ~ О, сама система ураннений (9) определена и нри т=О, у'(г р(1 Ра) )»2) — У(1 «р(1 )»!) 1»«)= а« ,'~ й~(1 )» ) (р'(1 ) 2) — «р'(1* )»«))+ у= 1 + ~', й'„«а(1, 1»«, ) (р," — 1",).
(6) 190 творимы существования 1гл. а причем правые части ее заданы и непрерывны на открытом множестве, которое описывается неравенствами ,< Е(г,, ~)а,— ц ~с р, 1т)<р. (!0) Так как система (9) линейпа, то в силу теорем 3 и 13 эта система имеет решение у =Х'(г Р ') " у =)("(т Р~ ') (1! ) с начальными значениями („0, определенное и непрерывное на всем открытом множестве (10). Согласно теореме единственности (теорема 2), ца всем открытом множестве (10) при т ф О справедливы равенства Ф (г Рп )=Х (г !ьп ) 1=1 и. Но правые части равенств (11) определены и непрерывны на всем открытом множестве (10), включая и значения т = О. Поэтому, переходя в равенствах (11) к пределу при т -+ О, мы получаем: дтпл (г 1'~1 ° г '„' ' =11ш У ((, ьтп г)=1йп у'(Г, Гьь т)=)('(Г, рп О). (12) др т 0 м О Так как правая часть этого равенства определена и непрерывна на открытом множестве г<.
(с пм ~и,— р,*~(р, (13) то на всем этом открытом множестве частная производная др.", определшш и вепре(.ьшпа. Б частности, оиа определена и непрерывна в некоторой окрестности точки (Р, р,*). Так как, далее, функции у'=у'(1, )ьь 0), 1=1, ..., и, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (9) при т=О, то этой же системе уравнений удовлетворяют и функции д.г'(1, и,1 У = д а ддГд — '"" (г Р~) . д1~д,ь гр, ' (14) Подставляя в систему (1) ее решение х'=~р'(т, 14), 1=1..., п, заведомо определенцсе па открытом множестве (13), мы получаем: — '- —,' — '-=-Г(1, Х((, М, р~), др'(г, ц,) дт т=1, ..., п.
(! 3) Таким образом, все эти функции на открытом множестве (13) обладакгг пепрерьпьными частными производными по Г. Иначе говоря, на открытом множестве (13) существуег и непрерывна смешанная про- изводная $241 диФФеРенциРУемость по нАЧАчьным знАчениям 191 Так как функции гр'(~, р,,), /=1,...,гг, в силу доказанного имеют непрерывные частные производные по 1г", на всем открытом множестве (13), а правые части системы (1) имеют непрерывные производные по переменным х', ..., х", р.', ..., р', то правые части соотношений (15) имеют непрерывные частные производные по р," на всем открытом множестве (13). Таким образом, и левые части соотношений (15) имеют непрерывные частные производные д ~дуг(г,гг,) др.ь гг дг . (16) на открытом множестве (13).
Итак, обе частные производные (14) и (16) непрерывны на открытом множестве (13), а потому в силу известной теоремы анализа они совпадают между собой на этом множестве. Так как точка (г*, )ьь) принадлежит открытому множеству (13), то доказательство теоремы 16 этим полностью завершено.
Дифференцируемость по начальным значениям Мы будем рассматривать ту же самую систему дифференциальных уравнений хг=,7г(1, х', ..., х"), 1=1, ..., и, (17) что и в й 23(см. й 23, формула (14)), правые части которой опредедгг лены и непрерывны вместе с их частными производными — - на некодху тором открытом множестве Г пространства 7с переменных 1, х',, „, х".
11усть — векторная запись системы (17). В отличие от й 23, мы будем считать переменным лишь начальное значение й неизвестной функции х, а начальное значение т переменного 1 зафиксируем, положив ч = Еь. Дифференцируемость решения по 2 в дальнейшем не используется, а для того, чтобы она имела место, система (17) должна удовлетворять дополнительным условиям (непрерывная дифференцируемость правых частей по 1). Т е о р е и а 17.
Пусть р(г, ггь В)=гр(г а)=й (г В), ... Р (г В)) — непродолжаемое решение уравнения (18) с начальнылги значениями 1„$. Оз теоремы 14 непосредственно следуепг, что функция гр(1, $) оггределена и непрерывна на некотором отгсрытОЛг МНОжЕСтВЕ Б' В ПРОСтРаНСтВЕ ПЕРЕМЕННЫХ 1, (г, ..., 4гг. 192 тгог имы существования [Гл.
4 кроме того„на эгполг множестве непрерывг<ьг и не зависят от порядка дифференцирования смегаанные частньге производные д'-'рг (й $) дг д:-г Йо к а з а тел ь с та о. Еонструкцпя, данная в предложении В) ГЗ 23, сводит доказательство к теореме 16. Так как правая час~ь уравнения (19) й 23 имеет непрерывные частные производные по всем переменным у', ..., у", Р, ..., 4", то, в силу теоремы 16, частные производные д" г(г, г„й) 1, 7'=1..., и, дЫ функций )г (см. й 23, В)) определены и непрерывны на всем открытом множестве Я' и на нем же непрерывны и не зависят от порядка дифференцирования смешанные частные производные д-'фг (е, с„ф) Лалее, так как решение гр(у, й)=-гр(г, гм й) определяется через решение тр(1, (4, й) по формуле (23) 9 23 пргг т=Гм то из найденных свойств функции фг (1, 1„, й) вытекают соответствующие свойства функций ~'((, й), указанные и формулировке теоремы 17. '!'еоремы 16 и 17 мокнут быть обьедипены в одну: Теорема !8. Предположгглг, что правые гаспги системьг (1) на вселг оигкрыигом мноэссесигве 1' имеют непрерывньге производные ио паралгегпра.и р.'...,, р.'.
Пусть гР(г, ь, )г) = (7г (г, й, и)...,, 7" (г, $, )г)) — непродолжаелгое региение уравнения (2) с начальны.чи значениями 14, й. 7огда фунгсция гр(К, $, )ь) определена на иекогггором оигкрытолг множестве 1' пространства перелгенных 1, й, гг и непрерывна на нем (см. теорему 15). Оказывается, что частные производные ~рг(Д я )г) дзг(С я )г) дРУ ' дг" 1,7'=1, ..., и; юг=1, ..., (, определены и неггрерывны на всем оигкрытом множесгпве 1'. 7д~о,гсе пгого, слгеиганные частные производные д-'тг(й я, )г) д"тг(С, а, и) дс дс/ ' дг дг." Оказывается, что на всем лснозгсесгггве Я' существггют и нсгггиерывны частные производные дтг(г Ф). 6 я т41 дпФФеРенциРУемость по нАчАльным знАчениям ' 193 определены, непрерывны и не зависят от порядка дифференцирования на всем мнозкестве Г. Эта теорема доказывается так же, как теорема 17, — путем замены переменных (17), (18) $23 (при т=т,) и последующей ссылка на теорему 16.
У равнения в вариациях Иногда бывает нужно получить некоторые сведения о производных решения ф(1, р) уравнения (2) по параметрам !А» при фиксированном значении р,=р,*. Оказывается, что для этого нет надобности искать решение ф (1, р,) уравнения (2) при переменном 1А и затем дифференцировать его по !»», а можно получить эти сведения из рассмотрения некоторой системы линейных дифференциальных уравнь ний.
Аналогично обстоит дело и с изучением производных решения ф (1, й) уравнения (18) по начальным значениям $~ при фиксированном Ц=хи. Б) Пусть ф(1, !ц)=ф(1, р), ..., гр" (1, !ц)) — непродолжаемое решение уравнения (2) с начальными значениями 1„х„и пусть т,«1«~та — интервал его определения при фиксированном значении !ц=)А*. Если частные производные — е правых частей системы ду' дн (1) непрерывны в области Г, то, в силу теоремы 16, частные произ- водные В силу теоремы !3, функции У'.(1) и д'(1) переменного 1 определены l и непрерывны па всем интервале т,«1«тм Система линейных уравнений и У'= ~ 1,'(1)у'+а,'(1), (!9) у=! определенная иа интервале т,(1< тм называется системой ур авн е н и и в в а р и а ц и я х (по параметрам) для системы (1) при р = 1А'.
Оказывается, что система функций у'=Ф'(1) " у"=Ф»!1) (б) 7 Погггригии Л, С, вычисленные при 1» = 1»и, определены н непрерывны как функции 1 на всем интервале т, «' 1< лт,. Положим: Я~(1 х 1»)= д ~' "' ~,'(1)=У,'(1. ф(1, )»"), 1А'), г,'гг т. и)= — ф-'-" —; г~гз=г!гг тг«и'т и'г 194 1гл. 4 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ является решением системы уравнений (19) при начальных условиях ~,(г,)=0.
(2! ) Для доказательства предложения Б) подставим в систему (1) ее решение х гр(1, )ь). Мы получим тождество дт (22) В силу теоремы 16 обе части этого тождества имеют производную по рь при )А=)ь~, определенную на всем интервале т,(1(т„ причем д др (Г, р) д дч'(Г, р) дня дг дг дн" Дифференнируя тождество (22) по р~ при н=)А~, мы, в силу сказанного, видим, что функнии (20) составляют решения системы (19), Для получения начального условия (21) достаточно продифференнировать по !А~ начальные условия т (го )А)=Х, Таким образом, предложение Б) доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
