Л.С.Понтрягин - ОДУ (947550), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В 28. Предельные циклы В этом параграфе будет определено и до некоторой степени изучено понятие пред ель ног о цикла, введенное великим французским математиком Пуанкаре, а также дан один критериИ, позволяюьциИ в некоторых случаях установить сушествование предельного цикла. Понятие предельного цикла играет важнейшую роль как в самой теории обыкновенных дифференциальных уравнениИ, так и в ее приложениях к технике. Мы будем рассматривать нормальную автономную (см.
$ 15) систему уравнении х'=г'(х'...., х"), 1=1,,„, л, (1) правые части которых определены и имеют непрерывные частные ду' производные — на некотором открытом множестве Ь фазового продх/ странства )т переменных х', ..., х", Мы будем пользоваться также векторноИ записью этой системы; х=у(х), (2) Все наиболее сушественные построения этого параграфа будут относиться к случаю и = 2. Чтобы подчеркнуть двумерность, мы будем говорить о фазовов плоскости Р системы (1), а не о ее фазо- 225 $2а1 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ вом пространстве Я.
При рассмотрении фазовой плоскости будут играть существенную роль геометрические построения, обладающие большой наглядностью. Случай, когда открытое множество Ь совпадает со всей фазовой плоскостью Р, отнюдь не является тривиальным, и для простоты можно сосредоточить все внимание на нем. П редел ьны и цикл и поведение траекторий вблизи него Предельным циклом уравнения (2) (и = 2) называется изолированное периодическое решение этого уравнения. Более полно, пусть х = ср(т) — периодическое решение уравнения (2) и К в описываемая этим решением замкнутая кривая в плоскости Р, Решение х= фр(~) (а также траектория К) считается изолированным периодическим решением и называется предельным циклом, если существует таков положительное число р, что, какова бы ни была точка й плоскости Р, находящаяся от кривой К на положительном расстоянии, меньшем чем р, решение уравнения (2), проходящее через точку й, не является периодическим.
Сказанное означает геометрически, что в фазовой картине уравнения (2) на плоскости Р вблизи замкнутой траектории К не проходит других замкнутых траекторий этого уравнения. Вопрос о том„ как ведут себя траектории уравнения (2) вблизи предельного цикла К, решается следующей теоремой. Те о р ем а 20. Пусть х=~(() — предельный цикл уравнения (2) (и=2) и К вЂ” замкнутая траектория, описываемая атим решением на плоскости Р. Замкнутая кривая, как известно, разбивает плоскость на две области; внутреннюю и внешнюю, а так как траектории уравнения (2) не могут между собой пересекаться, то каждая отличная от К траектория является внутренней или внешней по отношению к траектории К.
Оказывается, что как для внешних, так и для внутренних траекторий имеются две взаимно исключаюгцие друг друга возможности поведения вблизи К Именно, все внутренние траектории, начинаюгциеся вблизи К, наматываются на К, как спирали, либо при г-++ со (рис. 43, а), либо при т-+ — со (рис. 43, б). ?о же самое имеет место и для внешних траекторий (рис. 43, и, б).
Если все траектории (как внешние, так и внутренние), начинающиеся вблизи К, наматываются на К при 1-~-+оо, то предельный цикл называется устойчивым (рис. 43, а). Если все траектории, начинающиеся вблизи К, наматываются на К при 1-ь — со, то предельный цикл К называется вполне неустойчивым (рис. 43, б), в двух других случаях (т. е. если внутренние траектории наматываются на К при 1-+ — оо, а внешние — при ~ — э+со, или наоборот) предельный цикл К называется полуустойчивым (рис. 43, в).
3 Поятрягян Л. О. 226 УСТОЙЧИВОСТЬ [!'л. 5 Как само доказательство теоремы 20, так и более полное описание «наматывания» траекторий на предельный цикл опираются на понятие функции последования. Эта функция имеет наглядный геометрический смысл и без детального доказательства ее свойств может быть описана сравнительно коротко. Дадим это описание. Пусть К вЂ” замкнутая кривая на фазовой плоскости Р, соответствующая периодическому решению с периодом т, ги.
и. Пусть, далее, 1 — прямолинейный отрезок в плоскости Р, пересекающий кривую К, пе касаясь ее, в единственной точке а, внутренней для отрезка Е. На отрезке Е (точнее, на прямой, содержащей этот отрезок) обычным образом введем числовую координату. Координату точки а обозначим через им Через точку р отрезка Е с координатой п проведем траекторию уравнения (2) и будем двигаться по ней в направлении возрастания времени ~.
Геометрически ясно, что если точка р близка к а, то мы будем двигаться вблизи кривой К, и потому вновь и вновь будем встречать отрезок Е. Первая встреча произойдет через время, близкое к т, в некоторой точке д (рис. 44), координату которой мы обозначим 227 р «81 пРедел«»иые «1иклы нср«з у,(и).
Точно так же, если мы будем двигаться из точки р по тргектории в направлении убывания времени, то через время, близкое к я, мы впервые встретим отрезок Л з некоторой точке с; координату которой обозначим через у,(и). Обе фушщии )(, и (, непрерывны и азаири«о обратны, т. е. у (у»(и))=- . ул(Х. (и))= Действительно, если двигаться из точки «т в»аиравле«ши убывания времени, то мы в»ервые встретим отрезок С.
в «очке р, так ч«о у, (Уч(и))=и. Точно так же, при движепн» нз точки с' в направлении возрастаиня времени мы впервые встре- Са тим огрезок Л в точке р, т, е. 1 ,"(«(у, (и)) = и. функция у = у, пазы. вается функцией послвдовпиил; для дальнейгцего существенно, что она пе- и л прерывна и имеет непрерывную обратную функцию у ' =у и В действительности функции у и у ' имеют непрерывные производные (см. В)), ио это их свойство ие будет использовано при доиазательсгве теоремы 20. Приведенные здесь геометрические соображения наглядно достаточно убедительны.
Читатель, склонный удовольст«оваться ими, может ознакомиться с доказательством теоремы 20, ие читая предложений::.) и Б), и которых существование и свойства функции последовюгия доказываются строго. Л) Обозна»«и через «р(С, й) реьиен»е уравнения (2) с начальныки зна ениями О, й. Пусть С. — прямолинейный отрезок на фазовой плскостп Р уравнения (2), на котором введена числовая координата о, так что в параметрической форме отрезок задается линейным уравнение; г х=- и(ъ).
Донуса»сь что тоаекторня «р(С, с,) пересекает отрезок С. в его внутрен»=»«топ«е а с коорд»натой «а в момент вречепи Ср, так что «Р (Ср» ьр) = У (™р)» причем траектория «р(С, йр) в момент времени Ср не касается отрезка Е,. Существуют тогда такие положительные числа 3 и в, что: 1) нрн «$ — Ц р определены непрерывные функции СЯ) и т«ф), удовлет- воряющие условиям «гг (С,'ф), ь») = й («» (ьь))' С (ф«) = Ср» Ф (Яьр) = т«р', ) С (Яь) — Ср ~ ( «) (3) СС' 228 всто г ч|'„'.ость [Гл а 2) имеет место единственность; именно, если при ~ й — ~, ~ с~ о, ~Х вЂ” Х„;< а имеет место равенство сВ(Х, $) — В'(и) = О, (4) то велпчшпа ф, Х, о удовлетворяют условиям: Х=ХЯ), в=в(й). (б) Сказанное означает геометрически, что траектория, выходяшая в момент времени Х = 0 из точки й, близкой к ф„ пересекает отрезок Л в точке с координатой ъ(й)„ близкой к эм в моменг времени Х Я), близкий к Х„, причем пересечение это является единствспным на некотором интервале времени )Х вЂ” Х,~ с а, а функции Х(«) н и Д) непрерывны.
Следует ваметить, что траектория «р(Х, ф,) может пересекать отрезок Е не только в момент времени Хм ио и в некоторый другой момент времени Х„ причем точка пересечения может даже совпасть с а (этот случай имеет место, если тр(Х, $а) — периодическое решение), но функция ХЯ) (а возможно и п(й)), получаемая из рассмотрения пересечения в момент времени Хь будет, очевидно, отличаться от функции, получаемой из рассмотрения пересечения в момент времени Х,, Доказательство предложения А) почти непосредственно вытекает из теоремы о неявных функциях (см. 5 ЗЗ), примененной к уравнению (4), в котором $ считается независимой переменной величиной, в Х и и — ее неявными функциями.
При $=~, уравнение (4) имеет очевидное решение Х=.Х,, в=за. Для доказательства того, что функциональный определитель левой части уравнения (4) отличен от нуля в точке Я„, Х,, в,), запишем уравнение (4) в скалярной форме: р'(Х, ~) — у'(п)=0, Х=1, 2, (6) Производные от левых частей этих соотношений по Х в точке (ф„, Х„п,) дают компоненты вектора гр(Хь ьа); производные оа левых частей этих соотпошсний по в в той же то псе дают компоненты еХ7 (во) вектора — †" ' — .
Векторы эти линейно независимы, так как тра- ~ХО ектория <р(Х, фа) в момент Ха не касается отрезка Л. Следовательно, функциональный определитель системы (6) отличен от нуля в точке Дм Хм ва). Таким образом, теорема о неявных функпиях к уравнению (4) применима, и существует его непрерывное решение ХЯ), вЯ), определешюе на некоторой окрестности , 'й — Р, )(а и обращсюшееся в Хм и пр 4=1,. В силу второй части теоремы существбвания неявных функций, найдется такая окресчпость У точки Д„, Х,, па) в пространстве переменных й, Х, и, что всякая точка Д, Х, и) из этой окрестности, удовлетворяющая уравнению (4), удовлетворяет и уравнениям (6). 229 пявдсйьиьья циклы Ф в1 В отличие от того, что содержится в формулировке предложения А), эта едипствеппостгь в силу теоремы 27, имеет место, когда малы пе только величины ~ф — (в ) и ( 8 — гв1 но также величина ~ ю — ев!.
Для того, чтобы докгк ать единственность при малости только двух первых из указанных вел.;чин, покажем, что если эти две величины малы и точка (й, Г, э) уловлетьоряет услови1о (4), то величина ~е — ев! также мала. Окрестность У, в которой имеет место единственность и силу теоремы 27, можно задать неравенствами ~ — %в!«=а, 1à — Гв 1 (в, 1~ — э„~ (Р. Из предложения Г) Э 23 следует, что при достаточно малом В иа всем интервале времени ~г — г„((в имеет место неравентство !<Р(А $) — гр Р ьв) ~ < Т, где Т вЂ” наперед задапшое малое число. Таким образом, точка пересечения траектории гр (г, ~) с отрезком е при ~ф — й„)« 'о, ~à — гв~(е лежит тем ближе к отрсзку траектории гр(Г, 5в) (~г — гв~ ~в), чем меньше Ь, и потому малость координаты тг этого пересечения обеспечивается достаточной малостью числа Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
