Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ф 11! САМОСОПРЯЖЕННЫй ОПЕРАТОР В алгебраической форме теорема !1.З может быть сформулирована в следующем виде: для любой симметричной матрииы А суп(ествует ортогональная матрица Р, такая, что Р'АР есть диагональная. Действительно, матрицу А можно считать матрицей некоторого самосопряженного оператора А в ортонормальном базисе. В базисе, составленном иэ нормированных собственных векторов, матрица Л оператора А будет диагональной.
Следовательно, Л =- Р 'АР, где Р матрица, составленная из компонент нормированных собственных векторов. Матрица Р ортогональна, так что Р = Р' и Л =Р'АР. Диагональные элементы матрицы Л являются собственными значениями матрицы А. Непосредственным следствием проведенной экстремальной конструкции является следующая теорема. Теорелга 11.4. Пусть Л, ) 'Л, > ... ) ),„собственные значения самосопряженного оператора А, Х,, ..., Х и.ч принадлегюаи(ие попарно ортогональные собственные векторы. Тогди (АХ, Х) (Ах. Х) (АХ, Х) х —:-хь-г Очевидно, что проведенное построение собственных значений и принадлежащих им собственных векторов можно видоиз ~енить, вычисляя вместо последовательных максимумов отношения (Ах. х) (Х, Х) послеловательные минимумы этого отношения. При таком построении собственные значения определяются в порядке их возрастания. Поэтому верна следующая теорема.
Теорема 11.б. Пусть Л, > Л, )~... > Л„собственные числа самосопряженного оператора А, Х,, ..., Х„соответствующие им попарно ортогональные собственные векторы. Тогда (АХ, Х) Л„= пцп хив (АХ, Х) х х х(х„( ) (АХ, Х) ш)п (Х Х) х ьх„ х 1 х„, 104 основныв сведения из линейной АлГеБРы (гл. 1 4. Инвариантные надпространства самосопряженного оператора. Пусть Л,) Л,) ... ) Л, собственные значения самосопряженного оператора А с кратностями л,, и,, ..., л,.
Как было показано, в прострзнстве может быть построен базис из собственных векторов оператора А, причем число бззисных собственных векторов, соответствующих собственному значению Лн равно его к(агностн ло Обозначим через Р; подпространство, натянутое на базисные собственные векторы, соответствующие значению )ч.
Подпространства Р,, ..., Р, в силу построения взаимно ортогональны, и все пространс~во К есть прямая сумма подпространств Р,...., Р,. Очевидно, что каждый вектор надпространства Р, есть собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению )ч. Обратно, каждый собственный вектор, принадлежащий собственному значению Ло принадлежит Р,, т. е .Р, есть совокупность в с е х собственных векторов, принадлежащих Ло Действительно, пусть АХ = Л;Х. Разложим вектор Х по подпространствам Р; Х=Х,+ ...
+Х;+ ... +Х„Х Е Рр Тогда АХ.=Л;Х=)чХ,+ ... +)чХ;+ ... + Л,Х,. С другой стороны, АХ = АХ) + ... + АХ; + ... + АХ, = =Л,Х,-+ ... +Л,Х, + ... +).,Х.. В силу однозначности разложения любого вектора по подпространствам Р„имеем )чХ, =- ЛаХ при всех у, и, следовательно, Х .=0 при у чь (, т. е. Х=Х,~ Рн Отсюда вытекает следующее важное свойство собственных векторов самосопряженного оператора А. Собгтввнные векторы самосоиряженнозо оиератора А, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. Действительно, они принадлежат к взаимно ортогональным подпространствам.
Это свойство собственных векторов легко доказать н непосредственно без использования экстремз.чьной конструкции, нбо если Х; и Х собственные векторы, принадлежащие')ч и Л; и л;Ф )тн то (Л ?у)(Хч Х ) () Ху Х ) (Х ЛгХг) =(АХн Хз) — (Хн АХ)) =(АХн Х,) — (АХн Хз) = О, откуда (Хо Ху) = О. Замечание.
Очевидно, что надпространства Р; являются корневыми подпространствами для самосопряженного оператора А, Таким образом, все корневые векторы для самосопряженного оператора являются просто. собственными векторами. Поэтому минимальный 105 сАмосопРЯжвнный ОпвРАтОР 5 1!1 полинам для самосопряженного оператора имеет только простые корни. Из разложения пространства )ч в прямую сумму надпространств Р,, ..., Р, и из экстремальных свойств собственных значений сал»осопряженного оператора (теорем 11.4 и 11.5) непосредс~венно следует справедливость следующих теорем.
Теорема П.б. Если Л, ) Ла )...,з Л, попарно различные собственные числа оператора А и Р,, ..., Р, соответствующие из» надпространства собственных векторов, то (АХ, Х) Л,=ах (ХХ) хмв (АХ, Х) х (Х 'Х) (АХ, Х] (х 'х) Хье,ч... чР Теорема П.7. Если )., ) ... ) Л, попарно различные собственные кисла оператора А и Р,, ..., Р, соответствующие им подпространства из собственных вен»порол, то (АХ, Х) (АХ, Х) — (Х, Х) ХЗ Р, (АХ, Х) Ль = т»п х 1 и„.. чезч, (Х, Х) Строение инвариантных иодпространств для самосопряженного оператора более просто по сравнению с общим случаем.
Действительно, пусть Т какое-либо инвариантное подпространство. Оператор А, нндуцированный оператором А на Т, будет, очевидно, самосопряженным н, следовательно, в подпространстве Т существует базис, состоящий нз собственных векторов оператора А. Но каждый собственный вектор оператора А есть в то же время собственный вектор для оператора А. Таким образом, л ю б о е и н в а р и а н гное надпространство самосопряженного оператора натянуто на некоторую систему собственных вект о р о в. Далее, подобно всему пространству надпространство рззлагается в прямую сумму надпространств Т», состоящих из собственных векторов, принадлежащих собственному значению ЛР Ясно, что Т»=ТПРО !Об основныя сввдяния из линейной АлГеБРы [гл.
г Всли Х~Т и Х=Х,+ ... +Х, есть разложение Х по подпространствам Ро то все Х; ~ То Действительно, Т =- Т П Р, + ... ... + Т П Р, и, следовательно, имеет место так же разложение Х = Х, + ... + Х, где Х, ~ Т П Ро В силу однозначности разложения вектора Х по подпространствам Р; все проекции Х, совпат дают с Хо Но Х, принадлежат Т. Строение циклических надпространств опясывзется теоремой.
Теорема 11.8. Пусть Хо произвольный вектор пространства В. Тогда циклическое подггросогранство д,гя сомосопряженного опвритора А, порожденное ввгстором Ха, есть подпрослгранство, натянутое на ненулевые проекции вектора Хо на подпросгпранства Рп ..., Р,. Эта теорема является непосредственным следствием более общей теоремы 8.2. Мы, однако, приведем ее независимое доказательство, Пусть ьг циклическое подпространство, порожденное вектором Х„, и пусть Хв — — Ха,+' .
+Ха Ха,бра, разложение Х, по подпространствам Р,, ..., Р,, причем в атом разложении удержаны лишь отличные от нуля проекции. В силу сказанного выше все Хги ..., Ха, принадлежат ьг и, следовательно, натянутое нз иих подпространство Я' содержится в ь1, Но ь)' инварнзнтно, ибо оно натянуто на собственные векторы Ха,, ..., Х», и ьг' содержит Хо. Следовательно, Я~Я' и потому Я.=Я'. б. Положительно-определенные операторы. Среди всех само- сопряженных операторов особо важную роль играют положительно- определенные операторы. Самосопряженный оператор А называется положительно-определенным если для любого вектора Х, отличного от нуля, (АХ, Х) > О.
Из определения следует, что ядро положительно-определенного оператора состоит только из нулевого вектора, так что положительно-определенный оператор не вырожден и, следовательно, для него существует обратныц оператор А Матрица положительно-определенного оператора в ортонормальном базисе положительно определена, и обратно, оператор с положительно-определенной мзтрицеи в ортонормальном базисе положительно определен. Леиствительно, (АХ, Х) есть квадратичная форма от координат вектора в ортонормальном базисе, матрица которои совпадает с матрицея, сопоставляемой оператору в том же базисе.
Отметим ряд интересных свойств положительно-определенных операторов. Теорема 11.9. Если А и В положительно-определенные операторы, то оператор с,А+ сгВ положительно определен при с, ~ О, с, ) О. Иначе, положительно-определенныв операторы образуют выпуклый конус в пространстве операторов.
107 ф ! 1) САМОСОПРЯЖЕННЪ|й ОПЕРАТОР Доказательство. Имеем ((с,А+сгВ)Х, Х)=с,(АХ, Х)+ +с,(ВХ, Х) ) О при Х чь О. Теорема 11.10. Если оператор А положительно определен, то оператор А ' тоже полозкительно определен. Действительно, (А 'Х, Х)=(А Х, АА Х)=(АУ, У)) О Здесь У = А 'Х. Теорема 11.11. Все собственные значения положительно- определенного оператора положипьельны.
Действительно, если ); собственное значение положительна-определенного оператора А и Х соответствуюпгий этому собственному значению собственный вектор, то АХ=),Х и (АХ, Х) (Х, Х) Теорема 11.12. Если А положительно-определенный оператор и С любой невырожденный оператор, то С"АС положительно определен. Действительно, (С*АСХ, Х) = (АСХ, СХ) ) О, ибо при Х гь О вектор СХ+ О. В частное~и, отсюда следует, что для любого невырожленного оператора С оператор С*С положительно определен. Теорема 11.13.
Для любого положительно-определенного оператора А существует поломсительно-определенный, квадратный корень" А ', т. е. такой положительно-определенный оператор В, что В'-.= А. Действительно, пусть )ч, ..., ),„собственные значения оператора А и Х,, ..., Х„попарно ортогональные собственные венторы, им принадлежа|цие. Тогда АХ; = )чХ| (|' = 1, 2, ..., и). Определим опе- РатоР В, положив ВХ| — — (г)чХ| и линейно РаспРостРанив опеРатоР на все пространство. Тогда В'Х; =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
