Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В этом и только в этом случае минимальный полинам матрицы совладав~ с характеристическим. В 8. Строение инварнпнтных подпространств 1. Строение инвариантных подпространств общего вида. Теорема 8.лг. Любое инвариантное надпространство есть прямая сумма пересечений етого подпространалеа с корневыми. Доказательства. Пусть Т какое-либо инвариантное подпространство. Обозначим через Т; пересечение Т с корневым подпространством Ро Очевидно, что подпространство Т; инвариантно.
Покажем, что надпространство разбивается в прямую сумму надпространств , Т„где в есть число различных собственных значений оператора. Включение Т,+ ... + Т, с= Т тривиально, ибо все Т; 1= Т. Сумма Т,+ ... + Т, прямая, так как Т; входят в подпространства Р,. 88 основныя свидания нз линяйной алгяввы 1гл. ! Докажем теперь обратное включение Т с= Т,+Т,+ ...
+Т,. Пусть Х~Т. Разложим Х по корневым подпространствам Х=Х,+Х,+ ... +Х,. Тогда, как мы видели, ') Х; ~ Т и, следовательно, Х; ~ Т П Р; = — Т;. Тем самыьь требуемое включение доказано. Заметим, что некоторые из Т, мокнут быть и нулевыми подпространствами. Из доказанной теоремы следует, что всякое инвариантное подпространство есть прямая сумма инварнантных подпространств, содержащихся в корневых, 2. Строение циклического надпространства. Теорема 8.2. Пусть Хе произвольный вектор пространство К и ьг циклическое подпространство для операльора А, порожденное веклгором Хв. Тогда Я есть прямая сумма циклических надпространств, порожденных проекциями вектора Х„на корневые надпространства, Доказательство. По теореме 8.1 О есть прямая сумма надпространств Я; = () П Рь Разложим вектор Хе по корневым подпространствам Х„=Х,+ .
+Х,; Х;ЕР. Тогда циклические подпрострзнства Яо порожденные векторами Хь, входят соответственно в ()о а их прямая сумма Я' входит в ь). Но (в', очевидно, инвариантное. Следовательно, ()'=(е и все (1;=ь1ь при 1=1,2,..., з. Пусть высота вектора Х; равна Л. Тогда векторы Хп (А — )чЕ) Хо ..., (А — >чЕ)8 Х; линейно-независимы и порождают инвариантное надпространство, которое совпадает с Я, вследствие минимальности Яо Следовательно, этн векторы образуют базис Ц, и потоььу размерность Я; совпадает с высотой уь вектора Хо Отсюда непосредственно вытекают следующие теоремы. Теорема 8.8.
Размерность циклического подпространства оператора А, порожденного вектором Х, равна сумме высот проекций порождающего вектора Хь на корневые подпространства. Теорема 8.4. Минимальный аннулирующий Хв полинам равен (1 — Л,)У ... (à — Л,)' . Действительно, этот полинам, очевидно, аннулирует все проекции Х,, ..., Х, . вектора Хе. Обратно, если 0 (А) Хв = — О, то 0(А)Х, = ... =0(А) Х, =О. Но полинам наименьшей степени, аннулирующий Хо есть (г — )ч)" С ибо (А — Л,Е)" ' ХчФО.
ь) Замечание к теореме 7.6. 2 9] ОРТОГОНАЛЬНОСТЪ ВЕКТОРОВ И ЛОДИРОСТРАНСТВ 87 Из теоремы 8.4 следует, что для любого делителя е(1) минимального полинома оператора А найдется вектор Хе, для которого этот делитель будет минимальным аннулирующим полиномом (теорема Лузина — Хлодовского) '). ибо в иодиространстве Р; существуют векторы с любой высотой от О до т; включительно.
5 9. Ортогоиальвость векторов и подлространств 1!астоящий параграф, а также н параграф 1О посвящены описанию свойств эвклидова и унитарного пространств. Ввиду нолного параллелиама теории, мы будем излагать фак~ы н их доказательства в терминах и-мерного унитарного пространства, лелая в случае надобности оговорки, касающиеся специфики пространства Эвклида. 1.
Ортогональные системы векторов. Два вектора пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Система векторов называешься ортогональной, если любые два вектора системы ортогональны друг другу. В последующем, говоря об ортогональной системе, мы будем всегда предполагать, что все векторы этой системы отличны от нуля. Теорема У.г. Векторы, образующие ортогональную систему, линейно-независимы. Локазательстао. Пусть Х,, ..., Х„ортогональная система н пусть сХ,+ ... +с Х;+....
+ СВХА= О. В силу свойств скалярного произведения имеем 0=(с,Х,+ ... +с;Х;+ ... +с„Х„, Х;) = = с,(Х,, Х)+ ... +с;(Хн Х )+ ° .. +са(Хю Х ) =с;1Х;[' и, так как [Х,[г) О, с;=0 при любом 1=1, 2, ..., и. Таким образом, единственно возможными значениями для с,, с,, ..., с„ в равенстве с,Х, + ° .. + с„Х„= О являются с, = с, =... = сл — — О, т.
е. векторы Х,, ..., Х„линейно-независимы. О~сюда вытекает, во-первых, что число векторов, образующих ортогональную систему, не превышает и и, во-вторых, что любая ортогонзльиая система нз и векторов образует базис пространства. Такой базис называется о р т о г о н а л ь н ы и. Если, кроме того, длины всех векторов ортогонального базиса равны единице, то базис называется о рто норм а л ь н ы м. В арифметическом пространстве, в котором скалярное ироизведение введено по формуле (Х, т') = ~~'., х;ун естественный базис г-т ео ..., е„ является ортонормальным. а) Н. Н.
Лузин [1], [2], И. Н. Х лодо век на [1]. оснозныи свидания из линвйной алгиагы (гл. 1 От любой системы линейно-независимых векторов Х,; .... Хь можно перейти к ортогональной системе векторов У,, ..., Уь посрелством так называемого процесса ортогонализации.
Этот процесс описывается следующей теоремой. Теорема У.2. Пусть Х,, ..., Хв линейно-независимы. Тогда молсно построить ортогональную систему векторов У,, ..., Уь. свнзаннуа с исходной соотношенинми: У =Х Уя = Хэ+ амХг Уа = Хь+ аьгХ1+ ° ° + ам -1Хь-о Для доказательства проведем следующее индуктивное построение. Половкнм У, =Х . Допустим далее, что векторы Уо ..., У,в 1 уже построены и отличны от нуля. Ищем Ум в виде (2) Ум=Хе 7спУ,— . — 7в,я ~У,в-о Подберем коэффициенты 7„н, ..., 7 „,, так, чтобы (Увн У;) = О при,/=1, ..., т — 1. Это легко сделать, ибо ( * г) ( у) 7 ) ( , г) Но (У,, У )'+ О, так как У + О в силу индукционного предположе- ния и, следовательно, достаточно взять (Х„, У,.) 7 е= Подставив теперь в равенство (2) вместо У,, ..., Ум г их выражения через Х,, ..., Х,„,, получим окончательно Ум=Хм-+авпХ,-+ ... +а„,,Х Остается проверить, что У +О.
Но это очевидно, ибо иначе вектор Х„, был бы линейной комбинацией векторов Х,, ..., Х,„,. что противоречиг условию теоремы. 3 а м е ч а н и е. Линейная независимость векторов Х,, ..., Хв в процессе доказательства используется лишь для установления того, что каждый построенный вектор отличен от нуля. Поэтому, если процесс ортогонализации применить к системе линейно-зависимых векторов, то по холу процесса обязательно окажется построен нулевой вектор.
Это произойдет в первый раз точно на г-и шагу, если векторы Х,, ..., Х„, линейно-независимы, а вектор Х„является их линейной комбинацией. Поэтому процесс ортогонализации может в 9) огтогональность ввктогов и подпгостганств 89 применяться для проверки линейной независимости или установления. линейной зависимости данной системы векторов. От любой ортогональной системы векторов легко перейти далее и ортонормальной системе, деля каждый вектор системы на его длину.
Описанный процесс создает широкий произвол в выборе ортонормального базиса. Действительно, от любого базиса можно перейти к ортонормальному посредством ортогоналнзации и нормирования. Скалярное произведение двух векторов очень просто выражается через координаты этих векторов в любом ортонормальном базисе. Действительно, если Ц, ..., 0п ортонормальный базис и Х=~,и,+ ... +!„В„, ~=й,В,+ ... + )„и„, то (Х У) =11 1В1 т ° ° +зппп 1)1В1+ ' + 1)пЮ =Д;~До, „,.
у)=~ Еи,.—.„,П)п В,) ~Я,. С4) 1 11 1 3 11=1 1 1 Тзким образом, скалярное произведение выражается через координаты векторов в любом ортонормальном базисе по формуле, совпадающей с формулой, выражающей скалярное произведение векторов в арифметическом пространстве через компоненты векторов. Тем самым сопоставление каждому вектору столбца нз его координат в ортонормальном базисе дает отображение общего линейного пространства на арифметическое (комплексное для унитарного, вещественное для эвклидова) пространство, изоморфное не только по отношению к действиям сложения и умножения на число, но и по отношению н действию скалярного умножения.
2. Преобразование координат при изменении ортонормального базиса. Пусть ь)1...., 0п и В,', ..., Б' дза ортонормальных базиса. Покажем, что матрица преобразования координат при переходе от первого базиса ко второму будет унитарной матрнцей. если ц унитарное пространство, и ортогональной матрицей, если Д пространство Эвклида. Действительно, столбцами этой матрицы пн ° пщ п1 пппбЂ а ... а будут координаты векторов 0'„..., 0„' в базисе Вм ..., 1)п. В силу того. что Я, с)'.) =о,, где Зг,— символ Кронекера, и в силу ортонормальности базиса Ц, ..., 0„, имеют место соотношения ~~'.~ аьч па~ —— 6;) Ь 1 90 основныи свадиния из линвйной ллгезвы [гл.
~ (для унитарного пространства) и ~~ аагааг = в,у ьт (для эвклидова пространства). Это и означает, что матрица А унитарна (для унитарного пространства) или ортогональна (для эвклидова пространства). 3. Ортогонально-дополнительное подпространство. Вектор Х называется ортогональным к подпространству Р, если он ортогонален к юобому вектору, принадлежащему Р. Это обстоятельство записывается в виде Х ) Р. Два пространства называются взаимно ортогональными, если каждый вектор одного ортогонален к любому вектору другого.
Взаимно ортогональные подпространства не имеют общих векторов кроме нулевого. Действительно, вектор Х, принадлежащий двум взаимно ортогональным подпространствам, удовлетворяет условию (Х, Х) = О, из которого следует, что Х нулевой вектор. Совокупность всех векторов В, ортогональных ко всеи векторам подпространствз Р, образует, очевидно, подпространство (,), которое называется ортогонально-дополнительным подпространством к Р или его ортогональным дополнением. Построить это подпространство можно, например, следующим образом. Пусть подпространство Р имеет размерность р. Возьмем базис Р и дополним его до базиса всего пространства. К построенному базису применим процесс ортогонализации. Пусть Во ..., 0р, ()р,о ..., ()„получившийся ортогональный базис.
Очевидно, что векторы (),, ..., ()р образуют ортогональный базис подпространства Р. Покажем, что подпространство, натянутое на векторы Вв, ..., ()„, будет искомым ортогонально-дополнительныи подпространством (а. Действительно, если У~Я, то Е ортогонален ко всем ()о ..., ()р и, следовательно, в разложении Х = с,(), + ... +- ср() р+ ср,,()р ~, + ...
+ с„()„ коэффициенты со ..., ср равны нулю. Обратно, если Е = — ср „3)л,, +... + Сд() в, то Х ортогонален Во ..., ()р и. следовательно, Х ортогонален к любой их линейной комбинации, т. е. к любому вектору, принадлежащему Р, Из приведенного построения следует, что размерность у ортогонального дополнения равна и — р. Легко доказать, что ортогональное дополнение к ортогональному дополнению есть исходное надпространство. Действительно, пусть ье есть ортогональное дополнение к Р, Р, ортогональное дополнение к Я.
Из определения ясно, ч о Р <= Р,. Но размерности Р и Р, одинаковы. Следовательно, Р, = Р. $9] огтогонлльность ввктовов и подпгостилнств 91 Далее, из того же построения следует, что все пространство есть прямая сумма подпространства и его ортогонального дополнения. Действительно, объединение базисов этих подпространств есть базис всего пространства, Следовательно, любой вектор Х пространства К однозначно представляется в виде Х=Ч+Х, тле Ч~Р, Е ( Р. Вектор Ч называется ортогональной проекцией вектора Х на подпространство Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
