Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 13
Текст из файла (страница 13)
состоящее из нулевого вектора, суть инвариантные подпространства. Нетривиальными примерами инвариантных подпространств могут служить, например, подпространствз, натянутые иа один или несколько собственных векторов оператора А. Действительно, пусть Х,, ..., Х» собственные векторы оператора А и Р натянутое на ннх подпространство. Тогда любой вектор Х, принадлежащий Р, может быть представлен в виде Х = с,Хг+ .
° ° + с»Хы и потому АХ =-с,АХ,+ ... +с»АХ» —— с,~,Х,+... +с»)»Х» (среди чисел )ч, ..., )» мокнут быть равные). В случае, если все собственные числа оператора А рааличны, указанными подпространствами, как мы увидим далее, исчерпываются все инвариантные подпространства оператора. Другим важным типом инвариантных подпространств являются циклические подпространства.
Для определения этого понятия рассмотрим следующую конструкцию, Пусть дан вектор Хы Построим системУ вектоРов Хш АХ,, А»Хш ... Ясно, что в этой системе векторов когда-то в первый раз встретится вектор АЯХе, являющийся линейной комбинацией пРелылУших Хв, АХы ..., Ач 'Хш Циклическим подпространством ьа, порожденным вектором Хв, называется подпространство, натянутое на векторы Х,,АХы...,Ая Хв. Так как векторы Ха, АХв, .... Ая 'Хв линейно- независимы, то они образуют базис циклического подпространстза ьг и потому размерность (г равна показателю степени ~у.
Докажем теперь, что циклическое подпространство, порожденное вектором Хе, есть наименьшее инвариантное подпространство, содержащее Ха, т. е. что оно само инвариантно и что оно содерягится во всяком инвариантном подпространстве. содержащем Хз. кАВОническАя ФОРИА ЖОРНАИА Действительно.
пусть АЧХ = ТеХО+ ... +Т ,Ат Хе и пусть 'г'Е(). Тогда т =соХо+сгАХе+ ... +ст еА~ Хе+ля,АЕ ~Хе; Ат =сеАХо+с А Х,+ ... +сч-аА Хо+с„„гА~Хо = =сеАХе+с,А'Хе+ ... +сч аАЧ |Х + +с.— (ТоХо+ТгАХ + + Тя А' 'Х,)= =соХо+стАХо+ ... +се дА~ 'Хе~ (1. Тем самым инвариантность () доказана. Далее, пусть Я' какое-либо инвариантное подпространство, содержащее Хв.
То~да Х„~Ц'; АХ,~()', ..., Ач 'Х ~()' и, следовательно, (1 г. (1', что доказывает минимальность Я среди инварнантных подпространств, содержащих Хе. Отметим для дальнейшего, что любое циклическое по отношению к оператору А подпространство, порожденное вектором Хе, будет циклическим и по отношению к оператору А — РЕ при любом численном значении для р.
Действительно, каждое инвариантное по отношению к А подпространство будет инвариантным и для А — рЕ и обратно, и, следовательно, минимальные инварнантные подпространства, содержащие Х, должны совпадать. 2. Минимальный аниулирующий вектор Хе полипом. Размерность д циклического подпространства связана также со следующим важным понятием. Пусть А данный оператор. Мы будем называть полипом т(т) аннулирующнм вектор Хш если Х(А)Хе=О. Среди полиномов, аннулирующих вектор Х, существует полипом 0(г) наименьшей степени, называемый минимальным аннулирующим поли номом для вектора Хе.
Степень минимального аннулирующего полинома равна размерности циклического подпространства, порожденного вектором Х . Действительно, пусть д размерность циклического подпространства, порожденного вектором Хв, и пусть АЕХе= ТвХе+ ° + Тч-1А Хо. Положив 0(()=(ч — тч,фт ' — ... — Те, получим 0(А)Хо=О т. е. 0(г) есть аннулирующий вектор Ха полипом. С другой стороны, если ((г) полипом меньшей степени чем д, то )((А)Хатыб в силУ линейной независимости вектоРов Х, АХ, ..., Ач 'Хе. Следовательно, полипом д-й степени 0(г) есть минимальный аннулирующий полипом для вектора Хе. Легко доказать, что всякий полином, аннулирующий Хе, делится на минимальный аннУлиРУющий Хе полипом. Действительно, пУсть Х'(А)Хе=О.
Поделив полином Х(т) на полипом 0(1) с остатком, получим у Щ =р Я 0 (()+ «((), где остаток г(() имеет степень, 74 основныв сведения из линейной ьлгевгы (глг« меньшую чем «7. Следовательно, О = у (А).Хе = р (А) 0 (А) Хе + +г(А)Хь — — г(А)Хь, откуда г(1)=0, ибо иначе полипом 0(1) не был бы иинимальным аннулирующим Хь полнномом.
В частности, минимальный полипом оператора (а следовательно, и характеристический) делится на минимальный аннулирующий Хр полинам. Поэтому размерность любого циклического надпространства не превосходит степени минимального полинома оператора. Теорема 7.А Если минимальный аннулирующий полинам 9(Г) для вектора Х раскладывается в произведение попарно взаимно простых множителей 9(г)=9,(1) 0,(1) ...
9,(1), то вектор Х мозкет быть представлен в виде сумл«ы венто)н«в Х,, Х, ..., Х„аннулируемых соответственно полинол«ал«и О, (Г), 9,(Г), ..., 9„(Г), При зтол«слагаемые Х„Х,, .... Х, можно взять принадлежащими любому инвариантно.иу надпространству, содержащему Х. Доказательство. О «ев««д««о, что теорему достаточно доказать для з=-2, нбо переход к общему случаю осуществляется методом математической индукции. Так как 9, (1) и О. (Г) взаимно просты, то найдутся два полннома р, (1) и р,(1) такие, что О, (г) р, (г) + +- Оь(Г) р, (Г) = 1 ').
Это равенство влечет за собой операторное равенство 9,(А) р,(А)+9,(А) р,(А) = Е. и потому верно векторное равенство Х = 9, (А) р, (А) Х+ О, (А) р, (А) Х. Положии Х,=О,(А)р,ТА)х. Х,=О,(А)р,(А)х. Тогда Х=Х,+Хь, причем О, (А) Х, = 9, (А) О, (А)р, (А) Х = О (А) ра (А) Х = = р (А) 0 (А) Х = р (А) О = О, и аналогично 9,(А)Хе=О. Построенные векторы Х, н Хв принадлежат к любому инвариант- ному надпространству, содержащему Х, ибо если Х~Р и Р инвариантно, то Х,=О (А)р (А)Х~Р, Х,=О,(А)р,(А)Х~Р. Замечание. Нетрудно показать, что полиномы 9«(1), ..., Оь(1) будут минимальными аннулирующими полиномами для векторов Х, , Х, соответственно.
) Д. Г. Кур о ш. Курс высщей алгебры, 1949, стр. 179, $7] каноничвская еовмл жояданл 3. Иидуцированный оператор. Пусть оператор А действует в и-мерном пространстве К и пусть Р инвариантное подпространство для этого оператора. Тогда оператор А сопоставляет каждому вектору из Р вектор из Р, т. е. определяет некоторое преобразование подпространства Р.
Очевидно, что это преобразование является линейным оператором, определенным на Р. Этот оператор имеет название оператора, индуцированного оператором А на п о д п р о с т р а н с т в е Р. Индуцированпый оператор отличается от оператора А только областью определения. Пусть Р инвариантное относительно оператора А подпространство, Во ...,  — базис Р, Во ..., В , Ч,, ..., Ч„ „ — базис всего пространства. Выясним вид, который имеет в этом базисе матрица оператора А. Так как векторы А(3,, ..., А11 принадлежат Р, т. е.
являются линейными комбинациями лишь векторов Ц, ..., В , то их координаты в выбранном базисе, начиная с лг + 1-й, равны нулю. Следовательно, матрица оператора А имеет внд: лпи л1т -г ац а,„ а о~в~ лмм. ~ пю~ 0 а,„.,г,в,, ... а е,„ ... 0 а„ , ... а„„ или сокращенно Г"' Ц Здесь Ав есть квадратная матрица порядка лг, .чв квадратная матрица порядка и — ю, В прямоугольная матрица иа лг строк и л — т столбцов, 0 нулевая прямоугольная матрица. Ясно, что Ар есть матрица оператора, индуцированного на Р.
Матрица оператора еще более упрощается, если пространство К есть прямая сумма двух инвариантных подпространств. Действительно, пусть В = Р, +- Рв. Возьмем за базис й объединение базисов Рг и Рю В этом бааисе матрица оператора А, очевидно, примет вил где Ав, и Ар, матрицы операторов, индуцированных оператором А на Р, и Ра. Если пространство разбивается в прямую сумму А инваРиантных подпространств, то в базисе, составленном из обьединения 76 основньщ сведвния из линвйной алгяввы (гл.
! базисов этих подпростраиств, матрица оператора А принимает квазидиагональный вид Ар Ар Ав гле Аяе Аии ..., Ар, матрицы операторов, индуцированных на Р, ь' Ра,..., Р„. Из последнего разложения вытекает слелующая Теорема 7.3. Если пространство К есгпь прямая сумма инвариантнык стносительно оператора А надпространств Р,, Ра., .., Рв, та характеристический поленом опера» ара А равен произведению характеристических поли»омов операторов А,, Аю ..., Аы индуиированных оператором А на подпространствах Р1 Ре' ''' Рь' Для доказательства достаточно отнять г от элементов главной лиагонали матрицы (!) н воспользоваться теоремой о том, что опрелелитель квазидиагональной матрицы есть произведение определителей, составленных из ее диагональных клеток.
Если в разложении пространства в прямую сумму инварнантных подпространств входят одномерные инвариантные надпространства, т. е. подпространства, натянутые на собственные векторы, то соответствующие диагональные клетки будут клетками первого норялка, именно диагональными элементами матрицы. 0 ~евидно, что эти диагональные элементы будут собственными значекиями матрицы. В дальнейшем мы часто будем заменять выражение „оператор, инлуцированный оператором А на Р" выражением „оператор А на Р". 4. Корневые подпростраиства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
