Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 15
Текст из файла (страница 15)
+с),Ху,=О сеХв+ ... + с) зХ), = 0 сех), =О, откуда заключаем, что се=0, с,=0, ..., С,=О. Подпространство, натянутое на башню, будет иметь размерность г', Оно инвариантное и циклическое для оператора А — ЛЕ, а следовательно, инвариантное и циклическое и для оператора А. 81 % 71 КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ЖОРДАНА Мы установим, что в подпространстве Р существует базис, получающийся объединением нескольких башен, не содержащих общих элементов. Такой базис будем называть к а н о н и ч е с к и м базисом корневого надпространства. Ясно, что каждый выбор канонического базиса определяет разложение надпространства Р в прямую сумму инвариантных никлических подпространств.
Именно, такими подпространствами будут подпространства, натянутые на базисные векторы, входящие в отдельные башни. Доказательству существоззния канонического базиса предпошлем следующую лемму. Лемма. Если вепторы Хн ..., Е, принадлежат Р(У~') и линейно- независимы относительно Р(У), то векторы (А — ЛЕ) Хн ° (А — ЛЕ) Ев принадлежат Р(Н и линейно-независимы относительно Р(У Доназательс)пво, Первое утверждение леммы очевидно. Допустим теперь, что с,(А — ЛЕ) Х)+ ...
+с,(А — ЛЕ) Ха=)(~ Р' Это значит, что (А — ).Е)У ' Ч = (А — ) Е) (с,Х, + ... + С,Х,) = О. Следовательно, с,ж,+ ... +-с,Х, Е Р('), что возможно только при с,= ... =с,=О, в силу линейной независимости векторов Хн ..., Аа относительно Р('). Тем самым лемма доказана.
Перейдем теперь к доказательству существования канонического базиса. Пусть Р ) ~ Р )~... сР( ) = Р, где, как и раньше, Р ) есть (Ц (2) (т) (2) совокупность всех векторов, высоты которых не превосходят )Л ВыбеРем пРоизвольный базис Хнз ..., Хнн подпРостРанства Р(т) относительно Р(вь ). Число и, равно разности размерностей Р и Р . Тогда, в силу леммы, векторы (А — ЛЕ) Хн,..., (А — )Е) Хт, (вь-)) принадлежат Р( ') и будут линейно-независимы относительно Р(ав Следовательно, они могут быть включены в базис Р( ) относительно Р' '. Пусть (А — ),Е)ХН, ..., (А — ЛЕ)Х,)ь. Хвы °, Хаа, базис Р( ~) относительно Р( 2).
В силу леммы, векторы (А — )Е)ЯХН..., (А — ЛЕ)'Хын (А — ЛЕ) Хм ° ° ° (А — ЛЕ)Х29, принадлежат Р(~ ) и линейно-независимы относительно Р( ). дополним их векторами Ха(,..., Хвь,до базиса Р('в ') относительно Р(~ )в б заа. 974. Д. к. Фаддеев а В. н. Фаддеева ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ [Гл. ! 82 ИЯ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕН применим к построенному базису оператор А — ЛЕ, дополним полученную систему векторов до базиса РГ~ ~~ относительно Р( М и т. д.
На т-м шагу мы придем к базису (А — ЛЕ) 'Хп,...,(А — АЕ) Хгап (А — ЛЕ)~ ~Х о ° ° (А — ЛЕ) з Хаем а Х . а ш а в ье Хжь ° . ° ХИА П! Г1) подпространства Р ~. Об.ьединение всех построенных относительных бззисов есть бззис Р н этот базис, очевидно, будет каноническим. Построение канонического базиса в наглядной форме описывается схемой, приведенной на левой стороне' страницы. В этой схеме В = А — ЛЕ. Из построения ясно, что выбор канонического базиса не однозначен. Однако негрудно убедиться, что любой канонический базис может быть построен посредством описанной конструкции.
Поэтому строение любого канонического бааиса (чнсло башен данной высоты) будет одинаковым. 9. Канонический базис пространства и каноническая форма Жордана для матрицы оператора. Каноническим базисом пространства К, в котором действует оператор А, называется базис, получающийся з результате объединения канонических базисов всех корневых подпространств, отвечающих оператору. Канонический базис естес~асино разбивается на башни и соответственно все пространство разбивается в прямую сумму инварнантных циклических подпространств, натянутых на векторы, входящие в отдельные башни. Поэтому матрица оператора в каноническом базисе будет квази- диагональной, состоящей из „ящи.
Х а ш и Х а Ф 83 КАИОНИЧВСКАЯ ФОРМА ИОРДАНА ков". отвечающих отдельным башням. Выясним вид втих ящиков, Пусть 11 одно из инвариантных подпространств, натянутое на башню высоты Л составленную из векторов Хе, Х,=(А — )чЕ)Хе, Х,= =(А — А;Е)Х,, ..., Х-,=(А — )чЕ)Х . Ясно, что АХе = 1чХо + Ха АХ,=,)чХ, +Хе АХ,, =-1;Ху,+ Ха, АХ., = ),,Х Таким образом, оператору А на подпространстве () в выбранном базисе Хе, ..., Х , соответствует матрица )ЧО...ОО 1>Ч...ОО О О...>ч О О 0...1)ч Такая матрица называется каноническим ящиком Ж орда на.
Во всем пространстве оператору А будет соответствовать квазндиатональная матрица, составленная из канонических ящиков Иордана, т. е. матрица вида: Х,О...ОО 1)ч...00 ОО...А,О 0 0 ... 1 0...0 0 1 )ч... 0 О 0 0...1, 0 0 0...1 бе 84 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЙ ИЗ ЛнияйиОй ЛЛГЕВВЫ [гл, ~ Висло ящиков Жордана равно числу „башен" и, следовательно, числу первых „этажей" этих башен, т. е. числу линейно-независимых собственных векторов оператора А. В свою очередь число ящиков Жорданз, содержащих одно и то же собственное значение )и, равно числу башен, на которые разбивается базис соответствующего )ч корневого подпространства, т. е.
оно равно числу линейнонезавнсимых собственных векторов, принздлежащих собственному значению хн Максимальный порядок ящиков Жордана, содержащих гч, равен кратности собственного значения )ч как корня минимального полннома. Сумма порядков всех канонических ящиков, содержащих гч, равна кратности )ч кзк корпя характеристического полпнома. Пусть оператор А задан посредством матрицы А, соответствующей оператору А в некотором бааисе Вн ..., ()„. Пусть Ч,, ..., Ч„ канонический базис для оператора А. В этом базисе оператору А соответствует каноническая матрица Жордана ,/, Если обозначить буквой С матрицу преобразования координат от базиса Вн ..., ()„ к базису Чо ..., Ч„, то У= — С 'АС, т.
е. У получается из А преобразованзем подобия. Это преобразование называется приведением матрицы к канонической форме Жордана. Таким образом, знание канонического базиса дает нам как каноническую матрицу Х так и переходную матрицу С. Нетрудно убедиться и в обратном, если каноническая матрица У равна С 'АС, то базис Ч,, ..., Ч„, связанный с исходным базисом посредством преобразования координат с матрицей С, будет каноническим базисом для оператора А. Вычисление канонического базиса для оператора, заданного посредством матрицы, довольно сложно.
Но часто бывает важно определить лишь каноническую форму для данной матрицы А без вычисления переходной матрицы С, т. е. без вычисления канонического базиса для соответствующего оператора. Это оказывается возможным различными способами. Один из них связан с детальным изучением матрицы А — гЕ. Обозначим через 0;(т) общий наибольший делитель всех миноров (-го порядка определителя ! А — гЕ ). В частности 0„(() совпадает с характеристическим полиномом.
Можно доказать, что все 0;(О, подобно 0н(т), являются общими для класса подобных матриц. Далее, можно доказать, что 0;(~) делится на 0;,(т). Обозначим е>г (г) т (Г) — — Е; (Г). Очевидно, что 0В(()= И Е,(Г). 1=1 в„(т) Далее оказывается, что Е„(() =- —" — есть минимальный поли- 0„„(В ном матрицы. й 8) стговние инвлгилнтпых подпгостглнств Разложим Е,(1) иа линейные множители. Тогда Здесь в обозначает число различных собственных чисел, ~~~~~ т; = и, 1=1 ~~~ ~~'., тн — — и.
Очевидно, что среди показателей тн лишь немногие 1 11=1 ОТЛИЧНЫ ОТ НУЛЯ. Ф ° Биномы (); — Г) лу называются элементарными делителями матрицы А. Знание элементарных делителей позволяет построить каноническую форму. Именно, ящики Жордана строятся, исходя из чисел Хр и поРЯдки этих антиков Равны показателам т; . Число Ящиков, содержащих лло равно числу неравных нулю показателей тсь В случае, если элементарные делители линейные, т. е. если все отличные от нуля показатели т,: равны единице, ящики Жордана вырождаются в лиагональные элементы, а каноническая форма оказывается просто диагональной формой, причем, конечно, одно и то же собственное число будет входить в качестве диагонального элемента с~олька раз, какова его кратность как корня характеристического полинома.
Верно н обратное, именно: если матрица приводится к диагональному виду, ее элементарные делители линейны. Таким образом, матрицы с различными собственными числами обладают линейными элементарными делителями. 1 Если все элементарные делители (>и — () 1 взаимно просты (что имеет место в том и только в том случае, если 0„1(г) = 1), то каждое собственное число входит только в один канонический антик, причем порядок ящика равен кратности соответствующего собственного числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
