Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 17
Текст из файла (страница 17)
4. Двойственный базис. Пусть ()„..., ()„некоторый базис в пространстве К. Базис Чо ..., Ч„называется лвойственным с ()и ..., ()„, если (()ь Ч ) = 1, (5) (В;, Ч.) = 9 при 1 ~ )'. Для каждого базиса существует единственный двойственный базис. Действительно, пусть Я, есть подпространство, натянутое на векторы ()ю ..., В„, и пусть В, ортогональное дополнение к ь)о Очевидно, что размерность Ц, равна п — 1, размерность Ь, равна 1.
Пусть 2 чь О любой вектор из Ь,. Тогда (Х, (),) = ... = (Х, Ви) = — О и, сле- 1 доватеаьно, (У„В,)=аг ФьО. Поэтому вектор Ч, = — Х удовлетвов, ряет условиям (5). Аналогичным образом строятся и зсе остальные векторы двойственного базиса. Единственность двойственного базиса следует непосредственно из определения. Очевидно, что базис будет двойственен самому себе в том н только в том случае, если он ортонормален. Если базис Ч,, ..., Ч„ двойственен с базисом Вм ..., В„, то базис Во ..., Б„двойственен с базисом Ч,, ..., Ч„, т.
е, отношение двойственности базисов симметрично. Поэтому имеет смысл говорить о паре взаимно двойственных базисов (бнортогональные базисы). Введение двойственного базиса лает возможность представлять координаты вектора в виде скалярных произведений. Именно, если коорлинаты вектора Х в базисе 11, , ()„ суть числа х,, ..., хв, то х;=(Х, Чг). Действительно, (Х, Чг) = (х,(), + ... + х„()„, Ч;) = хо В свою оче- редь х,'. =(Х, (),), тле х,', ...,х' координаты вектора Х в базисе Ч,, ..., Ч„. В тензорной алгебре координаты х,, ..., х„называются контраваРиа нтными относительно базиса Вы..., ()„.
а координаты х',..., х' к о в а р и а н т н ы м и относительно того же базиса. Одновременное употребление тех и других координат представляет большие удобства, 92 основныв сввдения из линайной ллгввгы 1гл. ) Так, например, скалярное произведение двух векторОв выражается через их координаты по отношению к любому (не ортогональному) базису следующей простой формулой (Х, У) =„~,хгу,'=~х,'.у, г-) '';г Укажем один индуктивный способ построения базиса двойственного к данному, напоминающий лроцесс ортогонализации. Пусть Ц,..., 1)„базис, для которого нужно строить двойственный, и пусть Ч)')..... Ч)',) какой-нибудь другой базис.
Допустим, что определители (УГ), и ) (Ч'", 1) ) ) (Ч)'), 1) ) (Ч,'", Ц) ! ' Ьг=(Ч)), 1))) (У)0) 1) ) (У)е) 1) ) (Ч)Ю 11л) (ул) 1) ) Ьа .= Возьмем 1 Чвз Ясно, что (Чй), Щ = 1 и (Ч)1), 1)г) = О при 1) 1, Заметим, что (Ум) О ) (Че 1)а) =(Ча), 1! ) — (У~а~, Ц) ~ = — ~ О. (у)о) 1) ) д )а — г) га-)) )а-)) Допустим, что мы уже построили векторы Чг, Чз, ..., Уч удовлетворяюшие лоставленным условиям, и убедились в том, что (Че ), 1)а) = — )' ~ О. Положим д)я-1 у)а) 1 Ч1в -)) Чь=,)„М ) к (Ч„-, иа) отличны от нуля. Построим последовательно системы векторов (Ч1П, „Ч„), (Ч,г~, ..., Чр~)..., (УО6, .
„, У~„.Ч так, чтобы й-я система удовлетворяла первым )г груплам условий биортогональности (Ч, ), Ц)=е)у лри 1= 1, 2, ..., л; Г'= 1,, д. $ 9) ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ВЕКТОРОВ И ПОДПРОСТРАНСТВ 93 Тогда (Ч)~а>, иа)=1, (Ч~ >, иа)=0 при 1+/А и /т>ы -1> (ЧРО и,)=(Ч7 ", иа) — ' '„,' " (Чл' ", и,)= =(Ч1" ', иу)=о, при /(й — 1. Остается убедиться в том, что (Ъаеы илт>)= — и потому .Иа» аве, ал (ЧА>.>, ил+>) чь О.
С этой целью рассмотрим последовательность га> матриц (ч",>, и,) ... (чйо и ) (чы' и,) (ч(,:7 и„) АЫ> 1 0 ... 0 (ч~~, и„. )...(ч1А>,и„) 0 0 ... 0 (Ч~7,, и„,) ... (Ч>",>>, и.) Матрица А<"> получается из матрицы А<"-'> делением й-й строки на число (ч1А '>, иа)= а и добавлением >а-й строки с надлежа»л-> щим множителем ко всем остальным. Поэтому Все главные миноры матрицы АЫ>, начиная с минора порядка >г, равны произведениям соответствующих миноров матрицы А>"- > па —.
в-т АВ Аналогично, все главные миноры матрицы А>л '>, начиная с минора порядка и — 1, равны соответствуюшим минорам матрицы АР'-з>, ал-т умноженным на — — и т. д. Применяя это к главному минору поде-> рядка 4+1 матрицы А>л>, который, очевидно, равен (чвеы иа,>), получим (Ч1~+ы ил-») = — ' ' — Овт> = — ° Да Аа-т а> Да Вычисление базиса Ч,,..., Ч„, двойственного к базису ио .... и„, по существу равносильно обращению матрицы А, составленной из координат векторов им ..., и по отношению к некоторому ортонормальному базису.
Действительно, если матрица В составлена из (ГЛ. 1 94 основные свядвния из линийной алгеввы координат векторов Чо ..., Чи в том же базисе. то В*А = Е, что непосредственно следует из правила умножения матриц и условий ортогональности. й 20. Линейные операторы в унитарном пространстве и в ввклидовом пространстве П Сопряженный оператор. Пусть А оперзтор, определенный в унитарном пространстве. Оператор А' называется с о п р я ж е иным с А, если для любых векторов Х, Ч.выполняется равенство (АХ, Ч) =(Х, А*Ч). Лока>кем супгествование и единственность сопряженного оператора. Пусть оператору А в некотором ортонормальном базисе соответствует матрица ап аж ' а>я а21 а22 ' ' ' 122 а„, а„з...а,и векторам Х и Ч в том же базисе соответствуют столбцы из координат (х,, х,, ..., х„)' и (у,, у, ..., У„)'.
Тогда вектору АХ будет соответствовать столбец а„х,+ ... +а,„х„ а„х,+ ... +а,„х„ ая>х1+ ... +а„„х„ Следовательно, (АХ, Ч) =а>,х,у, + ... +а„,'х„у,+ + а21 х>У2 + ° ° + ая~х~уа + +.. + + а~>х>у~+ ° ° ° + пи их»уи = =х,(а„у,+аз,у,+ ... +а„,у„)+ + ...( + „(а>„У1+;„Уз+ ... + а.„У„) = = (Х, А*7), 95 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ где А" оператор, имеющий в том же базисе матрицу а21 а1, а„ ав.
а сопряженную с матрицей А. Таким образом, в качестве сопряженного оператора может быть взят оператор, имеющий в некотором ортонормальном базисе матрицу, сопряженную с матрицей исходного оператора в том же базисе. Докажем теперь единственность сопряженного оператора. Пусть А", и А*, два оператора, сопряженных с оператором А. Тогда (АХ, х')=(Х, А;т)=(Х, А",,т), откуда (Х, (А*,— А,',) 2')=О. Следовательно, вектор (А; — А',) х' ортогонален к любому вектору Х пространства К и потому (А,*— А",) х'= й при любом 2'.
Отсюда заключаем, что А; — А", есть нулевой оператор, т. е. А,'=А*, Из определения и единственности сопряженного оператора ясно, что гА*)*=А. В эвклидовом пространстве сопряженному оператору гпо отношению к ортонормальному базису) будет соответствовать матрица, транспонировацная с матрицей оператора А Гпо отношению к тому же базису), ибо операторы в эвклидовом пространстве представляются вещественными матрицами.
2. Свойства собственных значений и собственных векторов операторов в унитарном пространстве. Выясним некоторые взаимоотношения между собственными значениями и собственными векторами взаимно сопряженных операторов А и А'. Пре1кде всего отметим, что характеристические полиномы этих операторов имеют комплексно-сопряженные коэффициенты и потому собственные значения оператора А" будут комплексно сопря1кены с собственными значениями оператора А. Это следует из того, что матрица А' оператора А* в некотором ортонормальном базисе сопряжена с матрицей А оператора А в том же базисе.
В случае, если матрица оператора А вещественна в некотором ортонормальном базисе, то характеристические полиномы и собственные значения операторов А и А' совпадают. Взаимосвязи между собственными векторами характеризуются следующей теоремой. Теорема 10.1. Если Х; собственный вектор оператора А, соотввтствую1ций собственному значению ).и и Ув собственный вектор оператора А', соответствующий собственному значению Лу, то (Х1, Уг) =0 нри )Ч+)~. 96 основныз сввдения из линейной ллгввгы (гл. г Доказательство. Подсчитаем двумя способами (АХн Лг)).
С одной стороны, (АХг Уу)=(Л1Хг У~) =Лс(Хг 7~) С другой стороны, (АХ;, Уу) =(Хн А"У ) =(Хь Л.)(е) =Л (Хн Уе). Поэтому (Л,— Л-) (Хь У ) = О и так как Л; — Л +О, то (х,. у,)=о, ( — 'Хп У,)= — „' (Хь ~(г)=1. Таким образом, системы векторов Х,, ..., Х„и т"ы ..., т'„после проведения нормировки образуют взаимно двойственные базисы пространства. 3. Две группы соотношений ортогональности для собственных векторов матрицы. Пусть А матрица, собственные значения которой ), ..., Л„различны, и пусть Х,, ..., Х„соответствующие им собственные векторы (столбцы).
Как мы видели, сопряженная матрица А" имеет собственными значениями числа комплексно-сопряженные с ),,, ..., ) . Пусть уы ..., )г„собственные векторы матрицы А*, нормированные согласно предыдущему пункту. Составим матрицы х„х„... хгл хяг х,...х,„ Уи Уы ° ° Уги у Уы Узя '' Уев х„, х„,... Хав У г Уия ° ° ° Уя что и требовалось доказать. Отсюда следует, что если все собственные значения Л,, ..., ),„ оператора А различны, то для собственных векторов Х,, ..., Х„ оператора А и собственных векторов )(г, ..., т'„ оператора А' имеют место и' — и соотношений ортогональпости, именно (Хь гУу) = О, 1 /.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
