Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 20
Текст из файла (страница 20)
А,Х; = АХ,, т. е, операторы В' и А совпадают на базисе ХО..., Х„. Следовательно, в силу линейности они совпадают и во всем пространстве. Итан, В' = — А. Очевидно, что оператор В положительно-определенный. Теорема 11.14. Если А — саносопряженный оператор и В— положительно-определенный оператор, то все собственные значения оператора ВА (а следовательно, и В 'А) вещественны. Действительно, ВА = В '(В и АВ и) В '. Поэтому собственные значения оператора ВА равняются собственным значениям оператора ВиАВ~*, который, очевидно, самосопряжен.
Теорема 11.1б. Если А и В положительно-определенные опера|поры, то все собственные значения оператора ВА лоложительны. 1ОО основиыв свидания из линвйной алгвьвы (гл. 1 Действительно, в этом случае оператор В~'АВл=(В")*АВ * положительно определен в силу теоремы 11.12. Теорема 11.18. Если В положительно-определенный оператор, А са.мосоиряженный оператор и все собственные значения оператора ВА положительны, то А положительно определен. Действительно, если все собственные значения оператора ВА положительны, то положительны и все собственные значения оператора В "(ВА) В '= В "АВ *, т.
е. самосопряжепный оператор В 'АВ ' положительно определен. В силу теоремы 11.12 будет положи~ельноопределенным и оператор А. Теорема 111/. Если А и В иерестановочные положительно- определенные операторы, то АВ положипгельно-определенный оператор. Действительно, в этом случае АВ самосопряженный и его положительно-определенность следует из положительности его собственных значений. Очевидно, что все свойства, описанные в теоремах 11.9---11.11 остаются верными и для положительно-определенных матрип. Каждый положительно-определенный оператор определяет некоторую метрику пространства, удовлетворяющую всем аксиомам обычной эвклндовой метрики.
Именно, А-с к а л я р н ы м п р о и з в едение м (Х, т)а двух векторов Х н У называется скалярное произведение (АХ, т). Прн таколг определении все четыре аксиомы эвклидовой метрики 1) (Х, Х)„ > О, Х Ф О 2) (Х, У)л = (У, Х)„ 3) (аХ, У)д — — а(Х, т')д 4) (Х,+Хг, У)л=(Хг,)()а+(Хг, т)а выполнены. Действительно, 3-я и 4-я аксиомы выполнены в силу линейности оператора А, 2-я в силу самосопряженности н 1-я в силу положительной определенности. В этой метрике роль длины вектора Х играет А-д л и на, т.
е. величина к'(АХ, Х). А-орта гональными нли сопряженными (относительно А) венторами называются векторы Х и 1(, для которых (АХ, У) =О. Все теоремы. доказанные в Э 9, очевидно, переносятся на пространство с А-метрикой. В частности, справедливы теоремы. Твори.ма 1'.18.
(АХ, т')г ~(АХ, Х) (Ат', 'т'). Теорема 11.18. Лопарно А-ортогональные .векторьь линейно- независимы. Теорема 11.2О. Пусть Х,, ..., Х„заданная система линейнонезависилых векторов. Тогда можно построить А-ортогональную 109 сАмосопРяжеиный ОпеРАтОР систелгу векторов, связанную с исходной соотноигенияееиг Б,=х, Б =х+«х Б» = Х„+ и„,Х, + ... + и»»,Х„,, Ввиду того, что при построении некоторых численных методов будет применяться процесс А-ортогонализации и численная реализация этих методов будет проводиться по формулам процесса, мы приведем доказательство теоремы, хотя оно почти дословно повторяет доказательство теоремы 9.2. Доказательство.
Проведем построение по индукции. Пусть векторы Б,, ..., Б, уже построены н отличны от нуля. Вектор Бт ищем в виде Бт = Х1ч — (т1Б1 — . — (тт-1Бт-1. Коэффициенты (т~ определяем из условия А-ортогональности векторов Б,, ..., Б, к вектору Б . В силу А-ортогональности системы векторов Б,, ..., Б , и в силу того, что Б Ф О, г' = 1, ..., т — 1, имеем (Х1н АЯЕ) (Бу. АХт) )~з= (Будете) = (БААЗ~) (2) Подставив в равенство (1) вместо Б,,..., Б, их выражения через Х,, ..., Х,, получим, что Бт — — Х1А 4- ип11Х1 + ... +и1вт-1Х1А-1. Отсюда следует, что вектор Б не равен нулю, нбо иначе векторы Х,, ..., Х были бы линейно-зависимы, что противоречит условию теоремы.
База для индукции дается тривиальным случаем т = 1. Итак, система А-ортогональных (сопряженных) векторов определяется рекуррентными соотношениями Бт=хт ут1Б1 ' ' ' утт — 1Бт-1 в которых коэффициенты определяются по формулам (2). При практических вычислениях более удобно пользоваться несколько иными формулами для коэффициентов. Именно, из равенства Хе=Бз+(пБ!+ " +'(и-1Бе-1 следует, что АХ) = АБз+))1АБ1+ ° ° ° + (Е~-1АБЕ-1 Отсюда (Б, Ахе)=0 при у <т, (Б,, АХ;) =(Б), АБ ).
[гл. г основныв сввдвния из линейной ьлгвьвы Таким образом, (бр АХ~) "ты (бр АХ ) 6. Самосопряженный оператор в унитарном пространстве. Для унитарного пространства определение самосопряжецного оператора совпадает с определением, данным выше для пространства Эвклида, Именно, оператор А называется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным, т. е.
если (АХ, У) =(Х, АУ) при любых Х и т'. Матрица самосопряжепного оператора по отношению к любому ортогональному базису является эрмитовой, ибо она совпадает со своей сопряженной. Для любого вектора Х скалярное произведение (АХ, Х) принимает вещественное значение. Действительно, (АХ, Х) = (Х, АХ) = =(АХ, Х). Это обстоятельство делает теорию самосопряженных операторов в унитарном пространстве формально совпадающей с подобной теорией в эвк. яловом пространстве. Именно, с некоторыми изменениями проводится конструкция для последовательного построения полной системы попарно ортогональных собственных векторов при помощи экстремальных сообраькений.
Из этой конструкции следует, что есе собстее»»ые значения самосояряженного оператора еегцестееины и лгатрица самосопряжея»ого оператора лгожет быть приведе»а» диагональной форме. В алгебраической форму'- лировке это обозначает, что любая ерльитоеа матрица может быть приведена» диаго»альному виду преобразованием аодоби»' посредством унитарной льатрицм. Далее сохраняются все экстремальные свойства собственных значений, так же как и строение инвариантных подпространств. Скалярное произведение (АХ, Х), выраженное через координаты Х в ортонормальном базисе.
есть форма Эрмита от этих координат с матрицей, равной матрице оператора А в том же базисе. Самосопряженный оператор называется п о л о ж и т е л ь н о - о п р еделенным, если для любого векторз Х, отличного от нуля, (АХ, Х) ) О. Все собственные значения положительно-определенного оператора положительны. 7. Нормальные операторы в унитарном пространстве. Оператор А называется н о р м а л ь н ы м, если он перестановочен со своим сопряженным оператором, т. е.
если АА*=А*А. Очевидно, что лгатрица норьгального оператора' в любом ортонормальном базисе есть нормальная матрица. Самосопряженные операторы входят в класс нормальных операторов. В этот же класс входят унитарные операторы, т. е. операторы, удовлетворяющие требованию А*=А '. й !2] квьдглтичные еогмы Теория собственных значении и собственных векторов для нормальных операторов очень похожа на соответствующую теорию для самосопряженных опера~оров. Именно, верна следуюшая Теорема 11.31. В пространстве существуе>п ортонорл!ольный базис, состониьий из собственных векторов данного нормального оператора.
ф 12. Квадратичные формы т. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду. Теорема 12.1. Вспкан кводоатичнан форма с вещественной л!атрицей коз>1>фициен>пов может быть приведена к следующему каноническому виду г 2 > (Х! Хг Хп) и>У1 + огуг + ' + апуп +. ап>хпх>+ апг'с пхг+ ° + оп и хи = = а„х, + 2а, х,х + ... + 2а„,х,хп+ р (х....., хп). Допустим сначала, что а,г+ О. Тогда ащ а> и '12 Р(хг, х, ..., хп)= а!>~х>+ — х,+ ... + — х„т!— а11 а11 п1 >'а! а,п а>1(=Хг+ ° ° ° +а Хп) +>2(хг . Хп)= г,аг, "1! 12 и,г и!1 В силу индукционного предположения Р1(хг ° ' 'сп) = "гу-'+ + ипуп где =в, и х , В, — неособенная матрица.
где у,, уг, ..., Уп перел!енные, слизанные с исходными переменными х>, хг,..., хп неособенным линейным преобризованием. Доказательство. Для п = 1 теорема тривиально выполняется. Допустим, что для форм от и — 1 переменной теорема доказана. Докажем, что прн этом предположении теорема верна и для форм от п перемеяных. Пусть > (Х1, Х2...,, Хп)— 2 = а!>Х1+ а!>Хгхг+ ... +. а>пхгхп + 2 ->-а„Х,Х,+а„Х>+ ... +агпХ Хп+ осповныв сведения из линейной ллгзввы (гл. г 112 Положим ац ''' ' «и Тогда 1 «и '' ац О У, Уа в, О Ясно, что  — неособенная матрица.
В новых переменных квадра- тичная форма примет искомый вид В(хц хы ..., х„) — — а,у,+азу."+ ... +азу,, при а,=ац. Если же ац —— - О, то всегда можно сделать предварительно неособенное преобразование переменных, прн котором коэффициент прп квадрате новой первой переменной окажется отличным от нуля (если только квадратичная форма не равна нулю тождественно). Действительно, если ац = О, но ааа Ф О при некотором «, то достзточно лишь изменить порядок нумерации переменных. Если же все коэффициенты ац, ..., а „ Равны нУлю, но ан эь О, то достаточно поло- жить х,=у, х~ =- У1+ Ут х.=Ут — У«.
Это преобразование, очевидно, неособенное. Преобразованная квадратичная форма будет иметь ненулевой коэффициент 2«; при у,. Замечание. Настоящее доказательство дает также описание вычислительного процесса для приведения квадратичной формы к каноническому виду. Очень часто бывает, что на всех шагах этого процесса имеет место первый случай, и тогда отпадает необходимость вспомогательных преобразований. В этом случае матрица окончательного преобразования В будет треугольной. 2. Положительно-определенная квадратичная форма. Напоминаем, что квадратичная форма Р(хц ..., х„) называется положительно-определенной, если все ее значения положительны, кроме значения при х,=ха= ...
=х„= О, й 12) кзлдРлтичныв ФОРмы Теорема 12.2. Для того чтобы квадратичная форма была положительно-определенной, необходимо и достаточно, чтобьг все коэффициенты после приведения ее к каноническому виду были положительны. Доказательство. Пусть 2 2 р(х1, х,, ..., х„)=ау,+ и уе+ ... +и„у,, Если а,> О, аг> О, ..., ав> О, то Р(х1, хг...., х„), очевидно, поло>кительно определена. Если же и; ( О прн некотором 1, то, положив у, = О, ..., уг = 1, ..., у„= О и найдя соответствующие е о значениЯ хы ..., хв пеРеменных х,, хг, ..., хе, пол)чнм с'(хг,..., х„)=иг (О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
