Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Во всем дальнейшем мы будем употреблять термин вектор преимущественно в этом смысле, 118 основныв сввдзния из линейной йлгввгы (гл. ( 1. Предел векторов и матриц. Пусть дана последовательность векторов Л ), ..., Х( ), ... с компонентами х()), ..., х(,'1 ...; .Ан (й) (() (г). х(й), ..., х(„"); ... Если у каждой компоненты существует предел 1!т х(й) = х(, то вектор Л с компонентами х,, ..., х„ называется й.~- со пределом последовательностиХН~, ..., Х( ), ..., а сама последовательность называется с х од я ще й с я к вектору Х Это записывается в виде Л -+Х ялн 11(п Х =Х. ° сй) (й) йвсо Таким же образом, если имеется последовательность квадратных и) (й) С) (й) матриц А' ), ..., А с), ... с элементами а;, ..., а;,), ..., то предесв (й) лом последовательности А(), ..., А' )... называется матрица с элементами ам =- 11(п а;;, если все эти пределы существуют.
(й) й Мсо В соответствии с этим определением предела, бесконечный ряд со сн (й) векторов Х '+ Х( ) + ... + Л( '+ ... называется с х од я щ и м с я, если существует 1нп (Х '+Х + ... +Х ), и этот предел назый->с вается суммой данного ряда. Очевидно, что для сходимости ряда векторов необходимо и достаточно, чтобы сходились все ряды из одноименных компонент; суммы этих рядов являются компонентами суммы ряда векторов. Аналогичным образом определяется понятие сходимости ряда нз матриц. Понятие предела без труда распространяется на векторы н операторы в любом линейном пространстве посредством перехода к столбцам из координат(для векторов) и матриц (для операторов) по отношению к некоторому базису.
Легко доказать, что выбор бааиса не влияет на факт сходимости и на результат предельного перехода. В некоторых вопросах полезным оказывается понятие сходимости последовательности векторов по нзправлению. Последовательность векторов Х ', ..., Х ), ... называется с х о(с) (й) д я щ е й с я и о н а п р а в л е н и ю, если последовзтельность нормированных векторов (н ! (й) )Х(с) ~" ' '''' )Х(й)~ Х, ..., — Х, ... сходится в обычном смысле.
Ясно, что для сходнмости по направлению достаточно, чтобы последовательность ойХ сходилась в обычном смысле к ненулевому (й) вектору. Здесь Ьй какие-либо положительные числа. Действительно, если ойХ( ) — +ХФ О, то Ьй(Х( ))-й (Х( и, следовательно, !х(й) ~ ьй (х(й)! " (х) Легко видеть, что основные действия (сложение, вычитание, умножение) над векторами и матрицами непрерывны. В частности, если А( ) -+ А, то А( )Х-+ АХ при любом векторе Х. Обратно, если йо (й) 119 б 1З) понятии пввдела' в линейной Алгввве А( )Х-+ АХ при любом векторе Х, то А( ) -ь А. Действительно, поло(е) (а) жив Х=е;=(О, ..., 1, ..., 0)' при (=1, 2, ..., и, получим, что каждый столбец матрицы А( ) сходится к соответствуюп(ему столбцу матрицы А, и, следовательно, все элементы матрицы А сходятся (а) к соответствующим элементам матрицы А.
Далее, если последовательность квадратных матриц имеет пределом неособенную матрицу А, то при достаточно большом ч для А( ) существует обратная и 1пп (А~ )) '=А '. ь.ь сс (а) Действительно, если А )-+ А, то. очевидно, союзные с матри(ю (а) цами А матрицы В сходятся к матрице В, союзной с А, так как их элементами являются полиночы соответственно от элементов А ' (ьг и элементов А. По той же причине ) А' ~) -+) А ! Ф О, и, следовательно, начиная с некотоРого места, ~А( )) чь О. Наконец, (А~~)) '-+А ', ибо Отметим еще следующую теорему.
Теорема 13.1. Если последовательность матриц А() имеет пределом неособенную матрицу А и векторы Р(ь) сходятся н Р, то решения систе.ч А(ь)Х(") = Р(Ю ил)еюгп предел, яв~гяютийся решением системы АХ= — Р. Действительно, Х()=(А(Ю) Р(~) — «А гР. Для матриц, элементы которых являются дифференцируемыми функциями от некоторого параметра 1, естественным образом определяется дифференцирование по этому параметру. Именно, — А(1) = 1пп — (А((+и) — А(г)). ь„л Если агг(1)... иг„(У) А(г) = аец(1)... а„„(1) то, очевидно, и' (1) ...
а',„ (1) А'('! = а'и(г) ... а'„„(г) 120 основныв свядения из линейной ллгвзвы (гл. ~ Легко установить следующие правила дифференцирования ЛА — (сА) = с— и. (АА)= — — А+А,— —. 2. Нормы векторов. В прикладных вопросах бываег важно судить не только о самом факте сходимости последовательностей или рядов, но и о быстроте этой сходимости. С этой целью очень полезно введение так нззываемой нормы векторов и нормы матриц. Норму можно вводить различными способами, и в различных случаях та или другая норма оказывается более удобной. Вообще, н о р м о й в е к т о р а Х называется сопоставляемое этому вектору неотрицательное число ~(Х,',), удовлетворяющее следующим требованиям: 1) !)Х!!) О прн Хчь О и !10!1=0; 2) ))сХ!)=!с~ ° 1!Х,'! при любом числовом множителе с; 3) !(Х+ у(! ()(Х)(+(! у!! („неравенство треугольника").
Из требований 2) и 3) легко выводится, что 11Х вЂ” У,1> ! !!Х!! — !~У!!!. Именно, ~)Х!1=~(Х вЂ” у+ $'~( (1)Х вЂ” у~(+~( у~(, и потому ~!Х вЂ” У!!> ~1Х~! — ~~ Ц. Далее, Следовательно Каждая норма определяет „единичную сферу" — множество векторов, норма которых не превосходит !. Единичная сфера есть центрально симметричное выпуклое тело, т. е. такое множество, которое вместе с каждым вектором Х содержит вектор — Х (центральная симиетрия) и вместе с любыми векторами Х, и Хе содержит вектор ГХ,+(! — Г)Ха, О С1- 1, опирающийся на отрезок, соединяющий концы векторов Х, и Х, (выпуклость).
Обратно, любое центрально симметричное выпуклое тело !г в вещественном пространстве (в комплексном центральная симметрия должна быть заменена более сильным требованием — вместе с вектором Х тело содержит вектор аХ, )а)=!) порождает норму 11Х1!, которая опре- 1 делается как !п1Р, где ~ ~ О, — Х~ У. Проверка аксиом при таком общем определении нормы не представляет труда. й 13! понятие НРеделА В линейной АлгевРе 121 В дальнейшем мы воспользуемся следующими тремя нормами вектора Х=(х,, х,, ..., х„)', определенными как для вещественного, так и для комплексного арифметического пространств.
!. Пер за я норма (куб и ч ее кая). !!Х!!, = шах ! х; !. — 1<х,<1, ..., —.1 <х <1. 2. Вторая норма (октаэдрическая). !!Х!!и — — !х,!+! х,!+ ... +!х„!. Множество вещественных векторов, для которых !!х!!и <1 заполняет и-мерный аналог октаэдра. 3. Третья норма (сферическая). !!Х!!ш = ! Х! = 'У ! х, !'+ ! ха !а+ ... + 1 х„!а. Эта норма есть не что иное, как длина вектора. Совокупность векторов, для которых !Х! ( 1, заполняет шар единичного радиуса. Для этих трех норм выполняются все требования 1 — 3.
Для кубической и октаэдрической это очевидно. Для сферической выполнение требований 1, 2 очевидно; требование 3 выполняется на основании неравенства Коши — Буняковского. Действительно, !Х+ 1'!Е=(Х+ У, Х+ У) =(Х, Х)-+(Х, У)+(У, Х)+ +(У, У) <!Х!а+2!(Х, УУ!+!У!а <!Х!а+ -+2! Х!. ! У!-+! У!2=(!Х!+! У !)2, Введенные выше нормы связаны следующими неравенствами: !,'Х!!г <!!Х!!гг < и!!Х!!г ,'!Х!!, (!Х! (ф' и!!Х!!, — !!Х!!гг (!Х! <!!Х!!н. (1) (2) (3) Неравенства (1) н (2) очевидны, так же как правое из неравенств (3). Множество векторов вещественного пространства с нормой, не превосходящей единицы, заполняет единичный куб 122 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕйисй ЛЛГЕЗВЫ [ГЛ. 2 Левое из неравенств (3) легко выводится из неравенства Коши— Буняковского.
Именно, ()Х, +~Ха(+ ... +(Х„~)2= =(~Х2! ° 1+)Х2! ° 1+ ... +)Х„! ° 1)2 ( .С (! Х ~2 '„-! Х (2 + ... — )-)Х ~2)(12+ ]2+ + 12)— = П ( ( Х, (2+ ... -2 — ( Х„!2), откуда посредством извлечения квадратного корни и деления на ф' и получаем левое неравенство (3). Легко установить, что необходимым и достаточным условием сходимости последовательности векторов Хрн к вектору Х является 'ИХ12> Х(! -э-О для каждой нз трех введенных норм. Для первой нормы это очевидно.
Для остальных норм это следует из неравенств (1) н (2). 1)ри этом, если Хон — «Х, то !)Х121/! ~(Х(~. Действительно, !~Х 1~! — ~~Х~~ !С1~Х вЂ” Х > ~- О. 3. Нормы матриц, Нормой квадратной матрицы А называется неотрицательное число (/А((, удовлетворяющее условиям 1) /)А~) О, если А эи 0 и 30)(=0; 2) /)сА~)=-/с) )(А(); 3) ~~А+В~~ <,~А~~+,~В,1; 4) ~~АВ~~ <~~А~~ ° ~~В~~. Так же как и для нормы векторов, условие /~А<2> — А/~-+О является необходимым и достаточным условием того, что А121-+А, и так же как для нормы векторов, нз АОИ -+ А следует, что !~ А<2> )~ -+ )! А ~~ .
Часто употребляются следующие две нормы матриц Л4 (А) = и гпах ) а;. ( 22'(А) = у~ ~~'„/ а;2 !2 = 'у' БрА*А. То, что эти обе нормы удовлетворяют первым трем условиям, очевидно, так как они являются (М(А) с точностью до множителя л) кубической и сферической нормами матрицы, рассматриваемой как вектор и'-мерного арифметического пространства. Остается проверить 123 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА В .ЧИНЕЙНОй АЛГЕБРЕ й (з) выполнение 4-го условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
