Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Пусть А=(аьу), В=(б; ), Тогда АВ=- ~~' а;в(РЬГ . Имеем Ььв ь РЬ РЬ М(АВ)=птах «~ амб, (ошах ~У ~ам ! ° ((Р, ( . 'ь в-г в \ ( п ~~ — М (А) — М (В) = М (А) ° М (В) . В=Р Далее, РЬ ~В № (АВ) = ~ ~ ~Ч~, а вбв ' . гу)в 1 По неравенству Коши — Буняковского откуда №(АВ) ( Х !аРЬР~дв1Р=Х~~'вР'Х)б,в," — — №(А)№(В). Итак, )ьг(АВ) (гч'(А) Ж(В). Очевидно, что для любой матрицы А имеет место Рч'(А) ." М(А). Норма матриц может быть введена бесконечным множеством способов. Так как в большинстве задач, связанных с оценками, в рассуждеьши одновременно участвуют как матрицы, так и векторы, целесообразно вводить норму матриц так, чтобы она была разумным образом связана с нормой векторов, введенной в данном рассуждении. Мы будем говорить, что норма матриц со г л а с о вана с данной нормой векторов, если для любой матрицы А и любого вектора Х выполняется неравенство ~~АХ!~ (~~А~~ .

~~Х~~. Так, введенная выше норма М(А) согласована с кубической, октаэдрической и сферической нормами вектора, )ьг(А) согласована со сферической нормой вектора. Действительно, пусть Х= (х, , х„)'. Тогда Вххн= ., ~вР,(< .,Т~,„.~.~„,~< ('5', М(А) ~~Х~~г = М(А) . ~~Х~~г. 124 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕННЯ Иа ЛИНЕйНой АЛГЕБРЫ [Гл. Л Далее, >ххо,=~(~,„,,( <~~,„~.~,~<~ х>" .~ а= М(А) ) (ха[= М(А) ° ([Х~[>л.

Итак, норма М (А) согласована с кубической и октаэдрической нормами вектора. Наконец, ! АХ[2= ~~ ~, авх !' (.~,~[ал [2~[х,[2.= — №(А)[Х2 (Мл(А)[А[2, Из этих неравенств следует, что обе нормы М(А) и >Л>'(А) согласованы со сферической нормой вектора. Укажем конструкцию, которая дает возможность построить наименьшую норму матрицы, согласованную с данной нормой векторов. Именно, примем за норму матрицы А максимум норм векторов АХ в предположении, что вектор Х пробегает множество всех векторов, норма которых равна единице: [[А[[= >пах [[АХ~[.

1.т1 л Вследствие непрерывности нормы, для каждой матрицы А этот максимум достигается, т. е. найдется такой вектор хо, что [[хо[[= 1 и [[АХо)>=)[А[[. Докажем, что построенная таким образом норма удовлетворяет всем поставленным требованиям 1) — 4) и условию согласованности. Начнем с проверки первого требования. Пусть А+О. Тогда найдется вектор Х, [[Х',[=1, такой, что АХ+ О, а следовательно, и )[АХ[[ ~ О.

Поэтоллу [[А[[= глах,'[АХ[[ ) О. Если же А = О, 1ЛЛ--> то,'[А[[= >пах [[ОХ[[= О. 1л>> л Второе треб о за н и е. В силу определения, [[сА[[ =- = шах [[сАХ[[=[с[ шах [[АХ[[ и, следовательно, ![ГА[[=[с[ [[А)[. 5Л11-> лда=л Далее проверим условие согласованности. Пусть У+О любой вектор; тогда Х= — ° У удовлетворяет условию [[Х[[=1.

1 [[ У1 Следовательно, [[АУ![=[[А([[У[[Х)[[=[[У[[ ° [[АХ[[([[У[[ ° [[А[[. Третье требование. Для матрицы А+В найдем такой вектор Хо, что [[А+ В[[=',[(А+ В) Хо[[ и [[Хо[[= 1. Тогда [[А+ В[[= = [[(А+ В) Хо[[ = [[АХо+ ВХБ)[ ( [[АХо[[+ [[ВХБ[[([[А[[ ° [[Хо[[+ -[-[[В[[ [[Х,[[=~[А[[+[[В[[. ф 131 понятие пездвлй в линейной ллгввгв 125 ~1 А ,'1 = ~! АХе~~. ~~АХ,~~ < Е(А) ~~Х,й= Е(А), Но откуда следует, что // А (! ( Е (А).

Очевидно, что для всякой нормы матриц, подчиненной какой-либо норме векторов, /!Е/!=1. Отсюда следует, что норма М(А) и М(А) не подчинены ни одной из норм векторов. ибо М (Е) = Мт(Е) = л. Построим теперь нориы матриц, подчиненные всем введенным выше нормам для векторов. 1. ()Х))1= гпах!хз (. Подчиненная этой норме векторов норма матриц есть ()А~(1= шах ~~~ ) аьй(. й-1 й Х((1 = 1, Тогда И 71 а1йхй ( ~< шах ~, ~ а1й ) ° ~ хй ! < глах ~~„', ( а11 (. й=1 1 й 1 Действительно, пусть и !)АХ((1= п1ах 1 1=1 Следовательно, шах )(АХ)~ ( шах ) )асйь 1Х1=1 1 1-1 Докажем теперь, что глах ()АХ)! в действительности равен глах ~~~~ ) ага~. ВД1=1 1 й-1 Для этого построим такой вектор Хе, что йХв))1= 1 и ((АХе(~= =шах ,"~~)а1й(.

Именно, пусть ~~'.,(а1й! достигает наибольшего знай-1 й-1 чениа пРи 1=У'; тогда в качестве компонент х)Ю вектоРа Хз воаьмем хчю=, если агйчьО, и хю1=1, если ап,— — О. Очевидно, что <о !азй ! "зй Й= Наконец, четвертое требование. Для матрицы АВ найдем такой вектор Хе, что ((Хей =! и ()АВХД=!)АВ~!. Тогда !)АВй= =~~АВХо~~ (()А(ВХо)(!.(/~А)/ ° /~ВХоа (~~Ай ° 'аВа ° 'ЗХой=!/А~) ' ~~Вй'. Мы проверили выполнение всех четырех требований и условия согласованности.

Построенную таким образом норму матриц мы будем называть п о д ч и н е н н о й данной норме векторов. Докажем, что подчиненная норма не больше всякой нормы, соглзсованной с той же нормой. Действительно, пусть Е(А) норма согласования с некоторой нормой вектора, ()А)( — норма, подчиненная той же норме вектора. Тогда найдется вектор Хе с нормой, равной единице, такой, что ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЙ ИЗ ЛИНЕИНой АЛГЕБРЫ [ГЛ, 1 ьь л л ))Хз()=1.

Далее, ~~'., а, х!ке)~ ( ~, )а)к ~ ( ~, ~ а)к! при ! чь,/ и К-1 К-1 К-1 ~~~ ~а.кх~„') ~ .= ~~'„~ а~к !. Следовательно, шах ~~'., а)кх!В) ~ = ~~.', ! а к ) '= шзк ~~'., ) ацк 1. 1-1 ' ! К-1 К-1 Таким образом, ))АХВ))= щах ~) (а)к), что и требовалось доказать, К=ь Очевидно, что норма ))А )г может быть представлена в виде )~А((г = так)(А'е;)))н ! !. ~! Х!!и = Х ~ хь !.

Подчиненная втой норме векторов норма матриц есть )(А))п = шах .."„! аьк ). К ь=1 Действительно, пусть ))Х()н - — — !. Тогда Уь л л л л / л ;')АХ~~= ~ п ацха! ( ~~ ~~~ )ац ))хк! (Х!хк)~ Х !Оьк ~ ( 1 1 К=1 ) ь 1 К 1 К=1 ь 1 л л л так,~, ) ац, () ~~'., ! хк ( = так ~ь ! Огк (.

ь 1 К=1 ь 1 Теперь возьмем вектор Хе следующим образом: пусть ~~Р~ 1аы ~ ь 1 достигает наибольшего значения для столбца с номером )'. Положим хы) = !) при и чь у и хгу) = 1. Очевидно, что вектор, построенный к а таким образом, имеет норму, равную единице. Дзлее, ьь л ))АХВ~)= Х Х а,кх)~,') =,«) ь)а)) ) = шах ~ ! аьк !. Таким образом, шах )! АХ)! = шах,~'„~ ац, ~, !лап 1 что и требовалось доказать. Очевидно, что норма ))А()11 может быть представлена в виде ))А))ц = так !)Ае)))ц. б 18) понятие пгвдвла в линейной лягание 127 Н1. )Х)э= ~~.', )хв1э=(Х, Х).

й т Подчиненная этой норме векторов норма матриц есть ~~А(~=ф ), Матрица А'А эрмитова. Пусть )т ее наибольшее собственное значение. Тогда прн (Х)=1, гпах(Х, А*АХ)=), Следовательно, /!А'а- — ф Г. Иногда эту норму называют верхней гранью матрицы. Соответственно наименьшее собственное значение матрицы А'А называют н и и н е И г р а и ь ю матрицы А. Очевидно, что ни>иная грань матрицы А есть число обратное к верхнеИ грани обратной матряцы.

Сравнение различных норм матриц приводит к следующим неравенствам ') (1) — М(А) < (/А~~: ' М(А) — М(А) < ))А~(гг < М(А) — „М(А) < /)А)! < М(А) — М(А) < М(А) < М(А) — М (А) «< (~ А !/ < М (А) = М(А) < !(А()~ <'/л М(А) = М (А) < ))А()ц < 1/ и М(А) = !)А() < ()А~)г «< "у' л ))А/( = !~А~~ < ~~А~!и«<'у' л 11А~~ — 'аА'аг «< йА'ап < л 'и А'аг. (2) (6) (7) (8) (9) (10) ц) Некоторые иэ этих неравенств имеются в работе Тюринга(1). где )ч есть наибольшее собственное число матрицы А*А.

Действи- тельно, ))А!(= шах (АХ), 1х!-г Но (АХ'=(АХ, АХ)=(Х, А'АХ). [гл. г 128 ОСнОВные сВедения иа линейнОЙ Алтеввьг ЙА(~г =гпах ~) ~а44~ ьгпах(а44~= — „М(А) 1 4 4,7 ))А/)гг=гпах ~ (асг~ ьгпах(агг(= — М(А). 1 г, г ~(А~( = гпах (АХ,'~~пгах~Аег(=- ,л~-г 4 = гпах 4/г; ап (а+ ...

+ ~ аг„(а ) гпах ~ ам ( 4 г,г ~(А~гг = гпах)ч, ь — (),,+ ... +),„) = — Зр А*А = — — М (А) 1 — гггг (А) 1 и Здесь ггг, ..., ) собственные аначения матрицы А'А. Наконец, Эти неравенства также точные. Первые четыре из этих неравенств обращаются в равенство для А = Е, последнее для 10...0 0 0...0 0 0...0 Докажем теперь неравенство (8). Имеем ((Ай= гпах ~А'Х!)~ гпах )А"ег/~~гпах= !)Аег(~п —— = — ))А(14.

1, 1 гхг=г 4 4 )гп )гп Далее, !)А))= гпах ~ АХ) < гпах ~/п )(АХ)~г ( Г.тГ=г ~ ХГ=г ( гпах 1гп ((А!!г )(Х)/г (~/ и ~!А)~г, 1ХГ-г откуда = /(А)~ (((А()г. 1 Заменой А на А* устанавливается неравенство (9). Иа неравенств (8) и (9) непосредственно вытекает неравенство (1 0). Иа (8) и (9) и правого неравенства (5) следуют правые неравенства (6) и (7). Правые неравенства (1), (2), (3), (4), (5) уже отлгечались. Все они точные, ибо они превращаготся в равенство для матрицы А, у которой а;; = 1 (1, 7 = 1, .... и). Докажем левые половины неравенств (1), (2), (3), (4), (5). Имеем 129 $13) понятие пвяделд В линяйной длгявРя Локажем левое неравенство (6).

Имеем !! А()! = шах (~ А*е;)! и )~ шах ! А*е; ~ ) ) =У)Аье,(д+ ... +) Аде„)д.==М(А). у'и уи Замена А на А* превращает неравенство (6) в неравенство (7). Неравенства (6) — (10) точные. Правое неравенство (6), левое (7), правое (8), левое (9) и левое (10) постигается для 11...1 0 О...О 00...0 А= левое (6), правое (7), левое (8), правое (9) и правое (10) для 1 0...0 ! 0...0 1 О .. 0 ), 1 ), ! ), ! ), 9 зад этч д к Фаддеев д В.

н Фаддееве 4. Сходимость геометрической прогрессии. Локажем теперь несколько теорем, связанных с понятием предела. Теорема 73.2. Для того чтобы А -РО. необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А были ло модулю меньше единицы. Доказательство. Ясно, что при любой фиксированной неособенной матрице С матрицы Ач' и (С АС) =С 'А С стремятся или не стремятся к нулю одновременно. Поэтому достаточно доказать справедливость теоремы для канонической матрицы Жордана. Лалее, для того чтобы последовательность квазидиагональных матриц одинакового строения стремилась к нулю, необходимо и достаточно, чтобы сходилась к нулю последовательность отдельных ящиков. Тем самым нам нужно установить условия сходимости к нулю лишь для матрице~, где з' канонический ящик Жордана.

Пусть 13О основные сведения из линейной алгвзеы [гл. ! Легко видеть, что при т)~/г — 1 (,)л -' 1.>)» -ь+ь ( "' ЧЛ -ьтв ( †) ( †) й — 1/ ' 'та — 2/ lгпт т(т — 1) ... (и — 1+!) где й порядок ящика, ! )= ' '!1/= Д Для сходимости З~ к нулю необходимо, чтобы !Л! ( 1, нбо диагональными элементами У" являются ), . Но это условие и достаточно, ибо при этом условии т(т — 1) ... (т — /+!) ыг ). -+О 1! при т -+ зо, для любого / = 1... й — 2.

Характеристики

Список файлов книги