Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 27
Текст из файла (страница 27)
— й „х . Итак, для решения данной системы по схеме единственного деления мы сначала строим вспомогательную треугольную систему, а затем решаем ее. Процесс нахождения коэффициентов треугольной системы мы будем называть п р я м ы м х о д о м, а процесс получения ее решения обратным. В табл. 1!.1 приведена схема единственного деления для системы четырех уравнений и численный пример. атб а О.з ол 0,7 0.9 -Одз 0.67 1 О.вб 0.17 1 О.вз ОАЗ ам 412 а 21 ам азт аоз а41 аь атз азв азз а 14 азь атз аьэ аю аь- — о.зз — 0.74 -0.11 азв а48 0.15 ' 43 '7Ы о.з 0.3590 0.7330 0.7350 0.54 — 0.5738 -0.8806 олозо — 0.26 О.тзтв О.ютб олзть Ь,з азв 1 азз.т аьз 1 олт 0.9201 о.звзт О.ЗШ5 Ьть Ь,в а25.1 '726.1 азь 1 ~136 1 а45,1 а48,1 а34,1 а41 1 о.звон 0.58914 0.60371 1.72605 1 — 0.62363 1 О.бббвз 0.65693 0.20949 526 азз.з азв 3 ам 2 6463 Ьтз Ь азз 2 аз1 2 аьз 22 а44,2 -ольвт О 91жЗ Ьзь а44.8 — Оаззаз 1.05656 1.21079 1.47240 О.ВОВЗ1 ОШ 597 Ьо Ь авь.з ам.з хь ~ хь 0.3%58 1.39358 Шшзт 2.15702 хз 421 — ОЛ6304, Одзбзб ОА4039 1А4089 Ь,з а23 1 аз «4М1 х, + д„х, + алых, + ...
+ Ьгах„= и, хз+йззхз+ ... +йзах„.=а'2 Таблица П. ( Схема единственного деления 150 точные методы вешания систем линейных пеленаний !гл. и Тай,!аца П. /а Схема единственного деления в симметричном случае а11! аы агг ОЛЯ Оде 0,44 ОЛ2 1.00 2.92 2,63 г 78 З.гг !.00 0.42 1,00 ол ОЛ ол ол ам а!4 424 '715 аг" ам а45 '7!6 0.32 434 а!4 азб а46 о.з 0.37400 О.ЗЗМВ олоэю 0.54 ~ 0.66 ьы ьж 2.92 1.45360 ! хозю 1,29280 ьы аы 1 авв1 445 олг 0,92360 Ь,Я аа4 ! а34.1 444 1 Ь!6 а26 1 7!ам! 0.09320 0.16280 и22.1'а23.1 а33 1 О 7ПНΠ— О !3646 0.56440 446.
1~ Ь25 Ь26 азь 2 436.25 и45 34 446.2'! 1.76493 1 0387! 1.00347 0.19767 — Одщзг о 53222 олгмо ОЛ9568 0.52307 ьш азз 2 Ь24 434 2 а44.а о.нзы 0.69735 ОЛ1ОО 6.7ЗЗОЯ Ь„ь Ь„ и45 3 а44 3 1.48844 1,23591 - 0.22!85 0.49737 ам.з хз 43 х! 2.43240 2.03916 ! ЗМ348 -одвга 1 1Л8240 1 03917 0.04346 -1.25730 хз Поясним табл. Н.1. В схеме мы обозначили свободные члены нсхолных и преобразованных уравнений теми же буквами, что и коэффициенты уравнений, но со вторым индексом б. Это позволяет объединить формулы, по которым преобраауются коэффициенты и свободные члены данной системы.
Шестой столбец служит для контроля. Этот контроль основан на следующем обстоятельстве, Если в данной системе сделать замену хЯ=х4+1, то для определения хз мы получим систему с прежними коэффициентами и свободными членами, равными суммам элементов строк матрицы коэффициентов (включая свободные члены). Поэтому, если составить сумму элементов каждой строки исхолной матрицы (включая свободные члены) и провести над ними все те операции, что и над остальными элементами, то, при отсутствии вычислительных ошибок, должны получа~ься числа. равные суммам элементов вновь построенных строк. В конце процесса, после окончаниЯ обРатного хода, должны полУчитьсЯ числа хп Равные х;+ 1, Иногда более целесообразным являешься использование этой идеи для контроля каждой построенной строки.
С этой целью э !б! метод глвссл в контрольный столбец записываются суммы элементов строящихся строк и полученные числа лишь сравниваются с результатами контрольных действий. Число умножений и делений, нужных для нахождения решения системы и уравнений по схеме единственного деления, равно 3 + В случае, если матрица коэффициентов системы симметрична, т. е. а;, =а1н мы имеем, очевидно, а;1 в=ад; „. ПоэтомУ можно опустить запись элементов, расположенных ниже диагонали. Схема единственно~о деления, приспособленная для симметричного случая, показана в табл.
П.1а. Первый элемент строки, опущенный при записи коэффициентов (и нужный нам для вычислений элементов вспомогательных матриц), мы легко находим как верхний элемент столбца, включающего диагональный элемент данной строки. Контрольный столбец по-прежнему содержит суммы всех элементов каждой строки, включая и опущенные при записи. Число вычислительных операций в схеме единственного деления значительно сокращается, если матрица коэффициентов системы почти треугольна, в час~ности, если она трехдиагональна. В случае, если нужно решить несколько систем с данной матрицей, естественно искать решения одновременно, выписывая свободные члены в соседних столбцах.
Контрольная сумма образуется как сумма элементов строк расширенной матрицы. Схема решения нескольких уравнений дана в табл. !!.2. Схема единственного деления очень проста и удобна. Однако онз не являешься универсальной, в том смысле, что для ее применимости нужно, чтобы все ведущие элементы были отличны от нуля. Это обстоятельство, однако, не может быть предсказано без вычислений, которые в той или иной форме эквивалентны самому применению схемы. Близость ведущих элементов к нулю может быть причиной значительной потери точности. Поэтому схему единственного деления целесообразно несколько видоизменить, не предписывая а рпог! порядка исключаемых неизвестных. Наилучшим вариантом является схема единственного деления по главным элементам. В этой схеме в качестве исключаемой на и-м шагу неизвестной выбирается та.
коэффициент при которой на предыдущем шагу был наибольшим по модулю. При вычислении по схеме главных элементов исчезновение значапгих цифр может происходить, только если система плохо обусловлена, так что происходящая при этом потеря точности неизбежна по существу дела. Отметим, что в разобранном примере главные элементы совпадают с коэффициентами а м так что обе схемы совпадают, 152 точные методы вешания систем линейных ггавнвний [гл. и Таблица /I. 2 Схема единственного деления.
Несколько систем уравнений олб 0.4Я О.гг 1.00 0.54 0.42 1.00 о.ы ОЛЯ ОЛЯ О.З2 !.ОО о.ю О.ы о,зо ОЛ5 О.бо 0.25 О.Я5 0.65 Оож о.з 0.5 О.7 О.о 3.32 3.43 6.88 Я.67 0,25 О.ЗМОО О.мзбо 0.68500 олз з.зг озм700 г.оззбо ! 0.42 0.82360 О,ООЗЮ ОЛШ8О о,з 0.37400 0.53800 0.70200 олб 0.16280 — О.1;!646 0.56440 ол! О.ОЗЗ2О 0.70840 -ОЛЗ64О 0.36900 О.5ОЯОО 2.08720 2.47880 0.28776 ООМ218 ОЛзпз 0.19767 - 0.15482 о 63222 2Л7159 1.85683 2.076\3 0 11316 0.69785 — ОЛЫ82 ОЛ5410 0.49566 0 62807 ОЛ!889 0.47596 0.6!680 0.49033 ~ 2Л6082 О.з:Ооб ( 7Л8838 03В20! 0.72239 — 0.221Ю О.юга! О.7!О!О О,7ЗЗО! 1.06466 4.99301 0.72652 з.гэы — 02!0490 1.ОЗ7О5 . ОЮЗа — 2Л3323 1 1,45096 ! Оозы О.О!6П вЂ” !.25752 1.48210 !.О!917 0,04348 — !.2 73О Существуют и лругие вычислительные схемы.
В частности, каждую из описанных схем можно применять как с заранее предписанным порядком исключения неизвестных, так и выбирая порядок исключения по ходу процесса. например, по главным элементам. Последовательные исключения неизвестных, преобразующие данную систему в систему с треугольной матрицей, мох!но проводить и по другим вычислительным схемам. В схеме деленна н вычитания на каждом шагу делятся все уравнения на коэффициент при исключаемой неизвестной н затем само исключение производится вычитанием одного уравнения из всех остальных. В схеме умножения и вычитани я на первом шагу неизвестное х, исключается из !'-го уравнения посредством умножения этого уравнения на ан и вычитанием 1-го уравнения, умноженного на ан.
На последующих шагах применяется тот же прием, так что коэффициенты вспомогательных уравнений ая .„, на т-м шагу вычисляются по формулам "яг = л -!л!77 -! "и -!лму УЯ = а . „, !Л. „,, — а!04.,7,„. „,, э 16) мзтод ГАуссА дэ( аз!= - —— 2/2 2 ам+а см .= а(( 2 2 ам+а„ (если а„ = ам = О, берем см = 1, тм = 0) и первые два уравнения системы заменяем уравнениями сз,у, — ззьуз = ссср( — ззьГ2 ,(У, + сз,У = заЛ+ с 1 Здесь через у, и уз обозначены левые части первых двух урзвнений исходной системы.
После преобразования во втором урзвнении коэффициент при неизвестном х, будет равен нулю. Далее аналогичным образом обрабатывается преобразованное первое уравнение с третьим исходным уравнением, полученное новос первое с исходным четвертым н т. д. После а — 1-го шагз процесса мы придем к системе вида а(,х,+а, х + ...
+а,„х,= у, (() (!) и) (() ат х + ... +ае„х„=уз (() ('н (() м1) Пд Хз -)- ° ° — )- ПььХь = 2 н Теперь тот же процесс применим к системе с отброшенным перл(л — 1) вым уравнением. После шагов мы придем к системе с тре- 2 угольной матрицей, которзя решается обычным обратным ходом. Эта схема исключения требует приблизительно в 4 раза бэльше вычислительных операций, чем схема единственного деления, но отличается большой стабильностью и мало чувствительна к „провалам" промежуточных определителей системы. В табл. !!. 3 дается решение системы, ранее решенной в табл.
В. 1 методом единственного деления. В последнем столбце таблицы помещены числа с;. и эм, в ненумерованных строках — вспомогательные величины, нужные для их вычисления. Вычислительные схемы метода Гаусса основаны на приведении системы к системе с правой треугольной матрицей посредством линейного комбинирования уравнений, что равносильно умножению слева матрицы системы (и одновременно столбца свободных членов) на некоторые вспомогательные матрицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
