Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если А положительно-определенная матрица, то метод квадратных корней про~екает без всяких осложнений. Если же А не половвительно-определенная, то возможно вырождение процесса за счет того, что некоторый коэффициент зн может оказаться равным нулю илн близким к нулю. Может оказаться также, что подкоренные выражения для некоторых зн окажутся отрицательнымн.
Однако это не внесет существенных затруднений. Лействительно, в этом случае в строку. для которой зч (О, будут входить чисто мнимые числа, действия с которыми ничуть не сложнее, чем с вещественными числами. Вычисление элементов 541 гтак же как и элементов ав и а41 производится последовательно по строкам. Любой диагональный элемент вычисляется как корень квадратный из разности между соответствующим элементом а и суммой квадратов всех вычисленных элементов з, находящихся в том же столбце.
Недиагональный элемент 541 получается вычитанием из элемента ав. суммы произведений соответствующих элементов з, взятых из столбцов с номерами 1 и 1'. 1!олученная разность делится на диагональный элемент строки. Так, 168 точные методы гашения систем линейных гвавнвний [гл. и Поясним сказанное на примере. В настоящее время метод квадратных корней широко используется для решения симметричных систем и может быть рекомендован читателю, как один из наиболее эффективных методов.
5 21. Обращение матрицы Как уже говорилось во введении, задача решения линейной неоднородной системы и задача обращения матрицы тесно связаны друг с другом. Действительно, если для матрицы А известна ее обратная матрица А , то, умножая равенство па А слева, мы получим Х=А Р. (2) Обратно, определение элементов обратной матрицы можно свести к решению п систем вида где 3н — символ Кронекера. Последнее вытекает из определения обратной матрицы АА '= — Е и правила умножения матриц. 169 9 211 ОБРАЩБНИЕ МАТРИЦЫ Применяющийся в строительной механике прием определения решения системы при помощи так называемых чисел влияния' ) есть не что иное, как решение системы посредством построения обратной матрицы.
Сами числа влияния суть элементы обратной мзтрицы. Численное решение л систем уравнений, дающих элементы обратной л~атрицы, можно осуществлять, например, по методу единственного деления для нескольких систем с общей матрицей коэффициентов (см. табл.
!!. 9). Таблица П.р Обращение матрицы. Схема единственного деления О 0 ! О 3,62 0,42 ' 0.54 0.66 ОА4 0.22 1.00 1.00 ОА2 0.54 0.66 ! 0 О 1 3.18 3.08 3.32 1.00 ~ 0.32 0.32 1.00 0.44 0.22 О ! О О / О 3.62 1 0.42 0.82360 0.09320 0.16280 0.54 0.09320 0.70840 — 0.13640 0.66 0.16280 — 0.13640 0.56440 1 — 0.42 — 0,54 — 0.66 0 ' 0 1.65960 0 '1.12520 0.93080 0.19767 ( — 0.50996 — 0.15482, — 0.49247 0.53222 — 0.57698 ~Г' 2.01506 0.93740 'д.60275 1.2! 418 — О.1!3!6 — 0.19767 О 1 0 0.113166 0.69785 — 0.15482 1,43297 0.22185 О 1.34327 1 0.81071 — 0.16216 — 0.22278 1 — 0.22185 — 0.70570 0.49787 — 0.68624 2.00856 0.44560 — 0.44746 — 1.37834 1 — 1.37835 — !.О1 ! 49 ' — О.! 2304 2.50759 1,62836 1.70452 1.50030 0,99472 — 0.44746 — 0.26143 1.33221 — 0.12303 0.44560 1.53183 — 0.26142 — 1.01149 т) А.
А. У манский [1). В результате мы получим матрицу, состоящую из строк обратной матрицы, расположенных в противоположном порядке. Для контроля вычисления и оценки точности результата целесообразно произвести умножение А на А 170 точные методы гашения систам линейных гвавнений [гл. и Теорема о разложении матрицы в произведение двух треугольных матриц дает воз!!ожность построить к о и и а к т н у ю с хе и у для вычисления элементов обратной матрицы.') Эта схеиа требует всего 2па записей, причем из них п! записей будут давать элементы обратной матрицы. Пусть А = СВ, (4) причем элементы треугольных матриц С и В определяются по фор- мулаи (2) й 18, которые мы здесь перепишем; !-1 см = а!! —.~~ спЬ,, (!') У), с=! ! †! а!) — ~ сна!! 1=! Ь; = си Обозначим элементы обратной матрицы А '=Р через г(!!.
Имеем, очевидно, что Р=В 'С '. Покажем, что элементы !(гт можно определить, не обращая матриц В и С. Умножая равенство (5) на С справа, получим РС вЂ” В ' (б) Матрица В, очевидно, также треугольная, с единицами по главп(п+1) ной диагонали. Поэтому мы знаем ее, элементов (из них 2 л (л — 1) будут нулями и остальные п единицами). 2 Аналогично, умножая равенство (5) на В слева, получим ВР=С (7) -! л (л — 1) Так как матрица С треугольная, то ее элементов 2 будут нулями.
Легко видеть, что система, полученная объединением упомянутых л!и+1) л (л — 1) выше равенств системы РС=В и равенств си- 2 2 стемы ВР=С т, является рекуррентной системой, дающей возможность определить п' элементов обратной матрицы. !) У о и Л у а й р [! ). 9 21! 171 овгзнпвнив млтгицы Мы выпишем ее для «= 4. 1=1 2 3 4 О 0 О ! О О 1 О 1 2 3 4 О О О О О О С1137н+ Сззазз+ Сззг'!3+ Сззг'13 = С223112+ Сззггзз+ Сзззззз = С333313+ С431334 = С3431,3 = '111+ Ь123321+ Ь133131+ Ь133241 = Йз! + Ь231731+ Ьззггзз = 3131 + Ь341741 Таблица 11.10 Компактная схема обращения матрицы 1.0! 0.42 0.42 1,00 0.54 )0.32 О,бб !0.44 0.54 0.32 0,66 ОА4 0.22 1.00 ! 0.22 !ЗЮ ~ 1 042 — 1.37834 — 0.44745 0.44560 2.00855 2.50759 — 0.12303 — !.01149 — 1.01149 — 0.26143 1.53184 ОА4560 — 0.12303 1.33221 — 0.26143 — 0.44745 0.54 0,11316 0.69785 ! 1 0.66 0.19767 — О 22185 0.82360 3 1 0.09320 0.16280 0.42 0.54 0.66 ! ! — 0.15482 ОА9787 1 — 1.37834 Компактная схема обрагцения матрицы может быть распространена на клеточные матрицы с квадратными диагональными клетками.
Разложив матрицу А в произведение СВ двух квазитреугольных матриц, мы ищем обратную матрицу Р=А ' тоже в клеточном виде. Тогда, аналогично числовому случаю, клетки Р;з обратной Из уравнений первой группы, прн 3 = 4, определяются последовательно 3734 С!43 3332, 3141 Затем, из уравнений второй группы, прн 1=4, определяются 3133, 3124, а113. Лалее процесс идет аналогично, н мы пользуемся по очереди формулами первой в второй группы. Именно, нз уравнений первой группы, при 1=3, определяются 3121, С!32 и аззз н из уравнений второй группы, при 1'=3, 3123 и 3713; нз уравнений первой группы, при 3 = 2, 3721 и с!22, н из уравнений второй группы, прн 1 = 2, 3112. Наконец, из уравнений первой группы, прн 1 = 1, определяем а111.
Обращение матрицы по компактной схеме показано в табл. П.10. 172 точныя методы вешания систем линейнгях гглвнений !гл. и матрицы находятся последовательно из соотношений (мы их приводим для и= 4): ю'=1 2 3 4 же, как и в случае чис- 5 22. Задача исключения Эта залача в простейшем случае состоят в вычислении значения линейной формы с,х, +сах,+ ... +с„х„, (!) где с,, са,..., с„данные числа, а х,, х,,..., х„решение системы (2) определитель которой отличен от нуля. Естественный ход решения этой задачи заключается в определении чисел х,, х,, ...,х„ в явном виде и в подстановке их в выражение (1). Однако этого можно избежать следующим образом.
Запишем матрицу коэффициентов системы (2) и припишем справа от нее столбец свободных членов, а под ней строку, состоящую из коэффициентов вычисляемой линейной формы, взятых с обратными знаками. В правом нижнем углу поставим число О. Мы придем к схеме: Л ,Л аи а1а ° ° ° аг ам ааз ааь (3) а„, а„, ... а„„ — с — с...— с г а Ф В„С„+ В,ас,, + В;зС„+ Выси — — Е ВиСзз+ ВыСм+ В;4С42 = в;зсзз+ в;,С, = В мС а у= В, + ЕжВ„+ ВыВ„+ „ . = В, +В„Вз +ВыВгу= в„.„+вмв, = Порядок определенна матриц ВО такой лозой матрицы, ацх, + а„х, + ... + аьчх„=~, амх, + аа,х, + . + аа„х„=~а а„,х,+ая,ха+ ., +а„„х,=~„, О О О О Е О Е 3 4 О О О О О 173 злдлчл исключения или, в сокращенной записи, (3') Пусть Т„Т,,..., („ обозначают решение системы уравнений: а!!Т!+а,!Та+ ...
+ а„!Та=с! а!!71+ аы 1!+ + а!!зТи = — с! (4) а!и"!'! + !'!2и'(2 -!- ... ' аи Ти — Си. Тогда .Г!Т!+ЛТ!+ +У Т. =- = — (анх, + . +(а„х, + . + а!иха) Т.! + + а!ахи) !З + + + !"иихи) Ти +а„!Т„)х!+ + аи,Ти) ха + + аии !и) Хи = С!Х! + Ссх!+ .. -Г СиХи. + +(аи,х, + = — (а!!Т! + +(а Т+ +.
+ (а,иТ, + Таким обРазом, вычисление фоРмы с,х, + сах,+ .. + саха можно заменить вычислением формы У!Т~+ЛТз+ +У Т О дру гой стороны, очевидно, что если мы умножим первую строку схемы (3) на Т,, втоРУю на Тм ..., и-ю на Ти и добавим к последней стРоке, то мы получим строку, элементы которой, расположенные за двойной чертой, равны нулю; элемент в правом нижнем углу, очевидно, равен искомому числу, Обратно, если каким-либо способом мы подберем линейную комбинацию и строк так, что добавление ее к последней строке дает нулевую строку (до черты), то коэффициенты этой комбинации будут решениями системы (4), и, следовательно, элемент в правом нижнем углу будет равен искомому числу. Эго следует из единственности решения системы (4). Таким образом, нет необходимости находить числа Т,, Т,, ..., Ти. НУжно только аннУлиРовать последнюю строку за счет добавления подходящей линейной комбинации первых п строк.
Это мо!кно сделать обычным прямым ходом процесса Гаусса, примененным к схеме (3). 174 точные методы гашения систем линейных шлвнений [гл. и а„а„... а,„(~Л а„, а„, ... а„„(у„ Ю вЂ” с,— с,... — с„[[а~, Этим, способом можно пай~и и решение системы (2) беэ применения обратного хода. Действительно, выражения хь хе, ..., х„являются частными случаями линейной формы (1) с коэффициентами (1, О, ..., 0), (О, 1, ..., 0), ..., (О, О, ..., 1). Одновременное их определение может быть осуществлено по схеме исключения с одновременной записью в нижнем левом углу строк ( — 1, О, ...,0), (О, — 1, ..., 0), ..., (О, О, ..., — 1), которые вместе составляют матрицу — Е.
В правом нижнем углу вместо числа 0 мы помещаем нулевой столбец. Таким образом, исходная схема для решения системы имеет вид: А[)Š— Е[[0 (5) Получив нулевую матрицу в левом нижнем углу схемы за счет добавления подходящих линейных комбинаций первых и строк, мы получим в правом нижнем углу столбец, составленный из значений неизвестных. Обращение матрицы равносильно, кзк мы видели, решению л систем частного вида, свободные члены которых образуют единичную матрицу. Решение их в совокупности можно осуществить при помощи схемы А)Е (6) — Е!, 0 где Е по-прежнему обозначает единичную матрицу, а в правом нижнем углу расположена нулевая матрица и-го порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
