Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 32
Текст из файла (страница 32)
42 — ОЛ4 — О.ба о.зо — 0.50996 аогбм 0.93740 о.аш75 — 0.56037 0.113Ы 0,19767 0.69785 ~ — О.И482 -0,15482 ОЛ3222 — ОА9568 -0.62307 — 1.37835 -1.25780 ОА4560 2.00%6 1.03916 1.48240 1.62336 1.30725 — 0.44746 огнзм 1.00 0.42 0.54 олб -о.з О. 42 1.ОО о.зг 0.44 — 0.5 ОЛ4 огм 1ОО 0.22 -ол 0.54 О.ОЗЕРО 0.70340 — 0.13640 -олзшо алб азм озг 1.00 виол О.бб 0.16280 — 0.13640 0.56440 — о.амоо — о. гмзз 0.49787 — 0.73804 — 0.49247 -О 57698 алоиз — 0.70570 -0.68824 -0.24052 о 1 о о о 1.21418 — 0.11316 — 0.19767 алема -0.16216 -0.22278 0.37372 1.43297 0 ОЛ2135 1 0.71029 0 1,34527 озноп 0.10546 1В1 ф 221 ИСКЛЮЧЕНИЯ задача Таблица П. 13 Вычисление произведения А 1В 3.62 ЗАВ 3.08 о о о олб 0.44 о.гг 0.54 оги 1.00 олг 1.00 0.42 0.54 0.66 0.42 1.00 о.зг 0,44 3.32 — 2.20 — 2.40 — 1.50 -0.25 — 0.63 -ОЛО --0.15 -оло -оло -0,45 — о.ао -оло -0,90 — о.№ — О.ВО о о — о.зо -0.40 3.62 !.О3№о !.
иао О 9№№ 1 — 0 42 — озн — О.бб — 1,29300 — !.3!400 оло — 0.95700 — 1.27600 ОЛВ 2.01506 0.93740 0.60275 1 0.11316 0.69785 — 0.15482 — 0.47596 -О.49№3 - О.З4И — 0.45624 — ОЛ9980 — О.56037 -О.47943 — 0.63924 1А3297 0.22135 ОЛ32 О4 абио 29 0.49033 а.юзгв 0.44560 2.00856 1.003 94 1.45096 1.03916 !А8240 0.72652 1.06466 0.96871 1.41957 — 1.37835 — 1.25753 — 1.25780 — ОЛ4295 — 1.257№ 1 0.42 О.82№О 0.09320 0.16280 — 0.34500 — 0.37400 — 0.237№ — о.з!№о 0.54 о,о№га О 7№40 — 0.13640 — 0.51500 — ол№№ — 0.36900 — ОА9200 о.м 0.16280 — 0.13640 0.66440 — алзṠ— олагбо — о.зо!ао — О.ббзаа О.!9767 — 0.16482 0.53222 — 0.61680 — 0.62807 -0.45415 — 0.60554 — 0.22185 ОА9787 -0.72239 — 0.73804 — ОЛ3006 -алана ~ — 0.50996 — 0.49247 — 0.57698 0.07406 0.10928 0.02914 О.азу — 0.70570 -0.68624 — О.гб!Вг — о генг — 0.2!234 -0.2К312 1.214!8 — О.!!3!6 — 0.19767 0.4!689 0.45410 0.28776 О.ЗВЗВ — 0.16216 — 0.22278 азин! 0.37372 0.23227 ОЛ0970 — ОА 4746 0.01847 ОЛНЗ48 — 0.00491 — О.аобзб о о 1 о а о о !.ЗВЗЮ 0.8107! 0.03954 0.10546 — 0.01979 — 0.02639 !.62836 1.21585 !.30725 0.84334 1.12 И7 182 точныв мвтоды гяшзння систвм линьйных гглвнвний !гл, и 5 Ж Исправление элементов обратной матрицы Обращение матрицы по всем приведенным выше схемам не дает уверенности в точности полученных результатов из-за неизбежных округлений, влияние которых на конечный результат трудно оценить.
Для контроля точности матрицы В, полученной из данной матрицы А каким-либо процессом обращения, следует составить произведение АВа. Отклонение этого произведения от единичной матрицы указывает степень неточности полученных результатов. Пусть это контрольное вычисление покажет нам, что приближение В, к А ' таково, что !! Й !! ( и ( 1, где Йо = Š— АВо. (1) В качестве нормы матриц удобно брать первую или вторую норму, введенные в а !3, как наиболее легко вычисляемые, При этом условии элементы обратной матрицы А могут быль вычислены со сколь угодно .большой точностью при помощи следующего итерационного процесса.') Образуем последовательность матриц Р1 = Ва (Е+ Йо), Й, = Š— АВ, В, = В, (Е+ Й,), Й, = Š— АВа (2) Р„=В,„,(Е+-Й,), Й =Š— АВьп Проверим, что матрица Й = Š— АВ равна Йо . Действительно, Й = Š— АВ„, = Š— АР„, (Е+ Й„,,) = =Š— (Š— Й -г)(Е+Йм,)=Й -г=Й~, = .
=Й (3) Отсюда следует, что Во,=А '(Š— Йо ). (4) Последняя формула показывает, что В стремится к А ', причем сходимость процесса очень быстрая. Дадим оценку погрешности, принимая во внимание, что А '=Ва(АВо) '=В,(Š— Йо) ': !!Вм — А ! =!! — А Й~о™'11=1~ — Ва(Š— Йо) Йо !1( (!!Во!!1!(е — Йо) '1!11Йо 11(!!Во!!1 а ( ) 11з этой оценки видно, что как только начальное приближение выбрано так, что !!Š— АВа!)(и (1, число верных десятичных знаков возрастает в геометрической прогрессии. г) Х отел ли иг [1!. Отметим, что Хотеллннг пользовался нормой Ж(А).
$ 231 ИСПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ 183 Последовательные приближения следует вычислять, раскрыв скобки в формулах (2), именно: О = О 1(Е+-)7 1) = О , +О 1(Š— АО ,). 16) Второе слагаемое будет играть при этом роль малой поправки к первому. Иногда, исходя из матрицы )7е, целесообразно образовать матрицы 1 тт1 = )тй, )т1 — — )тп = (Й1) посредством последовательного возвышения в квадрат и затем воспользоваться формулой (6). Замечание.
В случае, если А симметричная матрица и в качестве начального приближения О, взята симметричная матрица, то н все последующие приближения будут матрицами симметричными, хотя матрица Й может оказаться и не симметричной матрицей. Действительно, из формулы (6) следует, что От = 2От,— От,АОт откуда, допустив, что А =А, О 1=-От,, получим 2От — 1 От — 1АОт-1 = От В качестве примера применим описанный процесс для уточнения элементов матрицы А для 1.00 042 0.54 066 042 1.00 032 044 0.54 0.32 1.00 0.22 0.66 0.44 0.22 1.00 А= (7) 2.5076 — 0.1230 — 1,0115 — 1.3?83 — 0.1230 1.3322 — 0.2614 — 0.4475 — 1.0115 — 0.2614 1.5318 0.4456 — 1.3783 — ОА47О 0,4456 2.0086 Ое = Контрольное вычисление дает для гт' следующее значение: — 52 — 60 — 18 — 66 †.18 20 — 50 - 8 — 34 20 — 1О 10 )7 =1О 26 — 10 1Π— 54 За начальное приближение возьмем результат обращения матрицы А по методу единственного деления (удерживая 4 знака после запятой) из табл.
11. 9. 184 точныв мвтоды гашения систем линвйных твавнвний [гл. и Отсюда мы видим, что )()7 (~, < 0.000150, (()те~)ц < 0.000196. Для оценки погрешности берем (~йе''(~. В силу формулы 15) имеем, принимая во внимание, что ()В,~(, < 5: ф 4-') <- 1оооо15)з <00000001 ! — 0.00015 Таким образом, 7), дает для А ' значение верное с точностью, по крайней мере, до единицы седьмого знака для каждого ее элемента. Вычисляя, получим; 2.50758616 — 0.12303930 — 1.01148870 — 1.37834207 — 0.12303930 1.33221281 — 0.26142705 — 0.44745375 — 1.01148870 — 0.26142705 1.53182667 0.44560858 — 1.37834207 — 0.44745375 0.44560858 2.00855152 18) Контрольное вычисление Š— А1), дает: 2 0 0 1 0 — 1 1 1 0 0 0 Š— АП,=10 0 — 1 1 0 Именно, х, = 1.2577938, ха = 0.0434873, х, = 1.0391663, х, = 1.4823929.
(10) 9 24. Обращение матрицы при помощи разбиения иа клетки Иногда бывает целесообразно при обращении матрицы предварительно разбить ее на клетки. Мы рассмотрим формулы для обращения матрицы порядка л, разбитой на четыре клетки по схеме А(В с~в где А и 7) квадратные матрицы порядков р и д; р+д=н. Уточненное значение матрицы А позволяет получить уточненное решение неоднократно рассматрпваемой системы х, + 0.42хз+ 0.54хз+0.66х4 — — 0.3 0.42х,+ х,+0.32ха+0.44х4 = 0.5 0.54х„+ 0.32х, + ха+ 0.22х, = 0.7 0.66х,+0.44х, + 0.22хз+ х, = 0.9.
4 241 оввдщвнив млтгицы пви помощи влзвиания нл клетки 185 Будем искать обратную матрицу также в виде клеточной матрицы где К и И снова квадратные матрицы порядков р и д. Согласно правилу умножения клеточных матриц, должны иметь место следующие матричные равенства АК+ВМ = В АЕ+ВМ =О СК+ЕгМ = О СЕ+ОМ =-Е. Умножив третье равенство слева на ВВ ~ н вычитая из первого. получим (А — ВВ 'С) К=В, откуда К= — (А-- ВО С) Из третьего равенства, далее, находим М= — Е) 'СК. Подобным же образом из второго и четвертого уравнений находим И=( — СА В) и Е= — А 'ВКг. Конечно, зти формулы выведены в предположении, что все указанные обращения матриц выполнимы.
Таким образом, обращение матрицы порядка и сводится к обращению четырех матриц, из которых две имеют порядок р и две порядок д, и к нескольким матричным умножениям, Выведенные формулы можно изменить так, что для вычисления матриц К, Е, М и М нужно обратить лишь две матрицы порядков р и д. Именно, легко проверить, что М вЂ”.— (Е) — СА 'В); М==.— ИСА ' Е=А 'ВМ; К= — А ' —.А" ВМ и аналогично К=(А — ВЕт С); Е=КВ0 ' М= — О СК; г"'=В ' — Ет 'СЕ. !86 точныз методы гкшвния систвм линейных гглвнвний [гл.
и Последние формулы показывают, что метод разбиения удобно применять в том случае, когда какая-либо диагональная клетка легко обращается. В качестве примера найдем обращение матрицы 1.00 0,42 ! 0.54 0.66 0.42 1.00 [ 0.32 0.44 0.54 0.32 . '1.00 0.22 0.66 0.44: 0.22 1.00 1. 2 ! 418 — О. 50996 А — 0.50996 1.2!4!8 и образуем произведения 0.49247 0,57698 [, [ 0,49247 0,11316 О.!!3!6 О.!9767 )' ~ 0.57698 О,!9767 0.30215 0.37482 0.37482 0 46778 Вычисляя послелнюю матрицу дважды, как С(А В) к (СА'')В, мы получаем нонтроль предыдущих вычислений. 2) Образуем матрицу 0.69785 — 0.15482 — 0.15482 0.53222 в находим ее обратную ) 1.53183 0.44560 [ 0.44560 2.00855 ~ ' 3) Вычисляем матрицы — 1.0 1"1 48 Л4 = — МСА — 1.37834 — 1.01 ! 48 Л= — А ВМ= — 0.26142 — ОА4745 — О.
12335 1.3322 ! 2.50758 1 — 0,12305 Вычисление проводим следующим образом. 1) Вычисляем матрицу А — 0.26142 — 0.44745 — 1.37834 й 25) мятод оклймлвния Таким образом, искомая обратная матрица будет: 2.50758 — 0.12305 — 1.01148 — 1.37834 — 0.12305 1.3322! — 0.26142 — ОА4745 — 1.01148 — 0.26142 !.53183 0.44560 — 1.37834 — 0.44745 0.44560 2.00855 Изложенный метод по существу совпадает с описанной выше компактной схемой обращения клеточной матрицы для случая разбиения матрицы на четыре клетки. 9 25.
Метод оцай!мления В этом параграфе мы рассмотрим вычислительные схемы для обращения матрицы и решения линейной системы, основанные на идее окаймления. Данную матрицу А мы будем рассматривать как результат окаймления матрицы и — 1-го порядка, для которой мы будем считать известной обратную матрицу, Итак, пусть йн йгт ... йг, г . йг„ йю аж йг, -г ! 'йз — й~-ь -г ! ~-ь ч й Здесь Ап, обозначает упомянутую матрицу и — 1-го порядка, о„=(а„о ..., а„„,), и„=(анн ..., а„, „) . — 1 Матрицу А ищем также в виде окаймленной матрицы 1 где Р„г матрица, д, строка, г„столбец и — число, которые нам ча нужно определить. 188 точныв методы ввшвния систем линвйных твлвнвний [гл. и По правилу умножения окаймленных матриц имеем: А„ АА 1= а„и Е О а, '4« — грп — 1 иис)и «п пири-1+ апп Уп О 1 Отсюда аи аии наги+ —" «в (4) Из равенства (3) имеем и потому, на основании (2) и (5): — 1 — 1 о„А„1 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
