Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Теорема доказана. Установленный критерий положительной определенности очень удобен для практической проверки. Существует другой критерий положительной определенности квадратичной формы, применение которого не требует приведения формы к каноническому виду. Теорема 12.3. (Критерий Сильвестера). Квадратичная форма Хагзхгхз положительно определена в том и только в том случае, если все определители а1, ... ане ан а„ Ь,=ан, Л,= аг! 1'122 ав,... а„„ положительны. Доказательство.
Пусть е" (х1, ..., хв) = ~ а "х.х положи- Ц 1 2 4,2 1 тельно определена. Тогда А=В'ЛВ, гдеВ матрица, преобразующая форму к каноническому виду, Л = (а,, ..., а„) диагональная матрица, составленная из коэффициентов канонического представления. В силу доказанного выше критерия положительной определенности все а; ) О. Поэтому Л„=1А1=1В'( ° 1Л) ° 1В)=агвь... ав)В)2) О. Вместе с тем, если форма 1'(х1, ....
х„) положительно определена, то положительно-определенными будут и все формы ь Рь(хе, ..., хь)=-Р(х1,..., хь, О, ..., О)= ~ агзхгхр 4,3 1 Поэтому все определители Ьь (я=1. 2, ..., и) положительны. Лопустим теперь, что Л, ) О, ..., Лп ) О. Тогда матрица А может быть разложена в произведение А = СЛВ. где Л= ~Л1, —, ..., — ~. С и В треугольные матрицы с единича а ными диагональными элементами. Так как матрица А симметрична, 3 Зав.
97К Д. К. Фаддеев а В. Н. Фавдеева 114 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕйНой АЛГЕБРЫ 1гл. Г то С = В'. Если теперь в квалратичной форме сделать преобразование переменных с матрицей В, мы придем к квадратичной форме с матрицей |ь, т. е, к канонической форме с положительными коэффициентами. Тем самым форма Р(хн ..., х„) положительно определена. 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду. Теорема 12.4.
Любая квадратичная форма с вещ ственной матрицей коэффициентов может быть приведена к каноническому виду при помощи преобразования переменных с ортогонильной матрицей. Доказательство. Пусть А — матрица квадратичной формы. Тогда, согласно алгебраической формулировке теоремы 11.3, существует ортогональнзя матрица Р такая, что Р'АР= й есть диагональная матрица. Сделав в квадратичной форме преобразование перемешпах с матрицей Р, мы придем к квадратичной форме в новых переменных с матрицей Л, т.
е. к квадратичной форьге Л,у,+Л у,+ ... +Л„у„. Теорема доказана. Отметим, что коэффициенты Л,, ..., Л„, полученные при ортогональном преобразовании квадратичной формы к каноническому Виду, являются собственными аначениями матрицы формы. 4. Закон инерции квадратичных форм. Ясно, что одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду бесконечным множеством способов. Например, можно сделать сначала какое-либо неособенное преобразование переменных, а затем „спохватиться" и применить хотя бы способ, описанный в п.
1. При этом, очевидно, что и сами коэффициенты ан аг ..., а„могут получаться различными. Олнако верна следующая важная Теорема 12.В. Число Гголожигпельных, отрицательных и нулевых коэффициентов в Гсаноническом представлении квадратичной формы не зависит от способа приведения. Доказательство. Пусть Р(х, ..., х„) =а у,-'+ ... +а у-' — а „у-', — — ар+аур .ч= два канонических представления данной квадратичной формы. В этой записи мы прелполагаем, что все аг) О и р, ) О. Нулевые коэффициенты мы опустили.
Тем самым переменные урьччы ..., у„н з,,чы ..., е„фзктически не входят в преобразованйые квадратичные формы. Йнтерпрет|Груем квадратичную форму кан функционал от вектора Х, коорднпатамн которого в некотором выбранном базисе являются числа хо ..., х„. Тогда переход от переменных х,, ..., х„ к переменным у,, ..., у„, так же как и переход к переменным з,, ..., а„, может лнтерпретироваться как преобразование координат. Обозначим через т|о ..., У„тот базис, в котором координатами 5 12! кзаделтнчныа еоемы вектора Х являются у,, ..., у„, и через ЧЧо ..., %„тот базис, в котором координатами являются г,, ..., г„.
Нам надо доказать, чтор=г, >у=в, Допустим, чтор ' г. Рассмотрим подпространство(1, натянутое на векторы Ч „,, ..., Чр,, ..., Ч„, и подпространство Р. натянутое на векторы %>, ..., ЪЧ„. Сумма размерностей этих подпространств равна и — р+ г ) и. По теореме о размерности суммы и пересечения мы заключаем, что размерность О П Р больше нуля, ибо размерность векторной суммы Я и Р не может быть больше чем л. Следовательно, в Я П Р существует хотя бы один вектор Ха+О. Пусть уы ..., у'„' и гн ..., г,', его координаты соответственно в базисах Ч,, ..., Чп и ьЧ>, ..., %з.
Так как Ха~О, то у'= ... =у"=-О, так как Х,~Р, то г"„~> = ... =-г,', =О. Следовательно, Г (Х ) = р ге>+ ... + р гь . Из первого равенства заключаем, что Г(Х„) т. О, из второго равенства следует, что Г(Ха) ) О, ибо хотя бы одна нч координат г',, .... г', о~лична от нуля, так как иначе вектор Х, был бы нулевым. Полученное противоречие показывает, что предположение, что р ( г, неверно. Совершенно так >ке предположение р ) г приводит нас к про~иноречию. Следовательно, р = г, и теорема в части, касающейся числа положительных коэффициентов, доказана. Для доказательства того, что д = з, достаточно рассмотреть вместо формы Г форму — Г. 5. Одновременное преобразование двух квадратичных форм к каноническому виду.
Теорема 13.б. Пусть Г(х,,..., х„) и Ф (х,,..., х„) две квадратичные формы, причем Ф(х,,..., х„) положительно определена. Тогда обе формы можно привести к каноническому виду одним и тем же преобразованием переменных. Доказательство. Приведем каким-либо преобразованием форму Ф(х,, ..., х„) к каноническому виду Ф(хы ..., х„)=а,у-',+ ... +а„у„'-'. То же преобразование сделаем в форме Г(х,, ..., х„).
Полученную форму обозначим через Г,(у,, .... у„). Далее, в обоих квадратичных г1 гв формах положим у, = ', ..., у„= —;-" —. Коэффициенты этого '$ е> Ъ "а преобразования вещественны, ибо а,) О, ..., а„) О. После этого преобразования получим, что 2 Ф(х,, ..., х„)= г>+ ... +г„ Г(хн ..., х )=Ге(г>, ..., г ).
8е 11б основныг. сведения из линвйной ллгввгы )гл. ~ Теперь приведем форму Е,(гп ..., г„) к каноническому виду ортогональным преобразованием (г,, ..., г„)' = Р ()о ..., г„)'. После преобразования получим Е,(г,, ..., г„) =).,(',+ ... +),„('„. При этом же преобразовании форма г,'-+ ...
-+г'; преобразуется в Г,+ ... +г„. Действительно, матрицей формы г~+ ... +г„ 2 г а является единичная матрица, матрица преобразованной формы тоже равна единичной, так как Р'ЕР = Е, в силу ортогональпости матрицы Р. Заметим, что числа ),, ..., ),и можно определи~ь, не выполняя указанных преобразований. Обозначим матрицу формы Е (хы ..., х„) через А, матрицу формы Ф (х,, ..., х„) через В и диагональную матрицу [Л,, ..., Л„) через Л. Пусть С матрица линейного преобразования, осуществляющего одновременное приведение обоих форм к каноническому виду указанным выше способом. Тогда С'АС = — Л, С'ВС = Е н, следовательно, Л вЂ” гЕ = С'АС вЂ” 1С'ВС = С'(А — гВ)С. О~сюда )Л вЂ” ГЕ)= =- )С' ( А — 1В! !С ~ нлн ()ч — 1) ...
(),„— Г) = )С1е ° ) А — 1Вй Таким образом, числа )ч, ..., ),„оказываются корнями многочлена ) А — гВ!. Уравнение ! А — гВ! называется обобщенным вековым уравнением. Проведенное доказательство по существу равносильно следуюгцему рассуждению. Пусть А матрица формы Е(хо ..., х„) и В матрица формы Ф(х,, ..., х„). Матрица В по условию положительно определена. Пусть О ортогональная матрица, преобразующая квадратичную форму с матрицей В "АВ ' к каноническому виду. Тогда О'В лАВ лО = Л где Л диагональна.
Обозначим В ~'Я=С. Тогда С АС=О В ~АВ ьЯ=Л С ВС=О В пВВ ~'С)=О О=Е. Таким образом, преобразование переменных с матрицей С приводит квадратичную форму Е к каноническому виду с коэффициентами )т, ..., )'„, а квадратичную форму Ф к каноническому виду с коэффициентами 1, ..., 1. 6. Формы Эрмита.
Алгебраическое выражение Р (г,, ..., г„) = а„г,г, + аьтг,г, + ... + а,„г,г„+ + аюгаг1 + агагагг '+ + аанггг~+ + . + + а„,г„г, + а„ег„ге+ ... + а„„г„г„, й )з) ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА В ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Где г,, ..., г„ комплексные переменные, а коэффициенты удовлетворяют условию оо — — игр называется формой Эр мята. Матрица коэффициентов формы Эрмита по самому определению является эрмитовой матрицей. Все значения формы Эрмита вешественны, ибо р(г,, ..., г„) = ~анг;г, =,~'„и;)льву= с (г,, ..., г„).
ь г ьг Для формы Эрмита справедливы теоремы, аналогичные теоремам длн квадратичных форм. Именно, Теорема 12.7. Любая форма Эрмито может быть приведено неособенным преобри-овинием переменных к каноническому виду и,г,г,+игг,г,+- .. +и„~я~,. форма Эрмита называется положительно-определенной, если все ее значения положительны, кроме значения при г,=-гг= ...
=г„= — О. Матрица коэффициентов положительно-определенной формы Эрмита называется положительно-определенной эрмитовой матрицей. Теорема 12.8. Для того чтобы форма Эрмито было положительно-определенной, необходимо и достито гни, чтобы все коэффициенты в ее кононическом разложении было положительны. Теорема 12.У. Форма Зрмити может быть приведено к гсиноническому виду при помосци унитарного преобразования переменных. При таком преобразовании коэффициенты в канонической форме будут собственными значениями матрицы формы Эрмита.
Теорема 12.10. (Зикон инерции). Число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в каноническом представлении формы Зрмити не ззвисит от способи ее приведения. Теорема 12.11. Две формы Зрмита, из которых одни положительно-опредвленния, могут быть приведены к каноническому виду одним и тем жв преобразованием леременных.
Доказательствз всех этих теорем почти дословно совпадают с доказательствами аналогичных теорем для квадратичных форм. 5 ьЗ. Понятие предела в линейной алгебре Понятие предела для линейно-алгебраических объектов нам будет нужно преимушественно для описвния >перационных методов. Ввиду тото, что численные задачи формулируются в терминах матриц, мы определим понятие предела для столбцов, которые мы будем отождествлять с векторами арифметического пространства в их естественном Представлении, и для квадратных матриц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
