Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Покажем теперь, что, выбрав каким-либо способом векторы т'о ..., 'т',„, мы можем нормировать векторы Х,. .. Х„ так, что (Хь У)=1. Прежде всего покажем, что (Хг, тг)=а,+О. Действительно, если бы (Хь тг) =О, то вектор т'г был бы ортогонален ко всем собственным векторам Х„..., Хь ..., Х„оператора А, а следовательно, и ко всем векторам пространства К, что означало бы, что г(г 1 нулевой вектор.
Ваяв вместо векторов Х,, .... Х„векторы — Х,, ... 1 аг — Х„, мы получим требуемое нормирование, ибо "а линейные опеРЛТОРы столбцы которых составлены из компонент собственных векторов матрицы А и матрицы А* соответственно. Выведенные выше соотношения ортогональности и нормированности в координатной записи имеют вид — — — ( О (1Ф/) ЫУЫ+ „У,+ + .У.б — — ~ 1 «=л' что равносильно матричному равенству где 1'" матрица, сопряженная с матрицей 1'. Заметим, что)-я строка матрицы г'" состоит из компонент собственного вентора матрицы А', транспонированной с А, соответствующего собственному значению аь Из равенства 1"Х=Е следуел, что ХУ"' = — Е, что дает вторую группу соотношений ортогональности — ( О (ю'+1) ХНУМ+ Хаа.р)Е+ ° .. + ХсвУув = !1 (1=Л.
4. Свойства ортогональности корневых векторов. Теорема 70.2. Любой корневой вектор оператора А, соотвстствуюигий значению Л, ортозонален к любому корневому вектору оператора А", соответствуюи1елсу собственному значению 6тьЛ. Доказательство. Пусть Х корневой вектор оператора А высоты т, соответствующий собственному значению 1„н Ур корневой вектор сопряженного 'оператора А* высоты А, соответствующий собственному значению (ь~Л. Построим цепочки корневых векторов: Х, = (А — ЛЕ) Хр Х,=(А — ЛЕ) Х, Хм, = — (А — ЛЕ) Х,„, (А — ЛЕ) Х,„г = О и У, = — (А* — 1аЕ) Ур У,.=(А* — р.Е) У, Уа г = (А* — р.Е) ваги (А* — р.Е) т'в, — — О. 7 зак. 974.
Д. К. Фаддеев м В. Н, Фаддеева ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНВЙНОй ЛЛГЕВРЫ [ГЛ. ! Векторы Х, и У», будут собственными для операторов А и А' соответственно, принадлежащими собственным значениям Л и р. Следовательно, Х„,, и У», ортогональны. Доказательство теоремы проведем по индукции. Пусть уже установлено, что(Х о У» 1)=О при 1'+,/«,С ьаь3.
Докажем тогда, что (Х о У» 2)=О и при 1+ / =1. Действительно, Л(Хьа-1 У»-у) =-()Хаь-ь* Уьь-1)=(АХ»ь-ь — Хаь-саь У»-у)=- =(АХ» -1 У»-') (Х -1аь У»-') =(Хаь-ь А У»-1) (Хы „,, У,',) =(Х. „аУ,,)+(Ха, „У, „,) (Хьа 1аь, У» 1) Р (Хш ь, Уьь-г), ибо (Ха, О У»;,,)= О и (Х„, 1,, У»,) =О' в силу индукционного предгюложения. Отсюда (Л вЂ” р,) (Хш и У» з) = О и, следовательно, (Х„о У» з) =О, так как Л+[ь. 5.
Базис двойственный к каноническому. Теорема 10.3. Базис двойственный к каноническому базису оператора А еспчь кинонический для сопряженного оперишора А' с «перевернугпыми бишнямиа; точнее, если Хо, ..., Х, «бишня», взятая из канонического базиса д.оя оператора А, такая, чьпо АХ =ЛХ +Х, АХ,=ЛХ,+Х, АХЯ, =1Х,+Х АХ, = — Лх гпо доойсшвенно соогпеепгсгпзуюи(ие векторы Уо...,, У,удовлетворяют соошношениям А Уаь-1 1 аь-1 + Уаь-2 А'Уьа 2= Жа-2+Уьа 2 А'Уо —— ЛУ, + Уо А Уо — ЛУо. Докозотельспгео. Заметим предварительно, что если оператору А в некотором базисе Вы ..., ()а соответствует матрица А, то сопрямгенному оператору А' в двойственном базисе Ч,, ..., Ч„ соответствует матрица А', сопряженная с матрицей А.
Действительно, пусть А = (аО) при 1, у' = 1, 2, ..., и. Тогда А()г — — У, а1)()ь, откуда следует, что а, = (А()р Ч1). Пусть далее 1-1 99 САМОСОПРЯ)КЕННЫй ОПЕРАТОР ф 111 В=((2О) (1=-1,..., и; /=1,..., и) матрица, соответствующая оператору А" в базисе Чо ..., Ч„. Тогда Ь,; = — (А*У., Ц). Но (А Чу ()2)=(ЛГу А();) =(АЦ, т(~)=а~О Это и доказывает, что В=А*. В каноническом базисе оператору А соответствует каноническая матрица Жордана и башне Х, ..., Х„,, соответствует канонический ящик Жордана 1 Л 1 Л В двойственном базисе оператору А' соответствует сопряженная матрица.
В частности, векторам те, ..., У„,, будет соответствовать «ящик» 1 А Это и значит. что А'Ъ'Р,, = Л'2' 2+ 2' 2 А У~а-2 ЛУм-2+ тчч — 2 А"У, =- ЛУ, + 'то А 2'А=1'2'е что и требовалось доказать. ф 11. Самосопряженный оператор В настоящем параграфе мы положим в основу не унитарное пространство, а эвклидово пространство. так как результаты излагаемой вдесь теории, в отличие от общей теории собственных значений, не требуют выхода в комплексное пространство. Все результаты почти без изменений переносятся и на унитарное пространство, Мы ограничимся лишь формулировками относящихся сюда теорем.
(00 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕйНой АЛГЕБРЫ (гл. 1 .1. Определение. Оператор А называется сзмо сопряженным, если для любых векторов Х и г', принздлежащих К, имеет место равенство (АХ. г') =(Х, Ат'), г. е. оператор А совпадает со своим сопряженным. Матрица само- сопряженного оператора по отношению к любому ортонормальному базису вещественна (эвклидово пространство) и симметрична, так как она должна совпадать со своей транспоннрованной. Любая линейная комбинация самосопряженных операторов есть самосопряженный оператор.
Далее, если самосопряженный оператор А невырожденный, то обратный для него оператор А самосопряжен. Действительно, полагая А Х =-(), А 'т' = 'ГГ, имеем (А Х, т') = = (ь). АЧ) = (А(), )1) = — (Х, А ' У). Очевидно и абра~нос, если оператору .А в некотором ортонормальном базисе соответствует симметричная матрица, то оператор самосопряженный. Действительно, в этом случае операторам А и А' отвечаег одна и та же матрица, и, следовательно, они совпадают. Таким образом, если в пространстве выбрать ортонормальный базис, то самосопряженные операторы находятся в естественном одно-однозначном соответствии с симметричными матрицами.
Имеется также гесная связь между самосопряженными опера~орами и квадратичными формами. Именно, скалярное произведение (АХ, Х), выраженное через координаты вектора Х, есть не что иное как квадратичная форма с матрицей, совпадающей с матряцей А оператора в выбранном ортонормальном базисе. Действительно, (АХ, Х) = ~е ~ а," х;х (ам = ар). ь Гг г 2. Одно свойство инвариантных надпространств самосопряженного оператора. Теорема 11.1. Если Р инвариантное надпространство само- сопряженного оператора А, то ортогонально-дополнительное подпространство О.
есть тинзхе инвариантное подпространстео. Доказательстзо. Пусть Х~Я. Это аначит, что (Х, тг)=0 при любом У~Р. Но тогда при любом У~Р и (АХ,У)=(Х, А'т')=0 (нбо Аг'~ Р в силу инвариантности Р). Отсюда АХ~ О., что и требовалось доказать. 3. Построение системы взиимно ортогональных собственных векторов самосопряженного оператора. Собственные .векторы и собственные значения самосопряженного оператора обладают рядом экстремальных свойств, из которых непосредственно вытекают такие важные свойства, как вещественность всех собственных значений и существование ортогонального базиса, составленного из собственных 1О1 $11) самосопяяженный опвватов векторов. В основе этих экстремальных свойств лежит следующая теорема.
(АХ, Х! Теорема ге.2. Сущесгпвует макси.нум отнощеггия при Х, пробегающем все пространство (кро,не нулевого вектора). Любой вектор, при котором э.пот максимум достигается, есть собственный вектор оператора А, а величина максимума есть соответствующее собственное значение. Доказательство.
Так как (АХ,Х) (АХ,Х) / Х Х (Х Х) 1ХР '! 1Х) ~ХЦ то исследуемый максимум равен максимуму (АХ, Х) при Х, изменяющемся на «единичной сфере», т. е. так, что длина Х равна единице. Существование максимума (АХ, Х) непосредственно следует нз теоремы Вейерштрасса о достижении точной верхней границы для непрерывной функции на ограниченном замкнутом множестве. Пусть )ч = шах ††' = (АХ,, Х,), где Х, вектор длины единица, реалн- (АХ, Х) хйп (Х, Х) зующий максимум. Тогда для любого вектора Х~ К (АХ, Х) «)ч(Х, Х). Положим У=АХ,— ),Х, и докажем, что У= — О.
Прежде всего покажем. что У ортогонален к Х,. Лействительно, (У, Х,) ==(АХ,— — Л,Хо Х,) = (АХ,, Х,) — Л, (Х,, Х,) = О в силу определения ), Пусть Х =- Х, + еУ, где е положительное вещественное число. Имеем (А(Хг+ еУ), Х,+еУ).()ч(Х,+ вУ, Х,+вУ), откуда (АХо Х,)+ в (АХ,, У)+ е(АУ, Хь)+ Яг(АУ, У).< Л,(Х,, Х!)+ +2Л е(Х,, У)+Лгег(У, У). Принимая во внимание, что (АХ,, Х,)=ЛО (АХ,, У)= — (АУ, Х,Л (Х,, Х,) = 1 и (Х,. У) = О, получим 2а(АХ,, У)+га(АУ, У) <егЛ,(У, У). Поделив обе части на е и устремив е к нулю, получим (АХ,, У) (О )(алев (У, У) = (АХь — Л,Х,, У) = (АХ о У) — Л, (Хо У) = — (АХ,, У) < О, Отсюда У=О, т.
е. АХ,=Л,Х,. (АХ, Х) Замечание. Отношение ( ' часто называют отношением Реле я. 10й ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕйНОй АЛГЕБРЪ| [гл. ! Теорема еУ.З. Пусть А самосопрпхсенный оператор. Тогда существует система попарно ортогональных собственных векторов А, образующих базис пространства. Все собственнь|е значения А вещественны. До|сазательство. Пусть Х, нормированный собственный вектор оператора А, дающий максимум (АХ, Х) на единичной сфере. Обовначнм через Р, одномерное подпространство, натянутое на Х,, и через (В! его ортогональное дополнение. Очевидно, что Р,, а алеловательно, и ()! будут инвариантными подпространствамн. Размерность Я! равна и — 1.
Оператор А, рассматриваемый на О|, будет, очевидно. самосопряженным и, следовательно, для него найдется нормированный собственный вектор Хг, реализующий |пах (АХ, Х). Легко ЕЕ!в! |х| ! видеть, что соответствующее собственное значение )и будет не больше ), По построению (Х,, Х,)=0. Пусть Р есть надпространство, нагянутое на Х, и Хг, и Яг его ортогональное дополнение (размерностн и — 2).
Надпространство Р,, а следовательно, и подпространство Яг инвариантны. Рассмотрим оператор А на Ц2 )[ля этого самосопряженного оператора найдется собственный вектор Хы реализующий |пах (АХ, Х), и соответ| х |-| хвч ствующее собственное значение Л, будет не больше )2. Очевидно, что (Х,. Х,) = — 0 и (Х,, Х,) = О. Продолжая указанный процесс придем к сис~еме попарно ортогональпых собственных векторов Х,, ... ..., Х . Соответствующие им собствеюг ге значения будут удовлетворять неравенствам )ч) Лг) ... ) ),„. Покажем, что в этом ряду каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического полинома. Действительно, оператору А в базисе Х,, ..., Х„соответствует диагональная матрица '2 и, следовательно, характеристический полинам А есть (л,— е)(л,— г) ...
(л„— е). Из описанной конструкции следует, что все собственные значения Л,, ..., Л„вещественные, а также что для каждого кратно~о сабе~венного значения существует столько попарно ортогопальных (и, следовательно, линейно-независимых) собственных векторов, какова кратность этого собственного значения как корня характеристического полннома.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
