Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Среди инзариантных надпространств особо важную роль играют так называемые корневые подпространства. Корневым вектором для оператора А, соответствующим числу р, называется вектор Х такой, что (А — рЕ)тХ=О при некотором целом т ) О. Ясно, что совокупность корневых векторов, отвечающих заданному числу р, образует надпространство. Действительно; если (А — РЕ) 'Х,=О и (А — РЕ) 'Х,=О, то (А — РЕ)™(с,Х,+с,Хь)=О, где т= шах(т,, т,).
Это полпространство называется корневым подпространством, соответствующим числу р. Покажем, что оно инвариантное. Действительно, если (А — РЕ) Х=О, то (А — РЕ) АХ=А(А — РЕ) Х.=О. Понятие корневого вектора обобщает понятие собственного вектора, именно, каждый собственный вектор Х, принадлежащий собст- кАНОничвскля ФОРМА жогдлнл 77 венному значению Л, является и корневым для того же числа Л. нбо (А — ЛЕ) Х = О.
В ы с о той ненулевого корневого вектора называется наименьщее число из ~аких покааателей т, что (А — РЕ)™Х =О. Иными словами, высота корневого вектора есть такое число й, что (А — иЕ) Х=О, но (А — иЕ)« ' Хчлй. Высота нулевого вектора считается равной нулю по определению. Собственные векторы являются корневыми векторами высоты единица. Полипом (г — и) есть минимальный аннулирующий полинам для корнева~о вектора высоты й. Действительно, (А — РЕ) ' Х = О, и, следовательно, минимальный аннулнрующий Х полипом является дели«« а телем (~ — р) . Но делителями (à — и) являются только полиномы (~ — и)' при 7'-'й. Полиномы же (й — и) прн 7 с й не аннулируют вектор Х, нбо (А —,«Е) Хчьй. Теорема 7.З.
Для в«ого чтобы для числа и существовал ненулевой «сорневой вектор, необходимо и достаточно, чтобы «исло и было собственным значение.и оператора А. Лри это.и высота корневого вектора не превосходит нратнослги т числа и кан корня минимального полинол«а. Существуют корневые векторы высоты т. Доказал«ельство. Если Р является собственныл«значением, то для него существуют ненулевые корневые векторы, например, собственные векторы.
Обратно, если для числа и существует ненулевой корневой вектор Х высоты й, то Х=(А —,'«Е) Х4-.0 и (А — иЕ)Х= — — — (А — иЕ)«Х = О, так что Х есть собственный вектор, соответствующий числу р, и, следовательно, и есть собственное значение. Мггнимальпый аннулирующий вектор Х полинам (г — и) является делителем минимального полинома оператора А. Поэтому высота 7г вектора Х не превосходит кратности гп чпсла )« как корня минимального полинома. Остается доказать последнее утверждение теоремы. Пусть ф(«) = = (à — и) Г'(г) есть минимальный полинам оператора А. Выберем вектор () так, чтобы он не аннулировался оператором (А — РЕ)ы ' 7(А).
Такой вектор 0 найдется, ибо иначе ф(Г) не был бы минимальным полиномом для А. Положим Х = 7(А) В. Тогда (А — иЕ)~ ' Х = (А — 7 Е)~ 7(А) () Ф О, но (А — иЕ) Х='(А — иЕ) 1(А)()=ф(А)()=О. Таким образом, Х есть корневой вектор высоты т для числа и. Б. Свойства оператора, индуцированного на корневом подпространстве. Пусть А оператор в пространстве г(, Л его собственное значение кратности т как корня минимального полинома, Р корневое подпространство, соответствующее этому собственному 78 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕйНОй АЛГЕБРЫ (Гл. 1 значению, Пусть Ар оператор, индуцированный оператором А на подпространстве Р, Теорема 7.4. Минимальный полинам оператора Ар равен (à — Л)~, характеристический полинам оператора Ар равен (à — Л)Р, где р — размерность пространства Р.
Доказательсп»во. Оператор (А — ЛЕ)™ аннулирует все векторы надпространства Р, а оператор (А — ЛЕ)~ ' аннулирует не все векторы Р. Следовательно, (Ар — ЛЕ)а=О, а (Ар — ЛЕ) ФО. Отсюда следует, что (1 — Л) есть минимальный полипом оператора Ар. Далее, всякое собственное значение оператора является корнем минимального полннома. Следовательно, оператор Ар имеет единственное собственное значение Л и потому характеристический полинам оператора АР равен (à — Л)р. Показатель р равен размерности подпространства Р, так как степень характеристического полинома любого оператора равна размерности пространства, в котором он определен.
Н>»>ке мы установим, что р равно кратности собственного значения как корня характеристического полинома оператора А. 6. Линейная независимость корневых векторов. Теорема 7.б. Ненулевые корневые векторы, соответствующие >»опорно различным собственным значениям оператора А, линейно- независимы.
Ло>»азате>»ьство. Пусть Х,, ..., Х, ненулевые корневые векторы оператора А, соответствующие собственным значениям Л,, ..., >,, причем >ч+Лг при»Р/, и пусть й,, й, высоты векторов Х,,..., Хвм Обозначим через 7»(Г) полипом ь, ь»-» ь, (( Л,)"... (1 Л,.)» ...(Г Л,) . Докажем, что в зависимости с,Х,+ ... +с;Х»+ ...
+с,Х,=О все коэффициенты могут быть только нулями. Применим к обеим частям равенства оператор г»(А). Получим с>(»(А)Х>+ ... +с»7»(А)Х»+ ... +сьЛ(А)Хе=О (2) Ясно, по Л'А)Х1 — — О при»+7', ибо полинам 7»(г) дел>лтся на полин номы (à — л~) г, учь»Л аннулнрующие векторы Ху соответственно.
Далее, 7»(А) Х»+О, ибо полинам 7»(Г) не делится на полинам ь, (à — )ч), являющийся и и н и и а л ь н ы и аннулирующим вектор Х» полиномом. Таким образом, равенство (2) превращается в с»7" » (А) Х» = О. причем 7»(А)Х»чьО. Следовательно, с» = О, для всех 1 = 1, 2, ..., з. Тем самым линейная независимость векторов Х„...,Х, доказана. КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ЖОРДЛНЛ 79 7.
Разложение пространства в прямую сумму корневых надпространств. Теорема 7.6. Пространство К есть прямая сумма всех корневых подпространств оператора А. Доказательство. Векторная сумма К' всех корневых подпрострзнств есть сумма прямая, в силу доказанной выше линейной независимости корневых векторов, соответствующих попарно различным собственным значениям, т. е.
принадлежащим к попарно различным корневым подпространствзм. Остается только доказать, что К' совпадает со всем пространством К, т. е. что любой вектор Х нз К может быть разложен в сумму корневых векторов Х; при ! = 1,..., ь. Докажем это. Пусть полипом 0(г) есть минимальный аннулируюшнй полинам для вектора Х. Разложим его на линейные множители: О (г) =- (г — Л,) '... (г — ),,), Лг ь), ь, ь Сомножителн Р— )ч), ..., (г — ).,) ' попарно взаимно просты.
Следовательно, на основании теоремы 7.1 мы придем к разложению Х=Х,+ ... +Хь, где векторы Х,, ..., Х, будут аннулироваться соответственно полин, ь номамн (с — )ч) ', ..., (г — 1,) '. Поэтому век~оры Х,, ..., Х, являются корневыми векторами. Тем самым теорема доказана. Отметим, что если вектор Х принадлежит какому-либо инвариант- ному надпространству, то векторы Х,, ..., Х, принадлежат тому же подпространству.
Это следует нз вышеупомянутой теоремы. Составляющие Хг вектора Х по корневым подпространствам будем называть п р о е к ц и я и и на эти надпространства. Из докззанной теоремы вытекае~ такое следствие. Размерность корневого подпространства, соответствуюи(его собственному значению )Ч, равна нратноспш )ь нан корня характеристического полинома оператора А. Действительно, характеристический полинам э(г) оператора А з силу сказанного ранее в и. 2 есть произведение характеристических полиномов операторов, индуцированпых оператором А на корневых подпространстзах Р,, ..., Р,, каждый из которых в свою очередь есть ()ч — г) ', где рь — размерность соответствующего корневого надпространства.
Итак, Р(!) = ()., ()'... (Л, — ()", откуда следует, что размерности р,, ..., р, являются кратностями собственных значений в характеристическом полиноме оператора А, 8. Канонический базис корневого надпространства. Изучим подробнее строение отдельного корневого надпространства для оператора А. С целью упрощения записи мы будем здесь обозначать 80 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛнивйНОй ЛЛГВВГЫ (гл.
~ корневое подпространство буквой Р и соответствующее собственное значение через Л, опустив индексы. Корневое подпространство Р естественно разбивается на „этажи". Под этажом высоты у мы будем подразумевать совокупность всех векто(о~ высоты )'. Этажи не являются подпространствами, так как, в частности, они не содержат нулевого вектора. Однако совокупность векторов, высоты которых не превосходят данного числа у, уже образует подпространство. Действительно, если высоты векторов Х, и Х, не превосходят у', то (А — ЛЕ) Х, = (А — ЛЕ)УХ, = 0 н, следовательно, (А — ЛЕ)'(с,Х, + сеХз) — — О, т. е.
высота вектора с,Х, + сеХ, не превосходит у. Обозначим указзнное подпространство через Р112. Очевидно. что РЫ2 инвариантно. далее, РН2 г=. Р~2 <=.... ... с Р1 2=Р. Наряду с „горизонтальными" ннвариантными подпространствами Р" мы рассмотрим инвариантные под|ространства совершенно другого рода, так сказать, „вертикальные'. Если Х корневой вектор высоты /) 1, то вектор Х, =(А — 2Е) Х„будет иметь высоту у — 1. Вудем говорить, что вектор Х, лежит под вектором Хв.
Совокупность векторов Хв, Х,, ..., Х , таких, что Х, = (А — ).Е) Хе Х,=(А — ЛЕ)Х, Х, = (А — 2.Е) Х назовем „башней". Ясно, что (А — ЛЕ) Х) д — — О. Высота башни, (т. е. число ее элементов) равна высоте ее „верхнего" порождающего вектора Х,. Покажем, что векторы, образующие башню, линейно- независимы. Действительно, пусть свХе + с,Х, + ... + с)-,Х)-, — — О. Применяя к этому равенству последовательно операторы (А — ЛЕ), (А — ЛЕ)е, ..., (А — ЛЕ)» '. получим свХ,-+с,Х,+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
