Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Установим, прежде всего, линейную независимость векторов ХО ..., Х„. Пусть с,Х, + ... + сгХг = О. Записывая это равенство в координатах, получим + ... +сгхы — — О с,хг, + ... +-сгхгг =О с,хг,п+ ... +с,х,,г=О с,х„, + ... +с,х„г =О. Первые г равенств представляют собой систему г линейных однородных уравнений относительно с,, ..., с„, определитель из коэффициентов которой равен Й Ф О.
Следовательно, эта система имеет единственное решение, именно с, = ... = сг= О. Тем сань!м линейная независимость векторов Х,,..., Х, установлена. Покажем теперь, что все данные векторы Х,, ., Х„, Хг,,,..., Хгв являются линейными комбинациями Х,, ..., Х„. Для векторов Х,, ..., Х„это тривиально, так что нужно рассмотреть только векторы Х„в=г+1, ..., т. Рассмотрим Опречелнтель Хп ... х,„х„ ~г\ Хгг ~гв 3! ° ° ° зг 3 ,де ди ..., гг, г некоторые числа, значения которых нам безразличны. Через М,, Ма, ..., М,, М обозначим алгебраические дополнения элементов последней строки в определителе Ь .
53 5 51 подпгостРАнстВА Рассмотрим вектор т' = М,Х, + ... + М„Х, + МХ,. Его координатами будут у, = М,хм -+ ... + М„х,„+ Мхгв у„= М,х„+ ... + М,х„„+ Мх„ у, „= М,х„,н-+ ... + М„х„ь„+ Мх„„ у„= М,х„, + ... -1- М„х„„1- Мх„„. Первые г координат у,„..., у„равны нулю. так как они представляют собой суммы произведений алгебраических дополнений элементов последней строки определителя Ь, на соответствуюгцие элементы других строк, Остальные координаты у„, ..., У„тоже равны нулю, Действительно, хц хы хы Угьг = Хсг хчс хгв хг-~ы ... хг >ы хг-~ы х„...
Х,„х„ х„, ... х„, х„, хвч ... хвг хьв и они равны нулю как миноры с+1-го порядка, составленные из матрицы Я ранга г. Следовательно, М,Х,+- ... +М„Х„+ МХ,=О. Так как М = 6 чь О, то М, М„ Х = — — Х вЂ”... — — "Х. ь М г М ю Итак, мы доказали, что векторы Х,, ..., Х, линейно-независимы и все векторы Х,, ..., Х являются нх линейными комбинациями. Следовательно, векторы Х,, ..., Х, образуют базис подпространства Р, ибо любая линейная комбинация векторов Х,, ..., Х,„ является и линейной комбинацией векторов Х,, ..., Х„.
Тем самым доказано, что размерность подпространства равна г, что и требовалось доказать. В терминах теории матриц теорема 5.2 может быть переформулирована следующим образом: максимальное число линейно-независимых столбцов матрицы, так же как и максимальное число линейно-независимых строк, совпадает с рангом матрицы.
54 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕйиай АЛГЕБРЫ ~гл. г 3. Относительный базис. Пусть Р есть подпространство размерности т в п-мерном пространстве К. Векторы У,,..., Ч» называются линейно-независимыми относительно Р, если никакая их линейная комбинация, кроме нулевой, не принадлежит Р, иныл~и словами, евли нз с,У, + ....+с„Ч» ц Р следует, что с,= ... =с»=О, Система векторов Ч,„..., Ч» называется б аз и сом К от н ос и- тельно Р. если векторы Ч„..., Ч„линейно-независимы относительно Р и если всякий вектор из К представляется в виде суммы некоторого вектора из Р и линейной комбинации векторов Чо ..., Ч». Теорема б.З. Пусть Во ..., В„базис подпространстви Р. Векгпоры Ч„..., Ч„линейно-независимы относительно надпространства Р в том и только в том случае, если векторы Во ..., В~, У,, ..., Ч» линейно-независимы.
Докизательство. Пусть Ч,,, У» линейно-независимы относительно Р и пусть с,Ч,+ ... +с»Ч»+д,В, + ... +4„0,„=0. Тогда с,Ч,+ ... +с»Ч„= — а',В,— ... — д„,ы„ц Р. Следовательно, с,= ... =с»=О по определению линейной независимости относительно Р. Поэтому д,В1+- ... +дав,„.=О, откуда д, =... ... = д =О. Таким образом, векторы Ч,, ..., Ч„, Во ..., Вм линейно-независимы, так что необходимость сформулированного условия доказана.
Допустим теперь, что векторы Ч,, ..., Ч„, В,, ..., От линейно- независимы. Пусть У=с,Ч,+ ... +с»Ч»~ Р. Тогда У=Й,$3,+... ... +-д 0т, откуда с,Ч, + ... + с„ׄ— д,Ц вЂ” ... — дтОм= О. В силу линейной независимости векторов У,,..., Ч„, Во ..., В все коэффициенты в последнем равенстве равны нулю. В час~ности, с,.=- ...
=с»=О, так что Ч„..., Ч„линеяно-независимы относительно Р. Тем самым доказана и достаточность условия. Теорема о.4. Для того чгпобы векторы У,, ..., Ч» составляли базис пространства К относительно надпространства Р, необходимо и достаточно, чтобы векторы У,, ..., Ч», Во ..., 0т составляли базис пространства К. Здесь векторы В,, ..., В составляют базис Р. Доказательство. Пусть Ч,, .... У» базис К относительно Р. Тогда, в силу теоремы 5.3, векторы Чо ..., Ч», Вы ..., 0 линейно- независимы. Далее, для любого вектора Х из К имеем Х=с,Ч,+ ... +с»Ч»+У, где У~-Р, и потому Х=с,Ч,+ ...
+с»Ч»+й,Ц+ ... +б„де. Необходимость доказана. Пусть теперь векторы У,, ..., У», Вн ..., Вт составляют базис К. Тогда, в силу теоремы 5.3, векторы Ч,, ..., Ч» линейно-независимы 55 5 5! подпРостРАиствА огносительно Р. Далее, для любого вектора Х ~ В имеем Х= сЧ,+ ... + с,Ч„+б,и,+ ... +б !) = с1Ч1+ + сьЧа+ у где Ч ~ Р. Достаточность доказана. Следствие 1. Относительный базис всегда существует и число составляющих его векторов равно разности размерностей К и Р. Действительно, как мы видели, любой базис Во ..., бт надпространства Р может быть дополнен до базиса пространства К.
Совокупность дополнительных векторов Чо ..., Чь есть базис В относительно Р, и их число равно разности размерностей В и Р. Следствие 2. Пусть Рь=ьрь 1=> ... =>Р1 убывиющая цепочка подпространс1пв. Тогда обьединение бизиса Р,, базиса Рг относительно Р,, ..., базиса Рь относительно Рь, образует базис Р„. Теорема б.б. Любая система Ч,, ..., Ч, векторов, линейнонезависильых относительно Р, можепг быть дополнена до базиса й относительно Р. Доказательство.
Векторы Во ..., В, Чо ..., Ч„линейно- независимы в силу теоремы 5.3. Эта система может быть дополнена до системы !)1...., !)„„Ч„..., Ч„Ч„. „..., Ч„, образующей базис В. Тогда векторы Ч„..., Ч„и составят базис В относительно Р в силу теоремы 5.4. 4. Векторная сумма и пересечение надпространств, Пусть Р и !.) два подпространства пространства К.
Векторной суммой надпространств Р и !:) называешься совокупность всех векторов У=Х+Ч, тле Х~Р, Ч~!й, Очевидно, что векторная сумма двух подпространств в свою очередь есть надпространство. Оно может быть охарактеризовано как наименьшее подпространство, содержащее надпространства Р и !й. Будем обозначать векторную сумму надпространств Р и А1 через (Р„с)). П е р е с е ч е н и е и надпространств Р и !е называется совокупность всех векторов, принадлежащих как подпростраиству Р, так и полпространству !1. Ясно, что пересечение двух надпространств есть в свою очередь надпространство.
Оно может быть охарактеризовано как наибольшее подпространство, содержащееся в Р и ье. Пересечение надпространств Р и Ц обозначается через Р П !). Теорема б.б. Пусть в размерность (Р, !1), 7 — размерность РП !е. Тогда з+7=р+17, где р — ризмерность Р, 17 — размерность ь,:!. Доказательство. Ясно, что 7 (р (в, 7 (о (з. Пусть Вы ... ° ° ., Ц базис Р П !;). Включим его в базисы !)1,..., Вы Ч,, ..., Ч,, " ь)1 ° ° °, Вп %,, ..., %», надпространств Р и !й. Докажем, что вектоРы 01, ..., 0н Ч1...., Ч ы %1, ..., % е образуют базис 56 основные сввдвния из линвйной алгввды (гл. г (Р, Я). Установим сначала их линейную независимость.
Пусть с,13,+ ... +сд()д+г(,Ч,+ ... +.дУр,Чр д+ +(,')Ч,+ ... +(,',1Ч,,=О; (1) Положим т= с%+ . +се()д+д(Р~+ +г(р — сЧр-д. Йсно, что У~ Р. С другой стороны, из равенства (1) заключаем, что г= — с1,)Ч,— ... — г(,,)Ч,, откуда Х ~ Я. Следовательно, 2 ~ Р П ь), и потому Х=ди,+ ... + г()д при некоторых д,...., д,. Сравнивая второе и третье представления вектора Х, получим, что У д д%+ ... + дМ,+д)М~+ ... +г(д Мд д = О, Р / откуда заключаем, что д,=...
=-д =О, г(~ =... = — Нд д = О в силу линейной независимости векторов ()о ... ()ь %п ..., Юд,. Тем самым равенство (1) превращается в равенство с,(), + ....+ с,(), + г),Ч, + ... + гдр,Чв, — — О, откуда с, = ... =с,=0, г(, = ... = г(„,=-0. Итак, все коэффициенты в равенстве (!) оказались нулями и. следовательно, векторы ()о ..., ()и Чп ..., Ч„о )Чо .... Фд, линейно-независимы.
Остается доказать, что любой вектор из (Р, ьг) является их линейной комбинацией. Пусть д. ~ (Р, Я). Тогда д-=Х+Ч, где Х~ Р, Ч~(д. Представляя Х и Ч через базисные векторы подпространств Р н ь), получим Х=с,и,-+ ... +сд()д+а,Ч,+ ... +1,,Ч,, Ч= стцд+ ... +сДд+А%г+- ° ° +ггд-ддгдд с, откуда Х = (сд+ с~) 13, + ... + (сс + сд) 1)д+ +г),Ч,+ ... +г1я,Чв,+АЧУ~+ +г)д-дауд-д Тем самым мы доказали, что векторы ()о ..., Ц, Ч,, ..., Чр и ЪЧо ..., %д д образуют базис подпространства (Р, Я). Таким обравом, размерйость а подпространства (Р, (д) равна г+)д — 1 +д — 1= =р+д — Р, откуда следует, что а+~=р+Ч.
57 й 51 подпеостелнствл 5. Прямая сумма. Если любой вектор Х пространства К представляется в виде суммы векторов т'о ..., У» из надпространств Р,„..., Р„, то говорят, что К есть векторная сумма подпространств Р,, ..., Р„. Если при этом представление Х=У,+ ... +У», Угбр; (г'= П ..., й) однозначно, то К есть прямая сумма подпространств Р,, ..., Р». Теорема 5,7. Д гн того чтобы пространство К было прямой суммой своих надпространств Р,, ..., Р», необходимо и достаточно, чтобы обьединение базисов этих надпространств составляло базис всего пространства.
Доназательство. Пусть К есть прямая сумма .подпространств Р,, ..., Р„и пусть векторы П„..., Пп; ...; П. составляют базисы этих подпространств. Тогда для любого вектора из К имеем Х=Уг+ ... +Тю где г';~ Рь и потому Х=сП+ ... +сеУэ+ ... +с, ~Ц „, ~ ... ~ с~ц». Остается докааать линейную независимость векторов Во ..., У„». Пусть с,П,+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
