Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 7
Текст из файла (страница 7)
такой, что Х+( — Х) = 0; 5) 1 Х=Х; 6) (а+ Ь) Х =- аХ + ЬХ; 7) а(Х+У) .=-аХ-+аУ; 8) а(ЬХ).=-аЬХ. Элементы линейного пространства называются в е к т о р а м и. Из перечисленных аксиом легко выводятся единственность нулевого элемента, единственность противоположного элемента, равенства ОХ == а0=0, ( — Х)=-( — 1)Х. Мы не будем останавливаться на доказательсзге этих утверждений.
Пространство называется в е щ е с т в е н н ы м, если для его векторов определено умножение только на вещественные числа. и комп ле к сным, если определено умножение на комплексные числа. Пространство называется ко печно-мерным, если выполнена следующая аксиома: 9) Существует конечное число векторов Х,, Хлг таких, что любой векгор пространства предс~авляе~ся в виде с,Х,-+... -+с Х .. Размерностью конечно-мерного пространства называется наименьшее число векторов, удовлетворяющих требованию аксиомы 9. Если же аксиома 9 не выполнена, то пространство называется бесконечно-мерным. Изучение бесконечно-мерных пространств выходит за рамки линейной алгебры, и, при тех илн других дополнительных ограничениях, бесконечно-мерные пространства исследуются в одной из важнейших математических дисциплин — в функциональном анализе.
Как в вещественном, так и в комплексном линейном пространстве, может быть введено понятие скалярного произведения следующим образом. Каждой паре векторов Х, У сопоставляется число (Х, У) (вещественное в вещественном пространстве, комплексное в комплексном), причем должны бьжь удовлетворены следующие аксиомы: !0) (Х, Х) О, если Х Ф 0; (Х, Х)=0, если Х=-0; 11) (Х, У)= — (У, Х); 12) (Х, + Х,, У) = (Х,, У)+ (Х,, У); 13) (аХ, У) = а (Х, У). Для вещественного пространства одиннадцатая акеиома выглядит проще, именно (Х, У) = (У, Х). 43 й з! аксиомы линейного пвостглнствл которое называется неравенством Коши — Буняковского.
Докажем его. При Х = О неравенство очевидно. Пусть Х эь О. Введем вектор У = т' — аХ, где а = ' , и подсчитаем квадрат его длины, при- (7, Х) (Х, Х) ' ннмая во внимание, что (Е, Х) — — ( т', Х) — и (Х, Х) = О. 1!меем Следовательно, !Х !а ! У,' — ! (Х, т') (а == / Х!' ° / У !')~ О, откуда непосредственно следует неравенство (!). Для пары ненулевых векторов Х и т" в эвклндовом пространстве естественным образом вводится понятие у г л а по формуле (х, у) ~х~ ~у~ (2) Это определение всегда имеет смысл, ибо число †--,'- †.
— по абсо- (Х, т') Тх, '~у 7 лютной величине не превосходит единицы в силу неравенства Коши— Буняковского. Важнейшим примером линейного пространства является так называемое арифметическое пространство. Век~орами этого пространства являются упорядоченные совокупности из п вещественных (комплексных) чисел, которые называются компонентами. Два вектора арифметического пространства считаются равными в том и только в том случае, если равны их соответствующие компоненты. Действия сложения и умножения на вещественное (комплексное) число определяются покомпонентно. Тем самым эти действия для векторов арифметического пространства ничем не отличаются от тех же действий для строк (т.
е. однострочных матриц). Следовательно, все формальные законы этих действий, установленные на стр. 9 для п)оизвольных матриц, верны и для векторов, так что аксиомы 1 — 8 линейного пространства оказываются выполненными. Роль нулевого вектора играет вектор, все компоненты которого равны нулю. Противоположным вектором †для вектора Х является ( — 1) Х. Вещественное линейное пространство с так определенным скалярным произведением называется э в к л и д о в ы м пространством, комплексное — у н и т а р н ы м пространством. Число г' (Х, Х) называется длиной вектора и обозначается )Х(.
Скалярное произведение двух векторов удовлетворяет следующему важному неравенству: 44 основные сведения из линейной АлГББРы (гл. ~ Выполнение аксиомы 9-й вытекает из того, что любой вектор арифметического пространства допускает представление в виде Х =х,е,+ ... +х„е„, где е; вектор, 1-я компонента которого равна 1, а все остальные равны нулю. Ниже будет установлено, что не существует системы векторов, удовлетворяющих требованию аксиомы 9-и и состоящей из меньшего чем и числа векторов. Тем самым арифметическое пространство, векторы которого составлены на и чисел, оказывается и-мерным линейным пространством. Пространство, составленное из векторов с вещественными компонентами, являешься вещественным линейным пространством; пространство, составленное из векторов с комплексными компонентами, является комплексным пространством.
Скалярное произведение вводится по формуле (Х, )() =х,у,+ ... +х„у„, которая в вещественном пространстве принимает более простой вид (Х, т') = — х,у, + ... + х„у„. Легко проверяется, что скалярное произведение удовлетворяет аксиомам 10 †. Цлина вектора равна, очевидно, )Г ~ х, ~л+ ... + ! х„!'. Скалярное произведение векторов -арифметического пространства может быть выражено и в терминах матриц.
Именно, (Х, т') = — х,у,+ ... +х„у„= Ул ~ =(уо ..., у„) =(хо ..., х„) -УА— где (у,,...,У,) строка из чисел, комплексно-сопряженных с компонентами вектора т', а (х,, ..., х„) строка, элементы которой равны компонентам вектора Х. Лругими примерами линейных конечцо-мерных пространств являются: совокупность всех матриц данного строения, совокупность полиномов от одной переменной, степень каждого из которых не превосходит данного числа, совокупность решений линейного однородного дифференциального уравнения и т. д.
В некоторых из этих пространств естественным образом вводится скалярное умножение. Так, в пространстве полиномов ограниченной БАаис и кООРдинАты степени с вещественными коэффициентами скалярное произведение ь полиномов Л(Т) и Уь(Т) может быть определено как ~ Л(1) 1111) йг. а Легко видеть, что при этом все аксиомы 10 — 13 выполнены. В линейных пространствах, возникающих в связи с изучением конкретных задач, скалярное произведение обычно вводится так, чтобы оно находилось в естественной связи со специфическими особенностями элементов изучаемого пространства.
В некоторых задачах, исследуемых методами линейной алгебры, гообще не возникает необходимости во введении скалярного произведения. Линейное пространство, в ко~ором не вводится действие скалярного умножения, называется а ф и н н ы м пространством, и, вообще, те свойства пространства, которые не связаны с понятием скалярно~ о умножения, называются афинными свойствами. С описания афннных свойств мы и начнем систематическое изложение. При этом мы, вообще говоря, не будем оговаривап„ о каком пространстве идет речь — о вещественном или комплексном, в виду полного параллелизма формулировок и доказательства результатов. 5 4. Базис и координаты 1.
Линейная зависимость. Вектор У=с,Х1+сеХ1+... +сыХы называется лине й ной комбинацией векторов Х,, Х,, ..., Х,„. Легко видеть, что если векторы У1, Тз, ..., Ть являются линейными комбинациями векторов Х,, Х,, ..., Хии то любая их линейная комбинация 11У1+11уь+ ... +тьуь является также линейной комбинацией векторов Х,, Х,, ..., Х Векторы Х,, Х,, ..., Х называются линейно-зависимыми, если существуют такие числа сп са...,, с, не равные нулю одновременно, что имеет место равенство сХ,+ с,Х,+ ... +с„Хм=О. (1) Если же это равенство имеет место только тогда, когда все постоянные с,, с,, ..., сы равны нулю, то векторы Х,, Х,, ..., Х называются линейно-независимыми. Если векторы Хо Х,, ..., Хы линейно-зависимы, то по крайней мере один из них является линейной комбинацией остальных.
Действительно, если, например, ст чь О, то из (1) нахолим: Сг е, с Х вЂ” — Х,— — Ха — ...—:Х ет е„, е, Теорема й. 1. Если векторы Уг, т'1, ..., ть являются линейными комбинаиия.ии векторов Х,, Хз, .... Хы и й) т, то они линейно-зависимы. основные сведения из линейной АлГВБРы 1гл. ~ Доказательство проведем методом математической индукции. Для т = 1 теорема очевидна. Допустим, что теорема верна в предположении, что число комбинируемых векторов равно гл — 1, н в этом предположении докажем ее для лг комбинируемых векторов.
Пусть У,=с„Х,+ ... +с, Х„, У„= са, Х, + ... + ГЫАХ . Могут представиться два случая. 1. Все коэффициенты сп, см, ...,'сгп равны нулю. Тогда Уо У,,..., У„, фактически являются линейными комбннацнямн только т — 1 векторов Х, , Х . В силу индукционного предположения У,, ..., У„ будут линейно-зависимы. 2.
Хотя бы один коэффициент при Х, отличен от нуля. Вез нарушения обшности можно считать, чго сь Фь О. Рассмотрим систему векторов сп Построенные векторы, очевидно, являются линейными комбинзциями векторов Х,, ..., Х„„и число их й — 1 больше т — 1. В силу индукционного предположения, они линейно-зависимы, т. е. найдутся числа тз, ..., ",„, не равные нулю одновременно, такие, что 1ЕУ;+ ... +;,У',=-О. Подставляя вместо У„..., УА их выражение через У,, ..., Ую получим т Уг+1'зУ + +1АУА=В с., сгп где у, =- — — та — .. — — уь.
Числа у, ВР ..., тз не равны сп '- '' сп нулю одновременно и, следовательно, У,, Уя, ..., Уа линейно- зависимы. 2. Базис пространства. Система линейно-независимых векторов называется б а з и с о м пространства, если любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов этой системы.
Например, в арифметическом пространстве векторы ео ..., е„ образуют бззис. Действительно, они линейно-пеззвисимы, так как компонентами вектора с,е,+ ... + све„ являются с,, ..., с„ и потому кз равенства с,е, + ... + с„е„ = 0 следует. что с, = й 4! ВАЗИС И КООРДИНАТЫ =се= ... =-си =.— О. Далее для любого вектора Х с компонентами х,, ..., х„имеем Х=х е,+ ... +х„е„. Базис е,, ..., е„будем нааывать естественным базисом арифметического пространства.
Установим теперь, что в общем линейном конечно-мерном пространстве всегда существует базис. Пусть и — размерность пространства. В силу определения размерности в пространстве существует система и вектоРОв Бо ..., $3„таких, что все вектоРы ИРостРанства являются их линейными комбинациями и не существует системы из меньшего числа векторов, обладающих тем же свойством. Покажем, что векторы Во ..., !!„Образуют базис пространства, для чего достаточно установить их линейную независимость. Но она почти очевидна. Лействительно, если допустить, что векторы Вм ..., Бь ЛИНЕИНО-ЗИВНСНИЬИ тО ХОтя бЫ ОДИН ИЗ НИХ, НвнриМЕр !!ь, был бы линейной комбинацией остальных Во ..., !!я и Тогда все векторы пространства оказались бы линейными комбинациями векторов !!о ..., !!„о что противоречит тому, что и есть размерность п растра истаа. Как мы увидим ниже, базис пространства не единственен, и в выборе базиса имеется широкий произвол.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
